Ecuatii diferentiale

2.39.7. Alte aplicaţii

2.3.1Ex.1, pg. 529

O placă de metal cu feţele perfect izolate termic coincide cu un pătrat cu laturile egale cu unitatea în planul xy iniţial, temperatura în placa are o distribuţie de forma u(x,y,0) = g(x,y). Dacă în placă nu exista surse de căldură, să se găsească distribuţia temperaturii în placă, ştiind că marginile superioară şi inferioară sunt perfect izolate, marginea din stânga este menţinută la temperatura = 0, iar marginea pe din dreapta se menţine o distribuţie de temperatură de forma u(1,y,t) = f(y).

Rezolvare

Pentru a afla soluţia problemei trebuie rezolvată ecuaţia căldurii în regim nestaţionar în coordonate bidimensionale:

(1) (2.63)

Soluţia u(x.y,t) este formata dintr-o componenta tranzitorie dependentă de timp şi o componentă staţionară către care va tinde întreaga soluţie pe măsură ce efectul tranzitoriu dispare.

(2) (2.64)

în care termenul staţionar satisface ecuaţia lui Laplace, iar termenul (x,y,t) satisface ecuaţia căldurii (1). Mai mult, a fost determinată într-o problemă precedentă astfel încât. acum trebuie determinat doar (x,y,t).

Înainte de aceasta, să formulăm condiţiile la limită pe care trebuie să le satisfacă . Deoarece u(x,y,0) = 0 şi deoarece satisface deja condiţia ,rezultă că punând x = 0 în (2) avem (0,y,t) = 0.

Din de-a lungul marginii superioare.

În final, punând x = 1 şi apelând distribuţia de temperatura pe marginea din dreapta

sau

Ştiind că  trebuie să satisfacă condiţiile omogene la limită:

(3) (2.65)

vom încerca să aflam funcţia  prin separarea variabilelor din ecuaţiei (1).

Ecuaţia diferenţiala parţială pe care o vom rezolva are 3, în loc de 2 variabile independente, astfel încât vom presupune o soluţie de forma:

φ(x, y, t) = X(x)Y(y)T(t)

vom încerca să aflăm funcţia φ prin separarea variabilelor din ecuaţia (1). Ecuaţia diferenţială parţială pe care o vom rezolva, are trei în loc de două variabile independente, astfel încât, vom presupune o soluţie de forma:

φ(x, y, t) = X(x)Y(y)T(t)

Înlocuind în ecuaţia (1), împărţind cu XYT şi separând pe X se obţine:

(4) (2.66)

Deşi y şi t apar în acelaşi membru drept, ele sunt independente de x, şi astfel fiecare membru al acestei ecuaţii trebuie să fie o constantă, de exemplu . Astfel x satisface ecuaţia: X^" = μx.

1. 
   Dacă  = ²>0 (λ>0): X = A cosh λx+B sinh λx
   

Din prima condiţie la limită, ecuaţia (3), adică

φ(0, y, t) ≡ X(0)•Y(y)•T(t) = A Y(y)•T(t) = 0  A = 0

Similar, din a II-a condiţie la limita, adică:

φ(1, y, t) ≡ X(0)•Y(y)•T(t) = B Y(y)•T(t) = 0  B = 0

Astfel, când μ>0: X(x) = 0 şi se obţine doar soluţia banală.

b) μ = 0 : X = Ax+B. Din nou, din condiţia la limită  A = B = 0

c) μ = -λ²<0 (λ>0): X = A cos x + B sin x

Din prima condiţie la limită rezultă A = 0. A doua condiţie implică B sin λY(y)T(t) = 0 şi deoarece B nu poate fi zero, trebuie să avem: sinh λ = 0 < = > λ_m = m, m = 1.2.3... Deci:

X_m(x) = sin mx, m = 1, 2, 3... (5) (2.67)

Continuând cu cealaltă ecuaţie ce rezultă din relaţia (4) se obţine:

= = m²²  = a² (6) (2.68)

Deoarece y şi t sunt independente, fiecare membru al acestei ecuaţii trebuie să fie o constantă, de exemplu η. Astfel Y satisface relaţia Y^" = ηY

