Matemática Financeira no Ensino Fundamental: qual a sua importância e como a calculadora pode ajudar?



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Matemática Financeira no Ensino Fundamental:

qual a sua importância e como a calculadora pode ajudar?
Lílian Nasser

Cláudio Henrique da C. Pereira

Daniela Dias,

Geneci A. de Sousa

Rui de Souza Xavier
Equipe do Projeto Fundão – IM/UFRJ

pfundao@im.ufrj.br


Introdução

Pode-se afirmar que atualmente o tópico de Porcentagem é o que encontra mais aplicações no dia-a-dia do cidadão brasileiro. É praticamente impossível ler um jornal sem que apareça o símbolo de porcentagem em diversas notícias: taxas de juros praticadas, anúncios de produtos vendidos a prazo, ofertas de empréstimos ou até na audiência dos programas de TV. Por isso, desperta o interesse dos alunos nas séries finais do Ensino Fundamental, principalmente nas turmas do Ensino de Jovens e Adultos (EJA). No entanto, as avaliações estaduais e nacionais como o SAEB, Prova Brasil, ENEM indicam que os alunos brasileiros apresentam sérias dificuldades no trato com as porcentagens.


Uma análise detalhada das respostas de grande parte dos alunos a itens envolvendo porcentagens indica que as dificuldades estão relacionadas ao próprio conceito de porcentagem ou às operações com frações. O estudo das porcentagens é iniciado ainda na 4ª série do Ensino Fundamental (atual 5º ano), quando os alunos ainda não dominam as operações com frações. Esta pode ser a origem das dificuldades com as porcentagens.

Os itens a seguir são exemplos do baixo desempenho de alunos brasileiros em questões envolvendo porcentagens.


Exemplo 1: (SAEB-2001)

O salário de Moema era R$850,00. Ela foi promovida e ganhou um aumento de 28%. Logo, o novo salário dela é



  1. R$ 1.088,00

  2. R$ 1.020,00

  3. R$ 935,00

  4. R$ 878,00

Percentuais de respostas das alternativas

Gabarito

A

B

C

D

Em branco ou nula

A

24%

24%

22%

27%

3%

Houve dispersão entre as opções selecionadas, mas a alternativa que atraiu mais os alunos foi a (D): 27% dos alunos escolheram esta opção, em que o resultado é obtido somando-se o salário com a taxa de aumento. Isso indica que esses alunos não têm idéia do que representa o sinal de %.


Exemplo 2: (Secretaria Municipal de Educação do Rio de Janeiro, 2002)

João recebe R$ 250,00 de salário mensal. Reconhecendo a qualidade de seu trabalho, seu patrão resolveu dar-lhe uma gratificação igual a 100% do salário. João recebeu de gratificação



  1. R$ 100,00

  2. R$ 125,00

  3. R$ 250,00

  4. R$ 350,00

Percentuais de respostas das alternativas



Gabarito

A

B

C

D

Em branco ou nula

C

18%

12%

26%

38%

6%

Para responder corretamente este item, os alunos deveriam perceber que 100% correspondem ao total e, portanto, correspondem a R$250,00. Observe que a opção (D) atraiu 38% dos alunos, que somaram R$100,00 ao salário, confundindo a taxa percentual com o valor da gratificação. Também os 18% dos alunos que escolheram a alternativa (A) fizeram o mesmo tipo de confusão.


Além de alertar para esses tipos de erros, é preciso deixar claro para os alunos que as porcentagens calculadas em relação a um mesmo total devem somar 100%.
Outra estratégia importante para o cálculo mental é usar uma fração simplificada para representar uma porcentagem, isto é, perceber que para achar, por exemplo:

- 20% basta multiplicar por 1/5 ou dividir por 5;

- 25% basta multiplicar por 1/4 ou dividir por 4;

- 10% basta multiplicar por 1/10 ou dividir por 10;


