Mühazirə mətinləri. Matrislər və onlar üzərində əməllər

Xassə 5. Məhdud və qapalı X çoxluğunda kəsilməyən funksiyasının qiymətləri çoxluğu məhdud və qapalı çoxluqdur, yəni məhdud və qapalı X çoxluğunda kəsilməyən funksiyası həmin çoxluğu məhdud və qapalı çoxluğuna inikas etdirir.
Tərs funksiyanın kəsilməzliyi.
Teorem . parçasında təyin olunmuş kəsilməyən və artan (ya da azalan) funksiyasının tərs funksiyası olan x=φ(y) funksiyası parçasında kəsilməyəndir .
Kantor teoreminin söylənilməsi və izah edilməsi.
Teorem . Parçada kəsilməyən funksiya həmin parçada müntəzəm kəsilməyəndir.

Deməli funksiyanın parçada kəsilməzliyi anlayışı ilə parçada müntəzəm kəsilməzliyi anlayışı eynidir. Lakin bu xassə interval və yarıminterval üçün doğru deyildir.

Məsələn; funksiyası (0,1) intervalında kəsilməyəndir, lakin həmin intervalında müntəzəm kəsilməyən deyildir.
Limitlər haqqında əsas teoremlər.
Teorem 1. Sonlu limitləri olan sonlu sayda funksiyalarının cəminin limiti onların limitləri cəminə bərabərdir. (1)

Teorem 2. Sonlu limitləri olan sonlu sayda funksiyalarının hasilinin limiti onların limitləri hasilinə bərabərdir. (2)

(1)
(2)
Sabit vuruğu limit işarəsi xaricinə çıxarmaq olar.

Teorem 3.f(x) və (x) funksiyalarının sonlu limitləri varsa və olarsa, onların nisbətinin limiti limitlərinin nisbətinə bərabərdir;


Məşhur limitlər.
1.
2. ədədi.
Tərif . dəyişən kəmiyyətinin şərtində limitinə e ədədi deyilir.

ədədi bərabərsizliyini ödəyir.

e ədədi 2≤e≤3

e ≈2,7182818284

Funksiyanın törəməsi və diferensialı.
Tərif 1. Əgər şərtində (1) nisbətinin sonlu limiti varsa, onda həmin limitə y=f(x) funksiyasının x nöqtəsində törəməsi deyilir.


Verilmiş x nöqtəsində törəməsi olan funksiyaya həmin nöqtədə diferensiallanan funksiya deyilir. (a, b) intervalının hər bir nöqtəsində törəməsi olan funksiya həmin intervalda diferensiallanan funksiya adlanır.

Funksiyanın törəməsini tapmaq əməlinə həmin funksiyanın diferensiallanması deyilir.

Misal 1. f(x) =x funksiyanın törəməsi vahidə bərabərdir.

Bunu isbat etmək üçün arqumentin verilmiş artımına funksiyanın uyğun artımını tapaq;

Buradan;

Cəmin, hasilin və nisbətin törəməsi.

Teorem 1.Verilmiş t=x nöqtəsində diferensiallanan sonlu sayda funksiyalarının cəmidə həmin nöqtədə diferensiallanandır, və cəmin törəməsi toplananların törəmələri cəminə bərabərdir.


Teorem 2. Verilmiş t=x nöqtəsində diferensiallanan f(t) və (t) funksiyalarının hasilidə həmin nöqtədə diferensiallanandır və hasilin törəməsi aşağıdakı qayda ilə hesablanır.

Sabit vuruğu törəmə işarəsi xaricinə çıxarmaq olar;

Teorem 3. Verilmiş t=x nöqtəsində diferensiallanan f(t) və (t) funksiyalarının nisbəti olduqda həmin nöqtədə diferensiallanandır, və nisbətin törəməsi aşağıdakı qayda ilə hesablanır.



Mürəkkəb funksiyanın törəməsi
Teorem . funksiyası t₀ nöqtəsində və funksiyası uyğun nöqtəsində diferensiallanan olduqda mürəkkəb funksiyası t₀ nöqtəsində diferensiallanandır və onun törəməsi

düsturu ilə hesablanır.

