MÜhaziRƏ 1 Analizə giriş Riyazi induksiya üsulu

Misal 14. olduğunu göstərin.

Həlli. 3) və 4) xassələrinə əsasən yaza bilərik:

İndi isə olduğunu göstərək. və . Deməli, .

Digər tərəfdən, Deməli, . Hər iki nəticədən hökmün doğruluğu alınır.

Misal 15. olduğunu göstərin.

Həlli. və işarə edək. İxtiyari olsun. Onda, buradan alınır ki, və və və və . Yəni və deməli, .

İndi isə götürək və və və və , yəni və deməli, həm də . Hər iki nəticədən alınır.

Misal 16. olduğunu göstərin.

Həlli. və və ya və və və ya və və və ya və ya və və ya və .

Misal 17. olduğunu göstərin.

Həlli. Verilmiş bərabərliyin sol tərəfindəki çoxluğa daxil olan ixtiyari cütü götürək. və və və və və və və və .

MÜHAZİRƏ 3
Məhdud və qeyri məhdud ədədi çoxluq.

Ədədi çoxluğun sərhəddi.
Tərif 7. Əgər elə ədədi varsa ki, ədədi çoxluğunun istənilən elementi

(1)

bərabərsizliyini ödəyir, onda çoxluğuna yuxarıdan məhdud çoxluq deyilir.

Əgər elə ədədi varsa ki, ədədi çoxluğunun istənilən elementi

(2)

bərabərsizliyini ödəyir, onda çoxluğuna aşağıdan məhdud çoxluq deyilir.

Tərif 8. Aşağıdan və yuxarıdan məhdud çoxluğa məhdud çoxluq deyilir. əks halda, çoxluq qeyri-məhdud çoxluq adlanır.

(1) bərabərsizliyini ödəyən hər bir ədədinə yuxarıdan məhdud çoxluğunun yuxarı sərhəddi deyilir. (2) bərabərsizliyini ödəyən hər bir ədədinə isə aşağıdan məhdud çoxluğunun aşağı sərhəddi deyilir.

Tərif 9. Yuxarıdan məhdud çoxluğunun yuxarı sərhəddinin ən kiçiyinə həmin çoxluğun dəqiq yuxarı sərhəddi deyilir, başqa sözlə: ədədi ədədi çoxluğunun dəqiq yuxarı sərhəddidirsə o aşağıdakı iki şərti ödəyir:

1) İstənilən üçün ;

2) ixtiyari ədədi üçün elə elementi var ki, .

çoxluğunun dəqiq yuxarı sərhəddini kimi işarə olunur.

Tərif 10. Aşağıdan məhdud çoxluğunun aşağı sərhəddinin ən böyüyünə həmin çoxluğun dəqiq aşağı sərhəddi deyilir, başqa sözlə: ədədi ədədi çoxluğunun dəqiq aşağı sərhəddidirsə o aşağıdakı iki şərti ödəyir:

1) İstənilən üçün ;

2) ixtiyari ədədi üçün elə .

çoxluğunun dəqiq aşağı sərhəddi kimi işarə olunur.

Teorem. Yuxarıdan (aşağıdan) məhdud hər bir çoxluğun dəqiq yuxarı (aşağı) sərhəddi vardır.

Əgər çoxluq yuxarıdan qeyri-məhduddursa , aşağıdan qeyri-məhdud olduqda isə kimi qəbul olunur.

Çoxluğun dəqiq yuxarı və dəqiq aşağı sərhəddi həmin çoxluğa daxil ola da bilər, olmaya da. olarsa çoxluğunun maksimumu (və ya maksimal elementi) adlanır və kimi işarə olunur, olduqda çoxluğunun minimumu (və ya minimal elementi) adlanır və kimi işarə olunur.

Məsələn, həm həm də ədədi çoxluqlarının dəqiq yuxarı sərhəddidir, çoxluğunun isə, həm də maksimumudur, yəni , .

Misal 23. və ya olduqda

. Maksimumu isə yoxdur.

Misal 24. funksiyasının təyin oblastının, əgər varsa, dəqiq aşağı və dəqiq yuxarı sərhədlərini təyin edin.

Həlli. Baxılan funksiyanın təyin oblastı

bərabərsizliyindən tapılır:

Deməli, . Ona görə də . Çoxluğun minimal və maksimal elementi yoxdur. Doğrudan da fərz etsək ki, məsələn, bu çoxluğun ən böyük elementidir, onda istənilən üçün .

