Mühazirə mətinləri. Matrislər və onlar üzərində əməllər

Fəzada düz xətt və müstəvilər.
Fəzada düz xəttin vektorial və kanonik tənlikləri.
Fəzada düzbucaqlı Oxyz Dekart koordinat sistemi və L düz xətti götürək .Tutaq ki. Bu düz xətt üzərində radius vektoru olan nöqtəsi və həmin düz xəttə paralel olan vektoru verilmişdir. vektoruna L düz xəttinin istiqamətləndirici vektoru deyilir. Z M

Düz xətt üzərində yerləşən ∀ M(x, y, z)

nöqtəsinin radius –vektorunu ilə M₀

işarə etsək , onda və vektorları

kollınear olar. Buna görədə elə skalyar t

ədədi tapmaq olar ki, L

(1) 0 y

olsun. Burada L düz xəttinin

(2)

vektorial tənliyini alarıq. (1) bərabərliyinin x

sol tərəfindəki

vektorunun koordinatlarını sağ tərəfdə ki,

vektorunun uyğun koordinatlarına bərabər hesab etsək

(3)

bərabərliklərini alarıq. (3) münasibəti nöqtəsindən istiqamətinə keçən L düz xəttinin parametrik tənliyi adlanır. (3) bərabərliklərindən t parametrini yox etdikdə

(4)

bərabərlikləri alınır. Buna L düz xəttinin kanonik tənliyi deyilir. Verilmiş M_o və M₁ nöqtələrindən kecən düz xəttin tənliyi.

şəklində alarıq.

Fəzada iki düzxətt arasındakı bucaq.
Tutaq ki, tənlikləri uyğun olaraq

(1)

(2) L₂

olan iki L₁ və L₂ düz xətti verilmişdir. α

Bu düz xəttlər arasındakı φ bucağı onların L₁

istiqamətləndirir və vektorları

arasındakı , bucağa bərabərdir. Həmin bucağı isə

(3)

düsturu ilə tapmaq olar. (1) və (2) düz xəttinin perpendikulyar olması şərti

və ya ()=0

şəklində yazırlar.

Həmin düz xəttlərin paralel olması ücün onların istiqamətləndirici və vektorları kollinear olmalıdır;

<sub>və ya

Müstəvinin normal tənliyi.</sub>

şəklindədir.

Müstəvinin ümumi tənliyi.
Fəzada verilmiş hər bir müstəvinin tənliyi x, y, və z dəyişənlərinə nəzərən

Ax+By+Cz+D=0 (1)
şəklindədir. (1) şəklində olan hər bir xətti tənlik fəzada bir müstəvini təyin edir. Bu isə müstəvinin ümumi tənliyi deyilir. (1) tənliyinə ekvivalent olan

normal tənlik şəklinə gətirmək ücün onun hər iki tərəfini

(2)
ədədinə vurmaq lazımdır. (2) kəmiyyətinə müstəvi tənliyinin normallaşdırıcı vuruğu deyilir.

İki müstəvi arasındakı bucaq.
Tənlikləri uyğun olaraq

(1)

(2)

olan Q₁ və Q₂ müstəviləri arasındakı bucaq

(3)

şəklindədir.

Həmin müstəvilərin paralellik şərtləri

müstəvilərin perpendikulyarlığı

Fəzada düz xəttlə müstəvinin qarışılıqlı vəziyyəti..
Tutaq ki, fəzada tənliyi

(1)

olan L-düz xətti və tənliyi

(2)

olan Q müstəvisi verilmişdir. L – düz xəttinin

istiqamətləndirici vektoru ilə (2) müstəvisinin

normalı arasındakı bucaq olarsa , onda həmin düz xəttlə müstəvi arasındakı φ bucağını münasibətindən tapmaq olar.

Buradan ; L

və ya (3)

Verilmiş L –düz xəttinin Q müstəvisinə ┴ olması onun istiqamət-

ləndirici vektorunun vektoru ilə kollinear olması deməkdir;

. Buradan verilmiş L –düz xəttinin (2) müstəvisinə ┴ olma- QQQQQ

sı şərti alınır;

(4)

L- düz xəttinin (2) müstəvisinə paralel olması şərti və ya (3) düsturuna görə

(5)

olacaqdır.

Nöqtədən müstəviyə qədər olan məsafə.

