MÜhaziRƏ 1 Analizə giriş Riyazi induksiya üsulu

3) ;

və olduğunu nəzərə alsaq yaza bilərik:

Digər tərəfdən, Bernulli bərabərsizliyində (bax § 1.2, Misal 11) götürsək,

.

Bu qiymətləndirməni yuxarıda nəzərə alaq. Onda

olduğundan, alırıq ki, ixtiyari üçün . Deməli, baxılan ardıcıllıq monoton artan ardıcıllıqdır.

4) ;

fərqini qiymətləndirək. olduğundan, və ya istənilən n üçün , yəni ardıcıllıq monoton artandır.

5) ; ;

Əvvəlcə, induksiyaya əsaslanaraq göstərək ki, .

olduqda . olduqda olduğunu fərz edək.

Buradan, və hər tərəfə 2 əlavə etsək, . Deməli, Bu isə onu göstərir ki, ardıcıllığın bütün hədləri bərabərsizliyini ödəyir. İndi isə ardıcıllığın monotonluğunu göstərək. Verilənləri və ardıcıllığın hədlərinin vahiddən kiçik olduğunu nəzərə alaraq yaza bilərik:

, yəni bütün n-lər üçün . Başqa sözlə, baxılan ardıcıllıq monoton artan ardıcıllıqdır.

Bu ardıcıllığın monoton artan olduğunu başqa cür də müəyyən etmək olar. Belə ki, induksiya üsulu ilə göstərmək olar ki, 4) ardıcıllığının ümumi həddi şəklindədir, bu isə artan ardıcıllıqdır.

Misal 9. Ardıcıllıqların monoton azalan olduğunu göstərin.

1) ;

İki ardıcıl həddin nisbətini qiymətləndirək. olduğunu nəzərə alsaq, yaza bilərik:

olduğundan alırıq ki, istənilən n üçün yəni baxılan ardıcıllıq monoton azalandır.

2) ;

Yaza bilərik:

,

eyni qayda ilə .

Burada olduğunu nəzərə alsaq tapırıq ki, istənilən üçün , yəni 2) ardıcıllığı monoton azalan ardıcıllıqdır.

3) ;

olduğunu bilərik tapırıq ki,

və ya ixtiyari üçün . Deməli, ardıcıllıq azalan ardıcıllıqdır.

4) ;

olduğunu nəzərə alaraq, iki ardıcıl həddin fərqini qiymətləndirək:

Deməli, , yəni baxılan ardıcıllıq monoton azalandır.

5)

Əvvəlcə göstərək ki, ardıcıllığın hədləri bərabərsizliyini ödəyir. Bunun üçün isə riyazi induksiya üsulundan istifadə edək.

olduqda və tələb olunan bərabərsizlik ödənir. olduqda fərz edək ki, bərabərsizliyi doğrudur. olduqda yaza bilərik:

və

Deməli, və hökm edə bilərik ki, ardıcıllığın bütün hədləri bərabərsizliyini ödəyir. Bunu nəzərə alaraq yaza bilərik:

.

Deməli, istənilən üçün , yəni ardıcıllıq azalandır.

Misal 10. Ardıcıllıqların monotonluğunu araşdırın, əgər varsa ən kiçik və ən böyük həddini tapın.

1) ;

Ardıcıllığının iki qonşu həddinin fərqini qiymətləndirək:

Göründüyü kimi, olduqda və ya . Deməli, nömrəli həddən başlayaraq ardıcıllıq artandır. Ardıcıllığın ən kiçik həddi

,

ən böyük həddi isə yoxdur.

2) ;

Sağ tərəfdəki kvadrat üçhədlidən tam kvadrat ayıraq:

Buradan isə aydındır ki, olduğundan, kvadrat üçhədli ən kiçik qiymətini və olduqda alır. Deməli, ardıcıllığın minimal həddi

,

ən böyük həddə isə malik deyil.

Ardıcıllığın monotonluğunu araşdıraq.

Deməli, olduqda , yəni nömrəli həddən başlayaraq ardıcıllıq monoton artandır.

3) ;

. Göründüyü kimi, və ya olduqda , yəni . Deməli, nömrəsindən başlayaraq baxılan ardıcıllıq monoton azalandır, burada ədədinin tam hissəsidir. Ardıcıllığın ən böyük həddi nömrəli həddir.

Məsələn, ardıcıllığı nömrəsindən başlayaraq azalandır, maksimal həddi , minimal həddi isə yoxdur.

4) ;

Buradan görünür ki, bərabərsizliyi o vaxt ödənir ki, və ya olsun. Sonuncu bərabərsizlik isə o vaxt doğrudur ki, . Deməli, nömrəli həddən başlayaraq ardıcıllıq azalandır və onun maksimal həddi

,

ən kiçik həddi isə yoxdur.