Lakin məsələn, götürsək, asanlıqla görmək olar ki, və . Bu isə ədədinin baxılan çoxluğun ən böyük elementi olmasına ziddir.

Misal 25. funksiyasının qiymətlər çoxluğunun, əgər varsa, sərhədlərini təyin edin.

Həlli. Misal 10-da nəticə olaraq alınmış bərabərsizliyinə əsasən olduğundan . Göründüyü kimi, baxılan funksiyanın qiymətlər çoxluğu aşağıdan məhdud, yuxarıdan isə qeyri-məhduddur: .

Misal 26. Aşağıdakı çoxluqların dəqiq aşağı və dəqiq yuxarı sərhədlərini müəyyən edin.
1)

2)

3)

Həlli. 1) Asanlıqla görmək olar ki, .

Ona görə də . Göstərək ki, . Doğrudan da, yuxarıda qeyd etdiyimiz kimi istənilən üçün . Digər tərəfdən göstərək ki, üçün elə var ki, . Buradan tapırıq ki, . Deməli, tələb olunan bərabərsizlik olduqda ödənir.

2) işarə etsək, olduğundan, baxılan çoxluğun elementləri artan ardıcıllıq təşkil edir. Ona görə də,

Digər tərəfdən,

Digər tərəfdən, göstərmək olar ki, istənilən üçün elə var ki,

bunun üçün seçmək kifayətdir.

3) olması aşkardır. Göstərək ki, . Doğrudan da, istənilən üçün və ixtiyari üçün elə və var ki, və .

Misal 27. olduqda və olduğunu göstərin, burada R həqiqi ədədlər çoxluğudur.

Həlli. və işarə edək. çoxluğu yuxarıdan qeyri-məhdud olduqda və buradan olduğu aydındır. yuxarıdan məhdud olduqda sonlu ədəddir. olduğundan, hər bir üçün həm də və deməli olur. Yəni həm də çoxluğunun yuxarı sərhəddir. bu çoxluğun dəqiq yuxarı sərhəddi olduğundan, və ya .

Dəqiq aşağı sərhəd üçün hökmün doğruluğu analoji qaydada isbat olunur.

Misal 28. Tutaq ki, və həqiqi ədədlər çoxluğunun boş olmayan alt çoxluqlarıdır və hər bir və üçün . Göstərin ki, çoxluğu yuxarıdan, çoxluğu aşağıdan məhduddur və .

Həlli. Hər bir qeyd olunmuş və istənilən üçün olduğundan, çoxluğunun hər bir elementi çoxluğunun yuxarı sərhəddidir. Ona görə də çoxluğu yuxarıdan məhduddur və . Sonuncu bərabərsizlik həm də göstərir ki, çoxluğu aşağıdan məhduddur və .

Misal 29. və həqiqi ədədlər çoxluğunun boş olmayan məhdud alt çoxluqlarıdır. Göstərməli ki,

1)

2)

Həlli. 1) və məhdud çoxluqlar olduğundan elə sonlu və ədədləri vardır ki, və . Ümumiliyi pozmadan fərz edək ki, . Onda hər bir üçün və hər bir üçün .

Deməli, hər bir üçün . Bu isə çoxluğunun yuxarıdan məhdud olduğunu göstərir və aydındır ki, .

Digər tərəfdən, olduğundan Misal 15 - də alınan nəticəyə görə hökm edə bilərik ki, və ya . Son iki bərabərsizliklərdən və olduğundan alırıq ki,

Analoji olaraq mühakimələrlə 2) bərabərliyinin doğruluğunu göstərmək olar.

Misal 30. həqiqi ədədlər çoxluğunun boş olmayan alt çoxluğudur, və

Onda yuxarıdan məhdud və olarsa isbat etməli ki,

və ya

Buradan, olduğundan alınır ki, . Deməli, ədədi çoxluğunun yuxarı sərhəddidir. Göstərək ki, məhz bu dəqiq yuxarı sərhəddir. Bunun üçün tutaq ki, çoxluğunun hər hansı bir yuxarı sərhəddidifr, yəni istənilən üçün və ya . Bu isə o deməkdir ki, ədədi çoxluğunun yuxarı sərhəddidir. bu çoxluğun dəqiq yuxarı sərhəddi olduğundan

və ya

və deməli çoxluğunun yuxarı sərhədlərinin ən kiçiyidir, yəni , yaxud .