1. 
   Dacă η = λ²>0 (λ>0): Y = C cosh νy+D sinh νy şi Y^’ = ν C cosh νy + ν D sinh νy
   

Din cea de-a treia condiţie la limita, ecuaţia (3), adică:

_x,o,t≡X(x)•Y^’(0)•T(t) = X(x)(νD) •T(t) = 0 = > D = 0

similar, din cea de-a IV-a condiţie la limită , ecuaţia (3), adică

_x,1,t≡X(x)•Y^’(1)•T(t) = X(x)( ν C sinh ν) T(t) = 0 = >C = 0

Deci, pentru η>0 Y(y) = 0 şi se obţine doar o soluţie banală.

2. 
   η = 0 = >Y = Cy+D = >C = 0, D – oarecare
   

Deci Y = D este o soluţie pentru termenul Y.

3. 
   η = -λ²<0 (λ<0):
   

Y = C cos νy + D sin νy şi Y^’ = -ν C cos νy+ν D sin νy

Din a treia condiţie la limită rezultă D = 0; din a patra condiţie la limită rezultă

X(x)( -ν C sinν) T(t) = 0

Deoarece C≠0 = > sin ν = 0 < = > ν_n = nπ, n = 1, 2, ...

Deci Y_n(y) = cos nπy, n = 1, 2, ..., sau incluzând soluţia Y = ct.

Y_n(y) = cos nπy, n = 0, 1, 2,.... (7)

Din relaţia (6) se observă că T satisface ecuaţia: T^’ = -T(m²+n²)π²/a² = >

T = E_mn exp[-(m²+n²) π²t/a²] (8) (2.69)

Combinând relaţia (5) şi (7) cu (8) se poate scrie explicit soluţia generală sub forma:

_mn(x, y, t) = E_mnsin mx cos ny exp[-(m²+n²) ²t/a²] (9) (2.70)

Dacă ne întoarcem la ecuaţia (3) şi punem condiţia t = 0 se va obţine că:

u(x, y, 0)≡ g(x, y) = (x, y, 0) + Ψ(x, y)

Astfel, pentru a satisface condiţia iniţială de temperatură în întreaga placă trebuie ca:

φ(x, y, 0) = H(x, y) unde H(x, y) = φ(x, y, 0) - Ψ(x, y)

Nici una din soluţiile obţinute în ecuaţia (9) pentru φ nu poate singură să se reducă la funcţia H(x, y) pentru t = 0. Trebuie deci să formăm cu ele o serie infinită şi să încercăm să facem ca această serie să se reducă la H(x, y) când t = 0. Dar acum, deoarece avem doi parametri independenţi, m şi n în soluţie, soluţia generală pentru φ va fi o serie dublă:

Pentru. t = 0 aceasta trebuie să se reducă la

în (10) suma interioară este o funcţie doar de n şi x de ex G_n(x), şi astfel ecuaţiei (10) poate fi scrisă ca . Dar, pentru orice valoare particulară a lui x, aceasta este doar dezvoltarea în serie Fourier de cos a lui H(x,y), deşi n acum este ca funcţie de y pentru 0≤y≤1.

Astfel se poate scrie

(11) (2.71)

Dar, prin definiţie şi aceasta este dezvoltarea în serie Fourier de sin a lui G_n(x) pentru 0≤x≤1. Deci

(12) (2.72)

Dacă dorim putem înlocui pe G_n(x) din (11) în (12) şi obţinem:

Dacă se cunosc coeficienţii E_mn, funcţia φ(x,y,t) este complet determinată.

Acum din componenta tranzitorie  şi componenta staţionară  se poate obţine soluţia u(x,y,t) cu relaţia (2).

2.3.2 EX.5, pg 537

O bară subţire semifinită are suprafaţa laterală perfect izolată termic şi se întinde de la x = 0. Să se definească variaţia temperaturii în bară în timp şi spaţiu, dacă capătul din stânga este menţinut la o temperatura constantă şi iniţial temperatura iniţială în bară este de forma u(x,0) = f.

La fel ca în ex1, sect 9 b pag 505, funcţia u = B exp(-λ²t/a₂)sin λx satisface ecuaţia căldurii şi condiţia la limită pentru capătul din stânga al barei, u(0,t) = 0.