Alguns professores podem achar que Matemática Financeira é assunto para o Ensino Médio, e simplesmente ignorar esse tópico no Ensino Fundamental. No entanto, o interesse dos alunos e o apelo das aplicações sugerem que o tema deve ser abordado nas séries finais do Ensino Fundamental, por meio de atividades interessantes, do cotidiano desses alunos. É importante destacar que, mais do que nunca, aprender a lidar com o dinheiro é importante para a formação do cidadão.
A idéia de lucro e prejuízo e a desvalorização do dinheiro ao longo do tempo fazem parte do nosso cotidiano. É fundamental entender que o dinheiro tem “preço” (quando tomamos dinheiro emprestado ou aplicamos uma quantia no banco, pagamos ou recebemos juros sobre o valor) e que quanto mais tempo ficamos com o dinheiro parado, mais desvalorizado ele fica, e que, portanto, o tempo é fator importante na preservação do valor monetário. Aprender desde cedo a controlar suas finanças é importante. Em alguns países, como nos Estados Unidos, essa idéia já foi colocada em prática e as crianças aprendem na escola a lidar com suas economias.
Neste mini-curso abordamos o ensino de porcentagens com um enfoque dinâmico e visual: por meio do eixo das setas, o aluno desenvolve um raciocínio que o leva a perceber como proceder para resolver qualquer problema. Trabalhamos com a taxa percentual na forma decimal, encontrando o fator que deve ser multiplicado ao valor original para encontrar o novo valor. Por exemplo, para encontrar o preço de um objeto após um aumento de 20%, deve-se multiplicar o valor original por 1,2. Se for um desconto de 10%, o fator a ser multiplicado é 0,9.
Esse procedimento tem diversas vantagens:

- estimula o cálculo mental;

- o problema é resolvido com apenas uma operação de multiplicação;

- é adequado e estimula o uso da calculadora;

- facilita a resolução de problemas que envolvem descontos ou aumentos sucessivos;

- prepara para o trabalho com a variação do dinheiro no tempo e juros compostos.


Os alunos de 7ª e 8ª séries (atuais 8º e 9º anos) tendem a resolver os problemas de porcentagem pela aplicação de uma fórmula ou por regra de três, mas nas experiências que temos desenvolvido com professores e com alunos, ficam claros os benefícios do cálculo das porcentagens usando o fator.

O uso da calculadora em Matemática Financeira
O uso da calculadora no Ensino Fundamental sempre foi desaconselhado, pois acreditava-se que isto poderia fazer com que o aluno não memorizasse a tabuada, desaprendesse os algoritmos ou mesmo se tornasse preguiçoso. Mesmo a calculadora mais simples, conhecida como de “quatro operações”, deve ter seu uso incentivado pelo professor. Atualmente, cálculos feitos com lápis e papel devem estar associados ao cálculo mental, às estimativas e ao uso de calculadoras.
A calculadora é um recurso muito útil para a verificação e correção de resultados. Em diversas oportunidades, os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN’s) recomendam o uso da calculadora, segundo os autores, de acordo com a maioria dos pesquisadores, salientando que:

Dentre as várias razões para seu uso (da calculadora), ressalta-se a possibilidade de explorar problemas com números freqüentes nas situações cotidianas e que demandam cálculos mais complexos, como: os fatores utilizados na conversão de moedas, os índices com quatro casas decimais (utilizados na correção da poupança), dos descontos como 0,25% etc. (p. 67)

Além da exploração do conceito e aplicações da porcentagem desde o segundo ciclo, os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN’s) recomendam entre os conceitos e procedimentos para o quarto ciclo (7ª e 8ª séries) a


resolução de situações-problema que envolvem juros simples e alguns casos de juros compostos, construindo estratégias variadas, principalmente as que fazem uso de calculadora. (p.87)
Em Matemática Financeira, o uso da calculadora torna-se imprescindível, pois trabalha-se com números de várias casas decimais e também raízes com índices maiores que 3, o que torna o uso de lápis e papel muito trabalhoso, como no exemplo a seguir.
A que taxa devemos aplicar um capital para que em 6 meses ele tenha rendimento de 12,62%?
Desenvolvimento algébrico:

(1+ i)6 = 1,1262

Devemos calcular a sexta raiz de 1,1262. A calculadora deve ser utilizada sem prejuízo da compreensão do problema.
Neste curso, através de vários exemplos e exercícios, vamos mostrar a importância do uso da calculadora no estudo de Matemática Financeira.
Porcentagem como fator

