MÜhaziRƏ 1 Analizə giriş Riyazi induksiya üsulu

3) . Göstərməli ki, .

Həlli. Yaza bilərik:

Buradan, . Deməli, götürsək olduqda bərabərsizliyi ödənir. Bu isə hökmün doğruluğunu göstərir. kəmiyyətinin bəzi qiymətlərinə uyğun nömrəsini tapmaq olar:

	0,1	0,01	0,001	0,0001
	8	75	750	7500

Verilmiş ardıcıllıq ədəd oxunda aşağıdakı kimi təsvir olunur:

0

Şəkil 2.5

Hökmün doğruluğunu aşağıdakı kimi də müəyyən etmək olar. Surət və məxrəci n-ə bölək:



4) olduqda olduğunu göstərin.

Həlli. olarsa üçün olduğundan, . Tutaq ki, . Onda, olduğundan, elə ədədi var ki, . Bernulli bərabərsizliyinə əsasən (bax §1.2, Misal 11) alırıq ki, və deməli, . Bu bərabərsizlik isə , olduqda doğrudur.

Buradan nəticə olaraq tapırıq ki, məsələn,

və s.

Misal 13. Hansı nömrədən başlayaraq verilmiş ardıcıllığın hədləri bərabərsizliyini ödəyir?

1) .
olduğundan, şərtindən alırıq ki, və ya .

Elementar çevrilmələrdən sonra tapırıq ki,

Deməli, nömrəsindən başlayaraq verilmiş ardıcıllığın hədləri tələb olunan bərabərsizliyi ödəyir

2) .
Həndəsi silsilənin cəmi düsturuna əsasən ardıcıllığın ümumi həllini aşağıdakı kimi çevirə bilərik:

Onda, və ya . Buradan , yəni nömrəsindən başlayaraq tələb olunan bərabərsizlik ödənir.

Misal 14. Ardıcıllıqların dağılan olduğunu göstərin.

1) ;

olduğundan və ardıcıllığı ədəd oxunda təsvir edə bilərik:

-1

1

Şəkil 2.6.

olduqda,

.

olduqda isə

Buradan alırıq ki, seçsək nömrəli (yəni cüt nömrəli) hədlər bərabərsizliyini, nömrəli (yəni tək nömrəli) hədlər isə bərabərsizliyini ödəyir. Başqa sözlə, həm , həm də nöqtəsinin istənilən ətrafında baxılan ardıcıllığın sonsuz sayda həddi var. Bu isə yığılan ardıcıllığın limitinin yeganə olmasına ziddir. Deməli, ardıcıllıq dağılandır.

2) ;

Ardıcıllığın hədləri ədəd oxunda aşağıdakı kimi təsvir edilə bilər

0

6
Şəkil 2.7.

Hər hansı ədədi baxılan ardıcıllığın limiti ola bilməz. Çünki, seçsək ardıcıllığının şərtini ödəyən sonsuz sayda həddi nöqtəsinin ətrafına daxil olmayacaq. nöqtəsi də baxılan ardıcıllığın limiti ola bilməz, çünki bu nöqtənin ətrafına daxil olmayan sonsuz sayda hədd (cüt nömrəli hədlər) var.

3) ;

Göstərək ki, verilmiş ardıcıllıq qeyri - məhduddur. Yaza bilərik:

Buradan alırıq ki, M istənilən müsbət ədəd olduqda nömrəli hədlər bərabərsizliyini ödəyir, yəni ardıcıllıq qeyri məhduddur. Deməli, ardıcıllıq dağılır. Çünki, əks halda Teorem 2 – nin hökmünə əsasən ardıcıllıq məhdud olardı.

İndi isə limitin bilavasitə hesablanmasına aid misallara baxaq.

Misal 15. Aşağıdakı limitləri hesablayın.

1) ;

2) ;

3)

;

4)

;

5) .

işarə etsək . olduğundan Teorem 5- ə görə hökm edə bilərik ki, ;

6)

§ 1.2 Misal 5- ə görə , ədədi silsilənin cəm düsturuna görə isə . Deməli, və

;

7)



8)



9)

= ,

burada nəzərə alınmışdır ki, olduğundan, (bax misal 12, 4).
10) ;
olduğundan, və deməli, . Digər tərəfdən olması şərtindən və Teorem 5 – in hökmünə görə .

11)


MÜHAZİRƏ 7
Sonsuz kiçik və sonsuz böyük kəmiyyətlər.
Tərif 9. İstənilən ədədi üçün nömrəsi varsa ki, olduqda , onda ardıcıllığına sonsuz kiçik kəmiyyət deyilir.