În afara de cea de-a doua condiţie la limită nu avem nici o altă restricţie pentru λ; astfel în loc de o serie infinită de valori caracteristice discrete λ_n, cărora le corespund soluţiile: putem avea o familie continuă de soluţii unde constanta arbitrară B este acum asociată nu cu n ci cu parametrul continuu care, fără a reduce din generalitate, putem presupune că este nenegativ.

În acest caz nu se poate vorbi de o serie ∞ de soluţii particulare în locul însumării soluţiilor produs pentru fiecare valoare a lui n, încercam să integram după λ, obţinând:

(31) (2.73)

Se verifica uşor prin substituţie directă că această ec. este o soluţie directă a ec. căldurii .

Pentru a găsi u(x,t) se impune condiţia iniţială u(x,0) = f(x). Pentru t = 0

Aceasta este doar o formă a integralei Fourier (sec.7.7). Acolo discutând de ceea ce am numit integrala Fourier de sinuşi s-a văzut (ec. 15.a, sect 7.7) că dacă , atunci coeficientul B() este dat de formula

Introducând variabila fictivă s pentru. x în integrala care îl defineşte pe B(), iar apoi înlocuindu-l pe acesta se obţine soluţia:

2.3.3 Ex 6., pg. 538

Să se găsească distribuţia temperaturii în regim staţionar într-o foaie subţire de material care coincide cu jumătatea superioară a planului x,y , dacă porţiunea axei x cuprinsa între x = -a şi x = a este menţinută la temperatura T₀, iar restul axei x este menţinută la temperatura 0.

Problema trebuie să rezolve ecuaţia căldurii în regim staţionar, ec. Laplace, cu condiţia la limita şi condiţia implicită ca pentru y0: u(x,y)0

Dacă se presupune o soluţie de forma u(x,y) = X(x)Y(y), înlocuind în ecuaţia Laplace şi separând variabilele se obţine:

a.

; din a doua condiţie la limită rezultă C = D = 0 se obţine soluţia banală.

b. Y = Cy+D  C = D = 0  sol banală

c.

:Datorită simetriei problemei (u(x,y) = u(-x,y)) = B = 0. Rezultă că deoarece nu sunt condiţii suplimentare pentru λ , în loc să avem o serie infinită de valori caracteristice discrete λ_n cu soluţia produs corespunzătoare: u_n(x,y) = A(λ)e^-λ_n^ycos λ_n , avem o familie continuă de soluţii u_λ(x,y) = A(λ)e^-λycos λx, unde coeficientul A este asociat acum nu cu n ci cu parametrul continuu λ, care putem presupune că are o valoare pozitivă.

Ca în exemplul precedent (9.7 ex.5) nu se poate vorbi de o serie infinită de soluţiile produs pe care le-am dat în loc de a face suma lor după n; ele trebuie deci integrate după :

u(x,y) = u_λ(x,y)d = A(λ)e^-λycos x d (32) (2.74)

Dacă se pune condiţia la limită impusă pentru axa x avem:

u (x,0) = A(λ)cos λx dλ = f(x) =

Cu alte cuvinte ultima integrală trebuie să fie integrala în cos a funcţiei f. Deci, conform ecuaţiei 14.b, cap 7.7, funcţia coeficientului A() e dată de relaţia:

A(λ) = f(x)cos(λx)dx = T₀ cos(λx)dx = sin λx = T₀

Dacă înlocuim valoarea obţinuta pentru A în ecuaţia (32) se obţine soluţia problemei

u (x,y) = T₀e^-λydλ

Limitele ultimei integrale precum şi prezenta factorului e^-λy în integrant sugerează cu tărie o transformare Laplace. Folosindu-se această observaţie formula pentru soluţia u (x,y) poate fi considerată simplificată. Pentru aceasta să-l interpretăm pe λ ca fiind variabila t iar pe y ca variabila s, conform notaţiilor obişnuite pentru transformarea Laplace. Atunci u(x,y) este transformata Laplace a lui T₀, iar aceasta transformată este conform T₈ , secţiunea 8.4. egală cu:

= >

Astfel

u(x,y) = T₀dy = T₀

Din figură se observă că = φ₁ şi = ₂.