Parametrik şəkildə verilmiş funksiyanın törəməsi.
Teorem 2 . Əgər və funksiyalarının törəmələri varsa və olarsa onda funksiyası diferensiallanandır və onun törəməsi

və ya

düsturu ilə hesablanır.

Tərs funksiyanın törəməsi .
Teorem 3. funksiyası x=x₀ nöqtəsində diferensiallanandırsa və olarsa onda onun tərs funksiyası uyğun y₀ nöqtəsində diferensiallanandır və onun törəməsi düsturu ilə hesablanır. şəklində də yazmaq olar. Üstlü – mürəkkəb funksiyanın törəməsi

Diferensiallanan funksiyalar üçün orta qiymət teoremlər.
Roll teoremi. -da kəsilməyən , (a,b) intervalında diferensiallanan və həmin parçanın uc nöqtələrində bərabər qiymətləri alan funksiyası üçün həmin (a, b) intervalında yerləşən heç olmasa bir elə nöqtəsi var ki, bu nöqtədə funksiyanın törəməsi sıfıra bərabərdir. Yəni

Laqranj teoremi. -da kəsilməyən və (a,b) intervalında diferensiallanan funksiyası üçün həmin intervalında yerləşən elə nöqtəsi var ki, bu nöqtədə

(1)

bərabərliyi ödənilir. (1) bərabərliyinə Laqranj düsturu və ya sonlu artımlar düsturu deyilir.

Isbatı ; -da təyin olunmuş

(2)

funksiyasına baxaq. F(x) funksiyası -da kəsilməyəndir, (a,b) intervalında diferensiallanandır və parçanın uc nöqtələrində bərabər qiymətlər alır.

Onda Roll teoreminə görə onun

törəməsi bir nöqtələrində sıfra bərabər olar;

Buradan (1) bərabərliyi alınır.

Koşi teoremi.
Teorem 1. Tutaq ki, və funksiyaları -da kəsilməyən , (a,b) intervalında diferensiallanan və həmin intervalın bütün nöqtələrində şərtini ödəyən funksiyalardır. Onda (a,b) intervalında yerləşən elə nöqtəsi var ki, bu nöqtədə

(1)

bərabərliyi ödənilir.

İsbatı. Teoremin şərtindən aydındır ki, çünki əks halda , yəni olduqda Roll teoreminə görə bir nöqtəsindən olar ki, buda şərtə ziddir. Indi aşağıdakı kimi köməkçi funksiya düzəldək;

(2)

F(x) funksiyası -da kəsilməyəndir, (a,b) intervalında diferensiallanandır və parçanın uc nöqtələrində sıfra bərabərdir;

Onda Roll teoreminə görə onun

törəməsi (a, b) intervalının bir nöqtəsində sıfra bərabər olar;

Buradan (1) bərabərliyi alınır.

şəkildə qeyri-müəyyənliyin açılışı.

Teorem 1. ( Lopital qaydası.) Tutaq ki, və funksiyaları x=a nöqtəsinin müəyyən ətrafında (a nöqtəsini müstəsna olmaqla) təyin olunmuş , diferensiallanan,

(1)

və ( a nöqtəsi həmin ətrafında) şərtlərini ödəyən funksiyalardır. Əgər funksiyaların törəmələri nisbətinin

(2)

Limiti varsa, onda funksiyalarının özlərinin də nisbətinin limiti var və həmin ədədə bərabərdir;

(3)

şəklində qeyri-müəyyənliyin açılışı.
Teorem 2.( Lopital qaydası.) Tutaq ki, və funksiyaları x=a nöqtəsinin müəyyən ətrafında (a nöqtəsi müstəsna olmaqla) təyin olunmuş , diferensiallanan və ( a nöqtəsi həmin ətrafında) şərtlərini ödəyən funksiyalardır;

(4)

Əgər funksiyaların törəmələri nisbətinin

(5)

limiti varsa, onda funksiyaların özlərinin də nisbətinin limiti var və həmin ədədə bərabərdir ;

(6)

Teylor düsturu
Tutaq ki, (1)

n dərəcəli çoxhədli və a hər hansı həqiqi ədəddir. P (x) çoxhədlisini həmişə x-a fərqinin qüvvətlərinə görə yazmaq olar.