Müstəvinin tənliyi ümumi şəkildə verildikdə, onu normallaşdırıcı vuruğuna vuraraq , əvvəlcə normal tənlik şəklinə gətirmək , sonra da düsturunu tətbiq etmək lazımdır. Bu halda

düsturunu alarıq.

İkitərtibli əyrilər.

_{1. Ellips. Tərif. Müstəvi üzərində fokus adlanan verilmlş iki və nöqtəsindən məsafələrinin cəmi sabit ədəd olan nöqtələrin həndəsi yerinə ellips deyilir.}

Ellipsin tənliyini çıxarmaq üçün müstəvi üzərində düzbucaqlı koordinat sistemi götürək və ellepsin fokuslarının absis oxu üzərində koordinat başlanğıcına nəzərən simmetrik yerləşdiyini fərz edək.

<sub>Onda ellips üzərində yerləşən nöqtəsi y

üçün ; (1)

Burada 2a ilə tərifdə göstərilən sabit ədəd işarə

olunmuşdur. qəbul etsək , onda A2

və olar. Bu halda iki A2

nöqtə arasındakı məsafə düsturuna görə

və (1).

(1) bərabərliyinə əsasən ; B2

+ =2a (2).

Bu ellipsin axtarılan tənliyidir. Ellipsin (2) tənliyini sadə şəklə gətirmək üçün onu radikallardan qurtardıqdan sonra

olar.

Buradan

(3)

olduğundan qəbul etmək olar. Onda (3) tənliyi



(4)

şəklində yazılar. (4) tənliyinə ellipsin kanonik tənliyi y

deyilir.
2. Hiperbola. Tərif. Fokus adlanan verilmiş

iki F1 və F2 nöqtəsindən məsafələrinin fərqi mütləq

qiymətcə sabit kəmiyyət olan nöqtələrin həndəsi M

yerinə hiperbola deyilir.

Hiperbolanın tənliyini çıxarmaq üçün yenədə F2 o F1 x

tərifdə göstərilən müsbət sabiti 2a , fokuslar

arasındakı məsafəni 2c və fokusların

absis oxu üzərində koordinat başlanğıcına nəzər-

ən simmetrik yerləşdiyini qəbul edək. Onda tərifə

görə F1( c; o), F2( -c; o) və M( x,y)

nöqtələri üçün

və ya

buradan

(1)

tənliyi hiperbolanın axtarılan tənliyidir. Bu tənliyi ellipsin tənliyi kimi sadələşdirsək, yenə də

(2)



münasibətini alarıq. Bu halda olduğundan qəbul edərək (2) tən-liyini

(3)
şəklində yazmaq olar. (3) tənliyinə hiperbolanın kanonik tənliyi deyilir.</sub>
3.Parabola . Tərif. Fokus adlanan verilmiş F nöqtəsindən və direktris adlanan verilmiş d düz xəttindən eyni uzaqlıqda olan nöqtələrin həndəsi yerinə parabola deyilir.

Parabolanın tənliyini çıxarmaq üçün F fokusunun absis oxu üzərində yerləşdiyini və d direktrisinin həmin oxa olduğunu qəbul edək. Fokusla direktris arasındakı məsafə olsun . Fərz edək ki, koordinat başlanğıcı FD parçasının orta nöq-təsində yerləşir. Onda

<sub>və parabolanın ∀ M (x,y) nöqtəsi üçün ;

y

MF=MN

N M(x,y)</sub>
Buradan D 0 F x

və yaxud

_{(1) d}
(1) tənliyinə parabolanın kanonik tənliyi deyilir.


İkitərtibli səthlər.
Tərif. x y, z dəyişənlərinə nəzərən ikidərəcəli tənliklə təyin olunan səthə ikitərtibli səth deyilir.

İkitərtibli səthlərin ümumi tənliyi.
(1)

şəklində yazılır.

Verilən düz xəttə paralel qalan və verilən L xəttini kəsən mütəhərrik düz xəttin cızdığı səthə silindirik səthə deyilir.

Elliptik silindir, tənliyi ilə həll olunmuş və doğuranları Oz oxuna paralel olan silindrə deyilir. Elliptik silindrin yönəldicisi Oxy müstəvisi üzərində yerləşən ellipsdir.

tənliklər ilə, təyin olunan və doğuranları Oz oxuna paralel olan silindrik səthlərə uyğun olaraq hiperbolik və parabolik silindr deyilir.