MÜHAZİRƏ 6

Ardıcıllığın limiti. Yığılan ardıcıllığın əsas xassələri.
Tərif 6. İxtiyari müsbət ədədi üçün elə nömrəsi varsa ki, ardıcıllığının bu nömrədən sonra gələn bütün hədləri (yəni nömrəli hədləri)

və ya (3)

bərabərsizliyini ödəyir, onda ardıcıllığına yığılan ardıcıllıq, ədədinə isə həmin ardıcıllığın limiti deyilir və bu simvolik olaraq belə yazılır:

və ya olduqda .









Tərif 7. olduqda istənilən həqiqi ədədi üçün və ya çoxluğuna ədədinin - ətrafı deyilir (şək 2.1).
Şəkil 2.1.
Bu anlayışa əsasən ardıcıllığın limitinə aşağıdakı kimi də tərif vermək olar.

Tərif 8. İstənilən ədədi üçün elə nömrəsi varsa ki, olduqda , onda deyilir ki, ardıcıllığı yığılır və limiti - dır.

Başqa sözlə ardıcıllığının limiti - ədədi olarsa bu ədədin istənilən ətrafında həmin ardıcıllığın müəyyən nömrədən sonra gələn bütün hədləri yerləşir. Deməli, yığılan ardıcıllığın limitinin istənilən ətrafında həmin ardıcıllığın sonsuz sayda həddi var (şək.2.2).

Şəkil 2.2.

Əgər ardıcıllığın limiti yoxdursa ona dağılan ardıcıllıq deyilir.

Yığılan ardıcıllığın əsas xassələri aşağıdakı teoremlərlə verilir.

Teorem 1. Yığılan ardıcıllığın limiti yeganədir.

Teorem 2. Yığılan ardıcıllıq məhduddur.

Bu teorem bəzi hallarda ardıcıllığın məhdud olub olmadığını onun limitinin varlığına əsasən müəyyən etməyə imkan verir.

Teorem 3. və yığılan ardıcıllıqlar olduqda ardıcıllıqları da yığılandır və

1) ,

2) ,

3) .

Xüsusi halda 2) – də sabit ardıcıllıq olarsa .

Ardıcıllığın bərabərsizliklə verilən xassələri aşağıdakı teoremlərlə ifadə olunur.

Teorem 4. Əgər yığılan ardıcıllığının hədləri heç olmasa müəyyən nömrədən başlayaraq bərabərsizliyini ödəyirsə, onda bu ardıcıllığın limiti də bərabərsizliyini ödəyir.

Qeyd edək ki, burada ola bilər ki, ciddi bərabərsizliyi ödənsin. Lakin bu halda da ola bilər. Məsələn, , lakin .

Teorem 5. Tutaq ki, və yığılan ardıcıllıqlardır və . Onda, əgər heç olmasa müəyyən nömrədən başlayaraq bərabərsizliyi ödənirsə ardıcıllığı da yığılır və .

Misal 12. 1) . Göstərməli ki, .

Həlli. İxtiyari ədədi üçün göstərək ki, elə nömrəsi var ki, olduqda . Doğrudan da, olduğundan bərabərsizliyinin ödənməsi üçün olmalıdır. Deməli, seçsək, ardıcıllığın bu nömrədən sonra gələn hədləri tələb olunan bərabərsizliyi ödəyəcək.

Göründüyü kimi, kəmiyyətinin hər bir qiymətinə müəyyən nömrəsi uyğundur. Bəzi qiymətlər aşağıdakı cədvəldə verilmişdir.

	0,1	0,01	0,001	0,0001
	10	100	1000	10000

Ardıcıllığın hədlərini ədəd oxunda aşağıdakı kimi təsvir etmək olar:

0

-1

Şəkil 2.3

Bu misaldan nəticə olaraq alırıq ki, , ümumiyyətlə, . Göstərmək olar ki, həmçinin .

2) . Göstərin ki,

Həlli. İstənilən ədədi üçün göstərək ki, elə olduqda . Doğrudan da

bərabərsizliyi o vaxt ödənir ki, olsun. Deməli, götürsək tələb olunan bərabərsizlik ödənir.

Bu nəticəyə əsasən ədədinin müxtəlif qiymətlərində aşağıdakı cədvəli doldurmaq olar.

	0,1	0,01	0,001	0,0001
	9	99	999	9999

Ardıcıllığın hədlərini ədəd oxunda aşağıdakı kimi təsvir etmək olar:

1

0

Şəkil 2.4.

Qeyd edək ki, verilmiş limiti aşağıdakı kimi də hesablamaq olar. Surət və məxrəci - ə bölsək,