(2)

bərabərliyinə çoxhədli üçün Teylor düsturu deyilir a=0 olduqda Teylor düsturunun xüsusi halını alarıq ;

(3)

Bu düstura çoxhədli üçün Makloren düsturu deyilir.

Diferensialın tərifi.
funksiyası ( a, b ) intervalında diferensiallanandır.



Tərif . Diferensiallanan funksiyasının x nöqtəsində ki, artımının baş hissəsinə yəni -dən xətti asılı olan ifadəsinə onun x nöqtəsində diferensialı deyilir. funksiyasının x nöqtəsində diferensialı və ilə işarə olunur.

və yaxud
Diferensialın həndəsi mənası.
M(x, y) nöqtəsi götürək. Bu nöqtədə funksiya qrafikinə çəkilən toxunan MT düz xətti olsun . Absis oxu üzərindəki, nöqtəsindən ordinat oxuna paralel qaldırılan düz xətt MT toxunanını M nöqtəsində kəsər. Düzbucaqlı NMQ -da



törəmənin həndəsi mənasına görə olduğundan ; y N

(1)

NQ kəmiyyəti, x absisi artımını aldıqda MT toxunanı ordinatı- M p

nın aldığı artımdır. (1) bərabərliyindən funksiya diferensialının Q

həndəsi mənası alınır.

funksiyasının x nöqtəsində diferensialı , funksiyanın qra- φ x

fikinə M(x,y) nöqtəsində çəkilmiş toxunanın toxunma nöqtəsinin 0 x x+∆x

absisi artımı aldıqda ordinatının aldığı artıma bərabərdir.
Diferensialın mexaniki mənası.
Tutaq ki, hər hansı cisim düz xətt boyunca hərəkət edir və diferensiallanan funksiyası onun hərəkət qanunudur. Aydındır ki, cisim t anından anına qədər olan müddətdə

qədər yol gedər. Hərəkətin t anında sürətinin olması məlumdur. Deməli əgər hərəkət edən cismin bütün zaman fasiləsində sürəti sabit olub t anındakı,

sürətinə bərabər olsa idi, onda cisim həmin müddətdə


(1)

qədər məsafə getmiş olardı . Bu , s(t) funksiyası diferensialının mexaniki mənasını ifadə edir.

Diferensialların hesablanma düsturları.
Həm törəmə alma və həmdə diferensialı tapma əməllərinə diferensiallama əməli deyilir. Tutaq ki, diferensiallanan və funksiyaları verilmişdir. Onların diferensialı

şəklində olduğundan funksiyanın cəminin , fərqinin , hasilinin və nisbətinin diferensialını hesablamaq üçün

düsturlarını alarıq.

1.

2.

3.

4.

5. 6.

Yüksək tərtibli diferensiallar.
Tutaq ki, diferensiallanan funksiyalardır və x arqumenti sərbəst dəyişəndir. Onda funksiyanın diferensialı

(1)

olar.

Funksiya diferensialının diferensialına həmin funksiyanın ikitərtibli və yaxud ikinci diferensialı deyilir və və s. işarə olunur.
və ya


Deməli ;


Qeyri –müəyyən inteqral
Ibtidai funksiya və qeyri müəyyən inteqralın tərifi.

Funksiya verildikdə onun törəməsinin tapmaq məsələsi ilə məşğul olduq. İndi isə tərs məsələnin həlli ilə məşğul olaq. Törəməsi verilən funksiyanın özünü tapmaq məsələsini həll edək.

Fərz edək ki , və hər hansı parçasında təyin olunmuş funksiyalardır.

Tərif . parçasının bütün nöqtələrində

(1) və ya

(2)

bərabərliyi ödənilərsə , onda F(x) funksiyasına f(x) funksiyasının parçasında ibtidai funksiyası deyilir.

Aydındır ki, onda F(x) funksiyası f(x) funksiyasının ibtidai funksiyasıdırsa , onda C sabit ədəd olduqda F(x)+c funksiyası da həmin f(x) funksiyasının ibtidai funksiyası olar.