Elliptik, hiperbolik və parabolik silindirlərə ikitərtibli silindirlər deyilir.
İkitərtibli səthlərin aşağıdakı növləri vardır.
1. Ellipsoid, Kanonik tənliyi.



_{olan ikitərtibli səthə ellipsoid deyilir. a=b=c olduqda ellipsoid sferaya çevrilir.}

2. Biroyuqlu hiperboloid , Kanonik tənliyi


_{olan ikitərtibli səthə deyilir.}

3. İkioyuqlu hiperboloid , Kanonik tənliyi



_{olan ikitərtibli səthə deyilir.}

4. Konus, Kanonik tənliyi



_{olan ikitərtibli səthə deyilir.}

5. Elliptik paraboloid, Kanonik tənliyi



_{olan ikitərtibli səthə deyilir.}

6. Hiperbolik paraboloid, Kanonik tənliyi

olan ikitərtibli səthə deyilir.

<sub>Evklid fəzası.
Tərif. Tutaq ki, həqiqi xətti R fəzasının istənilən iki x və y elementinə , həmin elementlərin skalyar hasili adlanan və (x, y ) ilə işarə olunan , müəyyən bir həqiqi ədədi uyğun qoyma qanunu (skalyar hasil) verilmişdir və bu zaman aşağıdakı şərtlər (aksiomlar) ödənilir

10. İstənilən və üçün ;



20. İstənilən və , üçün ;



30. Elə sıfır elementi var ki, istənilən üçün ;



40. Istənilən elementi üşün onun əksi adlanan elə elementi var ki,

50. Istənilən elementi üşün

60. Istənilən elementi , və həqiqi λ μ ədədləri ücün ;



70. Istənilən və həqiqi λμ ədədləri ücün ;



80. İstənilən x∈R , y∈R və həqiqi λ ədədi üçün ;</sub>

9⁰. İstənilən və üçün ;

10⁰. İstənilən , y∈R və üçün ;

<sub>110. İstənilən xϵR , yϵR və həqiqi λ ədədi üçün ;



120. İstənilən x≠o üçün (x1,x)>o və x = o olduüda ; (x1,x)=o</sub>

Bu halda , həqiqi xətti R fəzasına həqiqi Evklid fəzası deyilir.

Funksiya və onun verilmə üsulları.
Tərif. Dəyişmə oblastları uyğun olaraq X və Y olan iki x və y dəyişən kəmiyyətini götürək.Hər-hansı ƒ qayda və ya qanun vasitəsilə dəyişən x kəmiyyətinin X dəyişmə oblastındakı hər bir qiymətinə, dəyişən y kəmiyyətinin müəyyən bir qiymətini uyğun və ya qarşı qoymaq mümkündürsə, onda X çoxluğundan Y çoxluğuna funksiya verilmişdir deyilir və y=ƒ(x) ilə göstərilir.

x-ə sərbəst dəyişən və ya arqument, y-ə isə funksiyanın asılı dəyişəni və ya qiyməti deyilir. X çoxluğuna funksiyanın təyin oblastı, Y çoxluğuna isə onun qiymətləri çoxluğu deyilir.

y=ƒ(x) ƒ- sı o zaman verilmiş, məlum və ya təyin olunmuş hesab edilir ki;

1. 
   funksiyanın təyin oblastı, yəni x arqumentinin ola bildiyi qiymətlər çoxluğu göstərilsin;
   
2. 
   x-in hər bir qiymətinə y-in müəyyən bir qiymətini uyğun qoyma qanunu, yəni x və y arasındakı uyğunluq qanunu göstərilsin.
   

Funksiya əsasən analitik üsulla, cədvəl şəklində, qrafiki üsulla və proqram vasitəsilə verilir.
Mürəkkəb funksiya.
Tutaq ki, x=φ(t) ƒ-sı T çoxluğunda təyin olunmuşdur və onun qiymətləri çoxluğu y=ƒ(x) ƒ- nın X təyin oblastına daxildir. Bu halda, t-nin T çoxluğundakı hər bir qiymətinə y-n müəyyən bir qiyməti uyğun olur, yəni y dəyişəni t-nin funksiyasıdır.

(1)

Bu halda alınan funksiyasına mürəkkəb funksiya və ya funksiyanın funksiyası deyilir.

