Mühazirə mətnləri Mövzu 1 : Ədədi ifadə. Ədədi bərabərlik və onun xassələri

Ədəbiyyat

1. S.A.Feyziyev, R.Y.Şükürov. Riyaziyyatın ibtidai kursunun nəzəri əsasları.

Bakı 2010

2. N.A.Sadıxov . Riyaziyyatın ibtidai kursunun elmi əsasları.Bakı 1991

Mövzu 3 . Birdəyişənli tənliklər, onların eynigüclülüyü

haqqında teoremlər

Tutaq ki, dəyişənindən asılı və ifadələri verilmişdir. Onları bərabərlik işarəsi vasitəsilə birləşdirdikdə təklifi alınır. Bu təklifə dəyişəni daxil olduğundan onu mülahizə adlandırmaq olmaz. dəyişəninin hər bir konkret qiymətində bu təklif ədədi bərabərlik olur və deməli, mülahizəyə çevrilir. Deməli, təklifi bir dəyişəndən asılı mülahizə formasıdır ( predikatdır). Belə təklifi dəyişəndən asılı bərabərlik və ya bir məchullu tənlik adlandırırlar.

Tərif . və hər birinin təyin oblastı çoxluğu olan dəyişənindən asılı iki ifadə olduqda şəklində mülahizə formasına ( bir yerli predikata ) birdəyişənli tənlik deyilir.

dəyişəninin çoxluğundan olan və verilmiş tənliyi doğru ədədi bərabərliyə çevirən qiymətinə tənliyin kökü və ya həlli deyilir.

Tənliyi həll etmək onun həllər çoxluğunu tapmaq deməkdir.

Qeyd edək ki, tənliyin həllər çoxluğu yeganə bir elementdən və ya iki və daha artıq sonlu sayda elementdən ibarət ola bilər. Bu halda deyirlər ki, tənliyin yeganə və ya iki və daha çox sonlu sayda həlli var. Həmçinin tənliyin həllər çoxluğu sonsuz çoxluq və ya boş çoxluq da ola bilər. Bu halda deyirlər ki, tənliyin sonsuz sayda həlli var və ya tənliyin həlli yoxdur.

Aşağıdakı misallara baxaq.

1. 
   . Bu halda tənlik - in yeganə qiymətində doğru
   

ədədi bərabərliyə çevrilir və deməli, onun həllər çoxluğu bir elementli çoxluğudur.

2. 
   . Göründüyü kimi, verilmiş tənlik - in ,
   

qiymətlərində doğru ədədi bərabərliyə çevrilir. Deməli, onun həllər çoxluğu iki elementli çoxluğudur.

3) . Bərabərliyin sol tərəfini sadələşdirdikdə verilmiş tənlik şəklinə düşər. Buradan görünür ki, bərabərlik - in hər bir qiymətində doğru ədədi bərabərlikdir. Bu halda tənliyin həllər çoxluğu bütün həqiqi ədədlər çoxluğudur.

3. 
   . Asanlıqla yoxlamaq olar ki, verilmiş tənlik
   

dəyişəninin heç bir qiymətində doğru mülahizəyə çevrilmir. Çünki sol tərəfi sadələşdirdikdə olur. Bu halda deyirlər ki, verilmiş tənliyin həlli yoxdur və ya həllər çoxluğu boş çoxluqdur. Bunu  kimi yazmaq olar.

Riyaziyyatın ibtidai kursunda tənlik haqqında ilkin anlayışlar , şəklində bərabərliklərdən məchul komponentinin tapılması prosesində formalaşmağa başlayır. Bu bərabərliklər sadə birməchullu tənliklərdir.

Tərif : Eyni bir çoxluğunda təyin olunmuş və tənliklərinin həllər çoxluqları üst – üstə düşdükdə, yəni birinci tənliyin hər bir kökü ikinci tənliyin də kökü və tərsinə, ikinci tənliyin hər bir kökü birinci tənliyin də kökü olarsa, bu tənliklərə eynigüclü tənliklər deyilir.

Tərif : ( 1) tənliyinin həllər çoxluğu ( 2) tənliyinin həllər çoxluğunun altçoxluğu olduqda tənliyinə tənliyinin nəticəsi deyilir. Bu tərifdən asanlıqla alınır ki, tənliyi tənliyinin nəticəsi olduqda tənliyinin hər bir kökü tənliyini ödəyir. Məsələn, tənliyi tənliyinin nəticəsidir. Doğrudan da, bu tənliyin yeganə kökü tənliyini ödəyir. Sonuncu mülahizələrə görə tənliklərin eynigüclülüyünə aşağıdakı kimi də tərif vermək olar :

İki tənlik onda və ancaq onda eynigüclü adlanır ki, birinci tənlik ikincinin nəticəsi olduqda, ikinci də birincinin nəticəsi olsun.

Tənliklərin eynigüclülüyü haqqında aşağıdakı teoremlər vardır.

Teorem 1. çoxluğunda təyin olunmuş ( 1) tənliyinin hər iki tərəfinə təyin oblastı çoxluğu olan ifadəsini əlavə etdikdə verilən tənliklə eynigüclü olan ( 2) tənliyi alınır.
Nəticə.

1. 
   Tənliyin hər iki tərəfinə eyni bir ədədi əlavə etdikdə və ya çıxdıqda verilmiş
   

tənliklə eynigüclü tənlik alınır.

2. 
   Hər hansı toplananı ( ədədi ifadəni və ya dəyişəni olan ifadəni) tənliyin bir
   

tərəfindən o biri tərəfinə əks işarə ilə keçirdikdə, verilmiş tənliklə eynigüclü olan tənlik alınır.

Teorem 2. çoxluğunda təyin olunmuş tənlik, isə təyin oblastı çoxluğu olan və bu çoxluq üzərində - in heç bir qiymətində sıfra çevrilməyən ifadə olduqda tənliyi tənliyi ilə eynigüclüdür.

Nəticə. Tənliyin hər iki tərəfini sıfırdan fərqli eyni bir ədədə vurduqda və ya böldükdə verilmiş tənliklə eynigüclü tənlik alınır.

Riyaziyyatın ibtidai kursunda tənlik həllinin nəzəri əsasında komponentlərlə əməl nəticələri arasındakı asılılıqlar durur. Məsələn, tənliyinin həlli aşağıdakı ardıcıllıqla yerinə yetirilir :