Doğrudanda (1) bərabərliyinə görə ;

Buradan nəticə olaraq cıxır ki, əgər f(x) funksiyasının bir F(x) ibtidai funksiyası vardırsa onda şəklində olan sonsuz sayda bütün funksiyalar da həmin funksiyanın ibtidai funksiyasıdır.

Teorem. , funksiyasının iki F(x) və Ф(х) ibtidai funksiyası bir-birindən sabit ədədlə fərqlənir. ; Ф(х) =F(x)+c (3)

Isbatı . Doğrudanda , parçasının x nöqtəsində ödənilən və bərabərliklərindən münasibəti alınır.

Buradan alırıq ki, ; Ф(х) - F(x)=c və ya (3) bərabərliyi doğrudur. (c ∀ sabitdir)

Bu teorem göstərir ki,F(x) funksiyası f(x) funksiyasının hər hansı ibtidai funksiyasıdırsa, onda onun bütün ibtidai funksiyaları coxluğuna daxildir.

Tərif. funksiyasının parçasında bütün ibtidai funksiyaları çoxluğuna funksiyasının həmin parçada qeyri-müəyyən inteqralı deyilir və

(4)
kimi işarə olunur. Deməli , F(x) funksiyası f(x) funksiyasının hər hansı ibtidai funksiyasıdırsa, onda

bu bərabərliyi həmişə

(5)
kimi yazırlar. Burada ∫- işarəsi , x- inteqrallama dəyişəni , f(x) inteqralaltı funksiya , isə inteqralaltı ifadə adlanır. Təbii olaraq qarşıya belə bir sual cıxa bilər ki, hər bir funksiyanın ibtidai funksiyası varmı?

Hər bir funksiyanın ibtidai funksiyası yoxdur, lakin kəsilməz olan hər bir funksiyanın ibtidai funksiyası (qeyri-müəyyən inteqralı) vardır.

Həndəsi nöqteyi nəzərdən inteqral əyrilərini biri digərindən özünə paralel olaraq OY oxu boyunca aşağı və yuxarı köçürməklə alınır. Beləliklə , ibtidai funksiya bir-birinə paralel yerləşən əyrilərdir.
Misal .1. funksiyası funksiyasının ibtidai funksiyası olduğundan

.

Misal . 2. funksiyası funksiyasının ibtidai funksiyası olduğundan

.
Inteqrala qeyri-müəyyən adı verilməsi onun qiymətinin konkret (müəyyən) bir funksiya olmayıb , sonsuz sayda funksiyalar (çoxluğu) olması ilə əlaqədardır.


Qeyri-müəyyən inteqralın sadə xassələri.


(1) (2)

Xassə 1. Qeyri-müəyyən inteqralın törəməsi inteqralaltı funksiyaya bərabərdir;

(3)

Doğrudanda , (1) və (2) bərabərliklərinə görə ;

Xassə 2. . Qeyri-müəyyən inteqralın diferensialı inteqralaltı ifadəyə bərabərdir.



Isbatı ; Bu xassəni isbat etmək üçün (1) bərabərliyinin hər iki tərəfinin diferensialını hesablamaq kifayətdir.



Xassə 3. Hər hansı funksiya diferensialının qeyri-müəyyən inteqralı həmin funksiya ilə sabitin cəminə bərabərdir.

Sonuncu bərabərliyi isbat etmək məqsədi ilə həmin bərabərliyin hər tərəfini diferensialını hesablamaq kifayətdir.

Xassə 4. Sonlu sayda funksiyalar cəminin qeyri-müəyyən inteqralı onların qeyri-müəyyən inteqralının cəminə bərabərdir ;

(4)


Isbatı . Qeyri-müəyyən inteqralın tərifinə görə (4) bərabərliyin sol tərəfi

funksiyanın ibtidai funksiyaları çoxluğudur. (4) bərabərliyinin sağ tərəfinin törəməsidə həmin

funksiyasına bərabərdir. Doğrudanda, (3) bərabərliyinə görə

deməli , (4) bərabərliyinin sağ tərəfidə funksiyanın ibtidai funksiyaları çoxluğudur. Buradan (4) bərabərliyinin doğruluğu aydın olur. İnteqralın (4) bərabərliyində ifadə olunan xassəsi funksiyalara nəzərən inteqralın additivlik xassəsi adlanır.