Astfel u(x,y) = T₀(φ₁- φ₂ ) = T₀Ө conform teoremei unghiului extern, izotermele din aceasta problemă sunt curbe pentru care Ө = ct.

Locul geometric al unui punct P cu proprietatea că A₁PA₂ = ct este un arc de cerc cu capetele în A₁ şi A₂.

Familia de izoterme este deci o familie de arce circulare de cerc, din semiplanul superior, cu capetele în A₁ şi A₂.

2.3.4Exemplul nr. 3, [ⁱ, pg 548]

Se consideră o bară subţire semi-infinită, izolată, al cărei capăt din stânga este menţinut la o temperatură cu variaţie cunoscută în timp U(t). Să se afle distribuţia de temperatura în bară la orice moment de timp ulterior, considerând transferul de căldură uni-dimensional.

Un cablu semi-infinit de lungime infinită de-a lungul căruia pierderile sunt neglijabile şi cu inductanţa neglijabilă este iniţial neparcurs de curent. La momentul t = 0 se aplică la capetele firului un semnal arbitrar de tensiune U(t). Aflaţi potenţialul e(x,t) în orice punct al cablului, la orice moment de timp ulterior t = 0.

2.3.4.1Rezolvare

Pentru această problemă trebuie să rezolvăm ecuaţia telegrafului Ec. (21a), Sec. 9.2,

(17) , unde a² = RC (1.75)

cu condiţiile la limită

(18) u(0,t) = U(t) (1.76)

(19) u(x,t) limitat pentru x →  (1.77)

şi condiţia iniţială

(20) u(x,0) = 0 (1.78)

Aplicând transformarea Laplace în raport cu t la ec (17) şi utilizând condiţia iniţială (20) obţinem

L{(u(x,t)} = a²sL{(u(x,t)} (1.79)

ca fiind ecuaţia diferenţială liniară verificată de transformarea potenţialului. Rezolvând această ecuaţie pentru L {(u(x,t)}, găsim soluţia

(21) L{(u(x,t)} = (1.80)

Deoarece u(x,t) şi deci şi L{(u(x,t)} trebuie să fie finite pentru x → , este necesar ca B(s) = 0. Pentru a determina A(s) observăm că atunci când x = 0,

L {u(x,t)} = L{u(0,t)} = L {U(t)} (1.81)

De aici, înlocuind în ecuaţia (21), găsim: A(s) = L {U(t)} şi

(22) L {u(x,t)} = L{U(t)} (1.82)

Pentru a determina u(x,t) va trebui să folosim teorema convoluţiei, dar înainte de a face aceasta, trebuie să ştim inversul lui . Până în acest moment nu am întâlnit nici o funcţie de t care să aibă în transformarea ei o funcţie de s. Se poate arăta că:

L (1.83)

Aşadar, luând b = ax şi aplicând integrala convoluţiei, obţinem din (22)

(23) u(x,t) = (1.84)

În particular, dacă U(t) este o pas de temperatură egal cu unitatea, deoarece U(t - ) = 1 pentru  < t şi U(t - ) = 0 pentru  > t, avem

u(x,t) = (1.85)

Acum, dacă schimbăm variabila de integrare din  în z prin substituţia a²x²/4 = z², atunci  = a²x²/4z², dy = -a²x²/2z³ dz, şi ultima integrală devine:

u(x,t) = = =
(24) = - (1.86)

Prin substituţia z² = v, prima integrală devine:

deoarece . Astfel, ecuaţia (24) poate fi scrisă şi sub forma

(25) u(x,t) = 1 - = 1 - erf (1.87)

unde

(26) (1.88)

Aceasta este aşa numita funcţie eroare, o funcţie tabelată care poate fi găsită în majoritatea cărţilor de tabele matematice. Uneori, în locul funcţiei eroare prezentate aici (care se foloseşte în fizică şi în inginerie), este prezentată integrala de probabilitate din statistica matematică:

() = (1.89)

Dacă în funcţie eroare se face substituţia z = w/, aceasta devine şi astfel se obţine relaţia erf() = 2() - 1.