No ensino de porcentagem é recomendável acostumar o aluno a usar a notação decimal, já que alguns exercícios podem ser resolvidos mais facilmente com essa notação. Por exemplo, para calcular o preço de uma mercadoria que sofreu um aumento de 15%, basta multiplicar o preço original P por 1,15, já que:

P + 15% de P = P + = P + 0,15 P = 1,15 P.
Para calcular um valor depois de acréscimos ou descontos sucessivos, a notação decimal deve ser usada para multiplicar (e não para somar) as taxas.
Exemplo 3:

Uma bolsa era vendida em duas lojas, sendo que na loja A o preço era R$30,00 mais caro que na loja B. A loja A resolveu fazer um desconto de 15%, e a bolsa passou a custar o mesmo que na loja B. Qual o preço da bolsa na loja B?


Este problema é muito simples de ser resolvido usando a notação decimal. É um desafio interessante deixar os alunos tentarem resolvê-lo pelos processos usuais, como a regra de três. Muitos alunos vão formar um sistema com as informações sobre o preço da bolsa nas lojas A e B. Depois apresente a eles uma solução que usa a porcentagem como fator, como a que segue.
Resolução:

0,15 A = 30,00 A = 200,00

B = 200,00 – 30,00 = R$ 170,00
Exercícios:

1) A comissão de um corretor de imóveis é igual a 5% do valor de cada venda efetuada.

a) Um apartamento foi vendido por R$62.400,00. Determine a comissão recebida pelo corretor.

b) Um proprietário recebe, pela venda de uma casa, R$ 79.800,00, já descontada a comissão do corretor. Determine o valor da comissão. (UFRJ)


2) Em um ano, o preço de uma mercadoria triplicou. Qual a porcentagem de aumento?
3) O dono de uma empresa resolveu dar um aumento de 5% para todos os funcionários. Qual o fator que deve ser multiplicado pelos salários atuais para obter os novos salários?
4) Depois de um aumento de 15%, um televisor passou a custar R$460,00. Qual era o preço do aparelho antes do aumento?


  1. A partir de 1º de abril de 2006, o salário mínimo passou de R$ 300,00 para R$350,00. Qual o percentual de aumento?

6) Observe a tabela abaixo: (Referência: Exames Supletivos –SEE/RJ 2004)



CANDIDATOS

NÚMERO DE VOTOS

A

6000

B

5000

C

5500

D

3500

E

4000

TOTAL DE VOTOS VÁLIDOS

24000

Obs.: Os votos brancos e nulos foram descartados por não serem considerados válidos.

O percentual de votos do candidato vencedor foi:



  1. 25%

  2. 30%

  3. 32%

  4. 35%


Eixo das setas

As situações dos problemas de Matemática Financeira podem ser representadas graficamente, usando o “eixo das setas” (Novelino e Novaes; Lima e outros, 2000).


É um diagrama composto por um eixo horizontal que funciona como uma escala de tempo, e setas verticais posicionadas sobre datas, indicando os valores em cada data.
No caso de porcentagem são apenas 2 setas: o valor inicial e o resultado após a aplicação da porcentagem.
Exemplo 4:

Numa liquidação, uma torradeira que custava R$45,00 teve um desconto de 12%. Qual o preço da torradeira na liquidação?


Para determinar o preço da torradeira na liquidação, precisamos calcular 12% de R$45,00, e diminuir do valor original.