Tərs funksiya
X çoxluğunda təyin olunmuş y=ƒ(x) funksiyasının qiymətlər çoxluğu Y olsun. y-in Y çoxluğundakı hər bir y_o qiymətinə x-in X çoxluğundan y_o=ƒ(x_o) (1) bərabərliyini ödəyən ancaq bir x_o qiyməti uyğun olarsa (yəni y=ƒ(x) funksiyası X çoxluğunu Y çoxluğuna qarışılıqlı birqiymətli inikas etdirirsə ) , bu uyğunluqla Y çoxluğuna təyin olunan x=φ(y) funksiyasına y=ƒ(x) funksiyasının tərs funksiyası deyilir. Aydındır ki, y=ƒ(x) funksiyasını da x=φ(y) funksiyasının tərs funksiyası hesab etmək olar. Buna görə də çox zaman

y=ƒ(x) və x=φ(y) funksiyalarına qarışılıqlı tərs funksiyalar deyilir. Tərifə əsasən

ƒ və bərabərlikləri doğrudur.
Funksiyanın limiti.
Tərif 1. X çöxluğunun a-ya yığılan istənilən nöqtələri ardıcılığına ƒ(x) funksiyasının uyğun olan qiymətləri ardıcıllığının hamısı eyni bir A ədədinə yığıldıqda , həmin A ədədinə x→a şərtində funksiyasının limiti deyilir.

Aydındır ki, a-ya yığılan heç olmazsa iki ardıcıllığına funksiyasının və uyğun qiymətləri ardıcıllıqları müxtəlif limitlərə yığılarsa, onda funksiyasının x=a nöqtəsində limiti yoxdur. Funksiyanın nöqtədə limitinin başqa tərifi də vardır.

Tərif 2. Tutaq ki, sonlu a və A ədədləri və istənilən ədədi üçün elə ədədi varki, x-in X çoxluğundan götürülmüş və (1) bərabərsizliyini ödəyən bütün qiymətlərində (2) münasibəti ödənilir.Onda A ədədinə x→a şərtində funksiyasının limiti deyilir.

Qeyid edək ki, A ədədi x→a şərtində funksiyasının limiti olduqda (2) bərabərsizliyinin x=a qiymətində ödənilib ödənilməməsinin heç bir əhəmiyyəti yoxdur. funksiyası x=a nöqtəsində təyin olunduqda isə onun həmin nöqtədə limiti xüsusi qiymətinə bərabər olada bilər, olmayada bilər.

Funksiya limitinin birinci tərifinə “ limitin ardıcıllıq dilində tərifi ” (və ya Heyns mənada tərifi) , ikinci tərifinə isə

“ limitin dilində tərifi ”(və ya Koşi mənada tərifi ) deyilir.

Nöqtədə funksiyanın kəsilməzliyi.
Tərif 1. Tutaq ki, istənilən ədədi üçün elə ədədi var ki, x-in bərabərsizliyini ödəyən bütün qiymətlərində bərabərsizliyi ödənilir. Bu halda funksiyasına x=x_o nöqtəsində kəsilməyən funksiya deyilir.


Parçada kəsilməz funksiyanın bəzi xassələri.
Xassə1. (Veyerştrasın birinci teoremi) Sonlu parçasında kəsilməyən funksiyası həmin parçada məhduddur.

Xassə 2. (Veyerştrasın ikinci teoremi) Sonlu parçasında kəsilməyən funksiyası bu parçanın heç olmasa bir α nöqtəsində özünün həmin parçadakı dəqiq aşağı sərhəddini, heç olmasa bir nöqtəsində isə dəqiq yuxarı sərhəddini alır, yəni

(1)

Xassə 3. parçasında kəsilməyən funksiyası həmin parçanın uc nöqtələrində müxtəlif işarəli qiymətlər alırsa, onda a və b nöqtələri arasında yerləşən ən azı bir C(a c b ) nöqtəsi var ki, bu nöqtədə funksiyası sıfıra çevrilir;

Xassə 4. parçasında kəsilməyən funksiyası həmin parcanın uc nöqtələrində bərabər olmayan qiymətlərini alırsa, onda həmin A və B ədədləri arasında yerləşən hər bir c ədədi üçün parçasında yerləşən ən azı bir nöqtəsi var ki, olar.