Nazariy fizika kursi

P k =
J 
p { r ) e ~l^r d r .
(10.36)
Puasson tenglamasi (10.24) ga (10.35) ni qo'yamiz:
[ 
ipk ( - k 2)eikrd k =
- 4 tt 
j
pk e'k rdk.
( 1 0 .3 7 )
1(10.29) formula bilan aniqlangan potensial kvant mexanikada katta ahamiyatga 
ega bo‘lib, Yukava potensiali deb yuritiladi.
218

---

g u tenglamaning har ikkala tomonini exp
(—ik 'r)
ga ko'paytiramiz va 
koordinatalar bo'yicha integrallaymiz va 
S(k)—
funksiyaning integral 
tasavvuri (A. 152) ni inobatga olib quyidagi natijani hosil qilamiz:
J k2

— k ')d k
= 47Г 
J
pk 6 ( k - k ') d k .
(10.38)
Bu yerda integralni 
funksiyaning xossasiga asosan integrallab poten- 
sialning Furye am plitudasini aniqlaymiz:
Ajr
П = Т 2 Рк .
(10.39)
Endi potensialni (10.35) ga binoan uning Furye am plitudasi (10.39) 
orqali ifodalaymiz:
^ = ш > Г - ^ е1кГлк-
 
(ia40)
Misol sifatida nuqtaviy zaryadning potensialini topamiz. Nuqtaviy zar­
yad koordinata boshida joylashgan bo'lsa, 
p
=
eS(r).
U holda
Pk = e
/ й(г ) 
e~ikrd r
= e , 
tp(r) = 
J
^
elkrdk.
Bu yerdagi integralni sferik koordinatalar sistem asida hisoblaymiz:
OO 
7Г 
27Г 
2
J _ L eikrd k = I l _ k 2dk J eikr cose sin 9de j d^ = 27T
Nihoyat, nuqtaviy zaryad potensiali uchun bizga yaxshi tanish bo'lgan 
ifodani olamiz: 
ip = e / r
. E lektrostatika m asalalarining yechimlarini 
differensial tenglam alarni yechish orqali aniqlash ko‘p hollarda g'oyat 
katta m atem atik qiyinchiliklarga olib keladi.
Bunday hollarda masalani yechishda maxsus m etodlardan foydala- 
niladi. Masalan, differensial tenglamaning tegishli chegaraviy shart- 
larga bo‘ysunuvchi yechimining yagonaligi haqidagi teoremaga asos- 
lanib, b a ’zi masalalarda tenglam alarni bevosita yechmasdan, maxsus 
nietodlar yordamida potensialni aniqlash mumkin. Elektr tasvirlash,
219

---

inversiya, konform aks ettirish ana shunday metodlar jumlasiga kiradi. 
Hozir elektr tasvirlash metodi bilan tanishib chiqamiz.
2. 
E le k tr ta s v ir la s h m e to d i. Bu metodning asosiy g'oyasi quyi- 
dagidan iborat: Berilgan nuqtaviy zaryadlar (nuqtaviy bo'lishi shart 
emas) bilan bir qatorda yordamchi fiktiv zaryadlar kiritiladi. Yordam- 
chi zaryadlarning yig‘indisi asosiy zaryadlar t a ’sirida induksiyalangan 
zaryadlar yig'indisiga teng bo'lishi kerak. Aniqlanishi lozim boigan 
maydonni ana shu haqiqiy va fiktiv zaryadlar hosil qiladi deb qaral- 
adi. Bu potensial differensial tenglamalarni qanoatlantirishi bilan birga 
chegarviy shartlarga ham bo'ysunushi kerak. Shu ikki holat bajaril- 
ganda yechimning yagonaligi to ‘g‘risidagi teoremaga asosan bu masa­
laning yechimi bo‘ladi. Bu yerda o‘tkazgich yoki boshqa muhitning 
potensialga qo‘shgan xissasi yordamchi zaryadlar bilan aniqlanadi. Bu 
metod bilan quyidagi masalani yechish jarayonida chuqurroq tanishib 
chiqamiz.
M asala 1. Cheksiz o'tkazuvchi tekislikdan a masofada bo'shliqda
joylashgan e nuqtaviy zaryadning maydonini aniqlang.
Avval masalaninq m atem atik qo‘yilishini ko‘rib chiqamiz. O tka- 
zuvchi tekislik 
yOz
tekisligi bilan mos tushsin. Bu tekislikning ich 
tomonida (x < 0) elektr maydon kuchlanganligi nolga teng. 0 ‘tkazgich 
sirtida potensialni nolga teng deb olamiz (masalan, o‘tkazgich yerga 
ulangan). Bunda chegaraviy shartlarga ko‘ra o‘tkazgich ichida ham 
potensial nolga teng bo‘ladi. Zaryad turgan nuqtaning (x > 0) koordi­
natalari 
A(a,
0,0) bo'lsin. Shu sohadagi potensialni aniqlovchi tengla­
malarni va cheraviy shartlarnni yozamiz:
—4тг 
eS(x — a)S(y)5(z),
(10.41)
= 0, 
(10.42)
4
ttuj
s.
(10.43)
S
= (0,?/, 
z)
chegaraviy tekislikdagi nuqtalar. (10.41)-(10.43) ko'rinish- 
da qo'yilgan masalani umuman olganda yechish mumkin. Lekin, biz bu 
yerda bu masalani tasvirlash metodi bilan yechamiz.
Yuqorida bayon qilingan fikrlarga amal qilib yordamchi 
zary ad n i, 
asosiy zaryadning tasvirini, yassi ko‘zgidagi buyumning tasviri kabi 
x = —a nuqtada tanlayrniz. Uning miqdori o'tkazgich sirtida 
induk-
A ip
=

d y (S )
dx
2 2 0

---