Também podemos multiplicar o valor original pelo fator (1 – 0,12) = 0,88, obtendo diretamente o preço na liquidação:

0,88 x 45,00 = R$39,60
A resolução desse problema pode ser representado

pelo diagrama ao lado


O exemplo 1 acima também pode ser representado no eixo das setas:
0,85 A = A – 30,00

0,15 A = 30,00

A = 200,00 B = R$170,00

Use o eixo das setas para resolver os seguintes exercícios:

1) Quero vender um rádio que me custou R$120,00, com lucro de 15% sobre o preço de custo. Por quanto devo vendê-lo?
2) O salário bruto de um professor é de R$600,00. Se ele é descontado em 11% para a Previdência Social, quanto ele recebe de salário líquido?
3) Amauri anunciou sua bicicleta por R$800,00. Como estava precisando de dinheiro, aceitou vender sua bicicleta a um amigo com um desconto de R$100,00 sobre o preço pedido. Qual foi a taxa percentual do desconto concedido?
4) Em uma cidade, 6% dos habitantes são analfabetos. Se nessa cidade há 5.170 pessoas que sabem ler, quantos indivíduos moram nessa cidade?
5) Em um colégio, 38% dos alunos são meninos e há 155 meninas. Qual o número de alunos desse colégio?


  1. O preço de custo de um aparador de grama é de R$160,00. Se ele foi vendido por R$240,00, qual o percentual de lucro?


Aumentos ou descontos sucessivos:

Se um produto sofrer aumentos sucessivos, como deve ser calculada a taxa total de aumento? De acordo com Lima e outros (2000),


As pessoas menos educadas matematicamente têm tendência a achar que juros de 10% ao mês dão em dois meses juros de 20%. Note que juros de 10% ao mês dão em dois meses juros de 21%. (p. 45)
Imagine que um produto sofra um aumento de 20% num mês e outro de 10% no mês seguinte. Qual será a taxa de aumento total sobre o preço do produto nesses dois meses?

Pode-se supor que o preço do produto seja 100. Com o aumento de 20%, temos:

100 + (20% x 100) = 100 + (0,20 x 100) = 1,20 x 100 = 120.
Após o aumento de 10% teremos:

120 + (0,10 x 120) = (1 + 0,10) x 100 =

= 1,10 x 120 = 132 ou

1,10 x (1,20 x 100) = 1,32 x 100 = 132.

Portanto, a taxa total de aumento é de 32%.

Com o uso da calculadora:

=

x



Fator: 1,20

=

Fator: 1,10 1,20 1,32



1,32 - 1 0,32
x 100 = 32%
O mesmo problema poderia ser resolvido sem arbitrar um valor numérico, usando uma letra para representar o preço do produto.

Observe que a melhor maneira para resolver problemas desse tipo é usando a notação decimal, e a representação com o eixo das setas.


Tente resolver agora os problemas a seguir:
1) Num certo país, a inflação é muito alta, e os preços são reajustados mensalmente. Se num mês a taxa de inflação foi de 8% e no mês seguinte, de 10%, qual o reajuste acumulado ao fim desses 2 meses?


  1. A fim de atrair a clientela, uma loja anunciou um desconto de 20% na compra à vista de qualquer mercadoria. No entanto, para não ter redução na margem de lucro, a loja reajustou previamente seus preços, de forma que, com o desconto, os preços retornassem aos seus valores iniciais. Determine a porcentagem do reajuste feito antes do desconto anunciado. (UFRJ-1993)




  1. Investindo seu dinheiro à taxa de 5% ao mês, quanto você recebe depois de 2 meses?

Conjugando o eixo das setas com o uso da porcentagem como fator e o uso da calculadora, é possível estabelecer uma estratégia que facilita a resolução dos problemas, fornecendo aos alunos um método de raciocínio que pode ser aplicado a qualquer problema.



Exemplo 5:

Um professor comprou um computador por R$ 1.200,00, e uma impressora por R$300,00. Depois de algum tempo, conseguiu vender o computador com 12% de lucro, e a impressora com 5% de prejuízo.

No total, ele teve lucro ou prejuízo na venda? De quantos por cento?

Resolução Algébrica:

  1. Preço de venda do computador:

Pv = Pc (1+ i) = 1.200,00 (1 + 0,12) = 1.200,00 x 1,12 = R$ 1.344,00

  1. Preço de venda da impressora:

Pv = Pc (1- i) = 300,00 (1 - 0,05) = 300,00 x 0,95 = R$ 285,00


  1. Preço total de venda: R$ 1.344,00 + R$ 285,00 = R$1.629,00

Preço total de compra: R$ 1.200,00 + R$ 300,00 = R$ 1.500,00

Como o preço de venda foi maior que o de compra, houve um lucro. A taxa de lucro foi de:

1.629,00 = 1.500,00 (1 + i)



Logo, i = 0,086, o que corresponde a uma taxa de 8,6%.