Tərifdən görünür ki, sonsuz kiçik kəmiyyət limiti sıfıra bərabər olan ardıcıllıqdır, yəni

. Məsələn, və s. sonsuz kiçik kəmiyyətlərdir.

Əgər ardıcıllığının limiti a ədədidirsə elə sonsuz kiçik kəmiyyəti var ki, . Məsələn, ardıcıllığı üçün olduğundan, , .

Sonsuz kiçik kəmiyyətin əsas xassələri aşağıdakı teoremlərlə ifadə olunur.

Teorem 6. Sonlu sayda sonsuz kiçik kəmiyyətin cəbri cəmi və hasili də sonsuz kiçik kəmiyyətdir.

Teorem 7. Sonsuz kiçik kəmiyyət məhduddur.

Teorem 8. Məhdud ardıcıllıqla sonsuz kiçik kəmiyyətin hasili sonsuz kiçik kəmiyyətdir.

Tərif 10. İstənilən ədədi üçün elə nömrəsi varsa ki, olduqda olduqda ardıcıllığına sonsuz böyük kəmiyyət deyilir və bu simvolik olaraq

kimi yazılır.

Məsələn, ümumi həddi olan ardıcıllığı sonsuz böyük kəmiyyətdir.

Aydındır ki, hər bir sonsuz böyük kəmiyyət qeyri-məhdud ardıcıllıqdır. Lakin, qeyri-məhdud ardıcıllıq sonsuz böyük kəmiyyət olmaya da bilər. Məsələn, ümumi həddi olan ardıcıllığı qeyri-məhdud ardıcıllıq olduğu halda sonsuz böyük kəmiyyət deyil.

Hər bir sonsuz böyük kəmiyyət dağılan ardıcıllıq hesab edilir.

Teorem 9. Əgər sonsuz böyük kəmiyyətdirsə müəyyən n nömrəsindən başlayaraq ardıcıllığı təyin olunub və sonsuz kiçik kəmiyyətdir. Əgər sonsuz kiçik kəmiyyətinin elementləri sıfırdan fərqlidirsə ardıcıllığı sonsuz böyük kəmiyyətdir.

Misal 17. 1) İsbat edin ki, ardıcıllığı sonsuz kiçik kəmiyyətdir.

Həlli. Riyazi induksiya üsulu ilə göstərmək olar ki,

bərabərsizliyi doğrudur (bax Misal 22, §1.2).

Onda yaza bilərik:


Buradan,

,

yaxud,

və deməli, .

2) Göstərin ki, ardıcıllığı sonsuz böyük kəmiyyətdir.

Həlli.

İstənilən ədədi üçün bərabərsizliyi olduqda, yəni nömrəli hədlər üçün ödənir. Deməli, baxılan ardıcıllıq sonsuz böyük kəmiyyətdir və ya .

MÜHAZİRƏ 8
Monoton ardıcıllığın limiti
Monoton ardıcıllığın yığılma əlaməti aşağıdakı teoremlərlə verilir.

Teorem 10. Artan yuxarıdakı məhdud ardıcıllığının limiti var və



Azalan, aşağıdan məhdud ardıcıllığının limiti var və

Teorem 2-yə görə yığılan ardıcıllıq məhdud olduğu halda, məhdud ardıcıllıq həmişə yığılan deyil. Məsələn, ardıcıllığı məhduddur, lakin dağılan ardıcıllıqdır (bax Misal 14.1). Monoton ardıcıllıqlar üçün isə aşağıdakı hökm doğrudur.

Teorem 11. Monoton ardıcıllığın yığılan olması üçün zəruri və kafi şərt onun məhdud olmasıdır.

Misal 18. Ardıcıllıqların limitini tapın.

1)

Ardıcıllığın monoton məhdud ardıcıllıq olduğunu göstərək.

,

çünki, . Deməli ardıcıllıq monoton azalandır. Digər tərəfdən asanlıqla görmək olar ki, , yəni ardıcıllıq məhduddur. Ona görə teorem 10-a əsasən hökm edə bilərik ki, onun limiti var. Bu limiti c ilə işarə edək və

Bərabərsizliyində şərti ilə limitə keçək:

Buradan, və deməli c=0, yəni . Həm də teorem 10-a əsasən hökm edə bilərik ki, .

2) ;

. Göründüyü kimi, və ya , yəni nömrəsindən başlayaraq ardıcıllıq azalır və aşağıdan 0-la məhduddur. Ona görə də onun limiti var. Bu limiti c ilə işarə edərək

bərabərsizliyində şərtilə limitə keçək:

Buradan c=0c=0, yəni və deməli, .