Resolução com o uso da calculadora:


i)

Fator: (1 + 0,12) = 1,12 cálculo mental
1,12 x 1.200,00 = 1.344,00

ii)

Fator : (1 – 0,05) = 0,95 cálculo mental

0,95 x 300,00 = 285,00

iii)


1.629,00 : 1.500,00 - 1 = 0,086
x 100 = 8,6%
A seguir, resolva os seguintes problemas:

1) O Prefeito de certo município antecipa dois aumentos sucessivos aos funcionários públicos municipais: um de 5,5% e o outro, de 6,7%. Na data base, foi anunciado um reajuste de 25,5% descontadas as antecipações dadas, ou seja, os aumentos dados anteriores à data base. Qual o reajuste percentual de aumento que terão esses funcionários?


2) Um artigo é vendido, em uma promoção, com um desconto de 30%. Encerrada a promoção, o artigo retorna ao preço normal. Em quantos por cento aumenta o preço desse artigo?
3)

O trabalhador brasileiro, de acordo com o salário recebido mês a mês, está sujeito a uma “mordida do leão”, conforme tabela a seguir:




Valores do IR – FONTE

Alíquota

Parcela a deduzir

Até R$1 313,69

Isento

-

De R$ 1 313,70 a R 2 625,12

15%

R$ 197,05

Acima de R$2 625,13

27,5%

R$ 525,19

Para calcular o imposto:

1º) Tome o salário bruto mensal e subtraia o valor das deduções permitidas:

a) R$132,05 por dependentes; b) dedução especial de R$1.313,69 para aposentados, pensionistas e transferidos para a reserva remunerada com 65 anos ou mais; c) contribuição mensal à Previdência Social d) pensão alimentícia paga devido a acordo ou sentença judicial.

2º) Multiplique o resultado por 0,15 (alíquota de 15%) ou 0,275 (alíquota de 27,5%) e deduza a parcela correspondente à faixa.



Fonte: Secretaria da Receita Federal
De acordo com esses dados, determine:

a) O imposto a pagar por um trabalhador com 30 anos, 3 dependentes, renda mensal de R$2.800,00. Considere que ele não pague pensão alimentícia, não é aposentado /pensionista e o desconto previdenciário seja de 11%.


b) Analisando a tabela do imposto de renda acima, você pode observar a existência de parcelas a serem deduzidas em cada faixa. Você seria capaz de justificar o valor dessas parcelas?
Cálculo de taxas equivalentes:

Chamamos de Taxas Equivalentes às taxas que produzem juros iguais em períodos de tempos diferentes, aplicadas sobre o mesmo capital.

Chamaremos de Taxa Equivalente Maior ( iM ) quando for dada uma taxa num período menor, para ser calculada para um período de tempo maior que o dado.

O intervalo entre as setas representa a unidade de tempo dada pela taxa menor. No exemplo abaixo, cada seta representa a taxa a cada mês.

. . .





Considerando o período total, a taxa seria de 1 + i­M , que corresponde ao produto dos fatores (1 + i), por t meses. Então:

1 + i­M = (1 + i )t e segue que:



Exemplo 6: Calcular a taxa trimestral equivalente a 5% a.m.

Queremos avançar 3 unidades de tempo.

A solução pode ser resumida à utilização de uma tecla, se o aluno souber calcular mentalmente o fator: (1 + 0,05) = 1,05 (Cálculo mental)

1,05

yx 3 = 1,157625 15,7625%
Depois, retire o um antes da vírgula e desloque-a duas casas à direita.

Chamaremos de Taxa Equivalente menor (im) quando for dada uma taxa num período maior para ser calculada por um período de tempo menor que o dado.

. (1 + i)1/t . (1 + i)1/t . (1 + i)1/t . . .

(1+i)n/t




im = ( 1 + i ) n/t - 1
Exemplo 7:



Calcular a taxa mensal equivalente a 26,8242% a.a.

Observe que neste exemplo queremos voltar 12 unidades de tempo:

Então:



Teclas Visor

:

M+

Uso da memória



1 12
Fator: 1,268242

yx

RM

=
1,020000014

=

-


1 0,020000014

=

x


100 2,0000014 2%

Exercícios propostos:

  1. Calcular a taxa equivalente para 5 meses a 26,8242% a.a.



  1. Calcular a taxa trimestral equivalente a 26,8242% a.a.


Juros Simples

Nos juros simples, a cada período de tempo somamos a taxa, que incide sempre sobre o valor inicial. Essa modalidade não é muito praticada no mercado financeiro, devido à desvalorização monetária (inflação).




M = C ( 1 + n i)




Exemplo 8:

Um capital investido a juros simples, à taxa de 5% a.m., durante 6 meses, produz quanto de juros?
I = 5% = 0,05 Com calculadora.

n = 6 meses

ni = 6 x 0,05 = 0,30 6 x 0,05 = 0,30
Fator = 1,30 1 + 0,30 = 1,30



Se aplicarmos R$100,00, resgataremos um montante de: 100 x 1,30 = 130,00.


Juros Compostos

Modalidade praticada nos mercados onde existe inflação (todos).

Nos juros compostos multiplicamos a taxa.

M = c ( 1 + i)n



Exemplo 9:

Um capital investido a juros compostos, à taxa de 5% a.m., durante 6 meses, produz quanto de juros?
i = 5% = 0,05

n = 6 meses

(1 + i )n = ( 1,05 )6 = 1,34

Com a calculadora

1,05 yx 6 = 1,34
Se aplicarmos R$ 100,00, resgataremos um montante de: 100 x 1,34 = R$ 134,00.

EXERCÍCIOS

1) Desejo vender um livro que me custou R$ 20,00 com lucro de 15% sobre o preço de custo.

Determine:


  1. O preço de venda

  2. O lucro

2) Uma concessionária vende um modelo usado com prejuízo de 18,5 %. Se o carro custou R$ 38.000,00, então:



  1. Por quanto esse modelo deve ser vendido?

  2. Qual o valor do prejuízo?

3) Uma pessoa resolve vender o seu televisor, com prejuízo de 25% sobre o preço de custo. Se o aparelho foi vendido por R$ 400,00, determine:



  1. O preço de custo.

  2. O prejuízo.

4) Certa categoria profissional, em sua data base, conquistou um aumento de 12,8%, descontado o aumento antecipado de 5%. Qual o reajuste efetivo será dado nessa data a essa categoria?


5) O Prefeito de certo município antecipa dois aumentos aos funcionários públicos municipais: um de 5,5% e o outro, de 6,7%. Na data base, foi anunciado um reajuste de 25,5% descontadas as antecipações dadas, ou seja, os aumentos dados anteriores a data base. Qual o reajuste percentual de aumento que terão esses funcionários?
6) O preço do café sofrerá um aumento de 1,25%. Se a inflação do período é de 0,85%, qual a porcentagem real de aumento dado sobre esse preço?

Comentários finais

Introduzir o estudo da Matemática Financeira no Ensino Fundamental é um desafio que, atualmente, todo professor tem que enfrentar. Neste mini-curso adotamos uma abordagem prática e visual, que permite ao aluno raciocinar sobre a situação que se apresenta e encontrar a solução mais vantajosa. A calculadora é uma ferramenta que, se bem explorada, pode ajudar na resolução das tarefas, sem prejuízo para a aprendizagem significativa.

Professores de Ensino Fundamental do Rio de Janeiro têm se mostrado muito receptivos a essas idéias, e alguns já estão adotando essa abordagem com bons resultados.
Referências

Brasil, Ministério da Educação (1988): Parâmetros Curriculares Nacionais.


Lima, EL, Carvalho, PCP, Wagner, E, Morgado, AC (2000): A Matemática do Ensino Médio, vol. 2, Coleção do Professor de Matemática, SBM.
Secretaria de Educação do Município do Rio de Janeiro (2002): Resultados da Avaliação dos alunos da 4ª série do E.F.
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