Oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi tеrmiz davlat univеrsitеti

Teorema 3.2. [1].L =L[x] erkin algebrasi, Leybnitsning 1-darajali erkin algebrasi bo’lsin, bunda x ning erkin elementidir. U holda,
a) L algebrasining asosi barcha chap normalar to’plamiga to’g’ri keladi va x elementining darajalari barcha
uchun bo’lganda
(3.3)
b) barcha chap normallangan qavslar uchun
uchun (3.4)
3.1-teoremani isbotlash. Aniq-ki, erkin algebra, 3.2-teoremani leybnits ham erkin mono-Leybnits algoritmidir. erkin generator bilan 1-darajali x hosil qilladi Shunday qilib cheksiz tizim, (3.4) tenglik – ko’p qirrali Mono-Leybnits algebralarning W identifikatsiyani aniqlash tizimidir. Endi ayniyatlar tizimidan (3.4) ni ixtiyoriy quyi tizimni tanlaymiz. Keling, ushbu ixtiyoriy quyi tizim

Shaklga ega ekanligini ko’rsatamiz bu teoremani isbotlashni o’z yakuniga yetkazadi. Avvalo (3.4) sistemaning cheksizligiga ekvivalent ekanligini ko’rsatamiz identifikatsiyalar quyi tizimi barcha uchun , bu yerda elementning chap normali n-darajasi. Asosiy K maydoni cheksiz, shuning uchun W xilma-xilligi bir hil. (3.4) tizimidagi barcha indefikatsiyalar bir hildir. Bu yerdan tufayli (3.4) tizimidagi har bir identifikatsiya uchun uning har qanday qisman linearizatsiyasi W turli xilligi uchun aniqlovchi identifikatsiya bo’ladi. Bu chiziqlilik sifatida belgilanadi, bunda x dagi ixtiyoriy assotsiativ bo’lmagan ko’phaddir. E’tibor bering, 2-teoremaning “a” bandiga ko’ra, isbotlashda faqat xkxl ko’rinishdagi monomlarni hisobga olish kifoya, bu yerda xk va xl ixtiyoriydir. X elementining chap normalangan kuchlari hisoblanadi.
(3.7)
ni qisman linearizatsiyalash,
(3.7)
Ayniyatini beradi. (3.7).
(3.7) ayniyatining natijasidir. (3.7) tenglikdan kelib chiqadiki, eng ko’p 4 darajali tizim (3.4) dan, barcha aniqlovchi ayniyatlar, (3.5) ayniyat natijasidir. Keeling, (3.6) va (3.4) tizimlarning n, n>4 bo’yicha induksiya bo’yicha ekvivalentligini isbot qilaylik.
Aytaylik ,

tizim (3.4) sistemaga ekvivalent, ya’ni . (3.8) tizimdan ayniyatlarning qisman linearizatsiyasini beradi:
. (3.9)
(3.8) ayniyat tufayli bizda , shuning uchun ga teng bo’ladi. Xuddi shunday,
, .
Shunday qilib, bizda

ayniyatlar mavjud, shundan kelib chiqadiki, tizim , ayniyatlar
, . Tizimiga tengdir.
Shuning uchun (3.6) sistema mono-Leybnits algebralarining xilma –xil W tipini belgilaydi.
Endi biz ayniyatlar tizimidan (3.6) mustaqil quyi tizimni tanlaymiz.
, bo’yicha induksiya orqali biz barcha ayniyatlar, (3.5) tizimning natijasi ekanligini isbotlaymiz.

ayniyati,
(3.10)
Ko’p chiziqli ayniyatga ekvivalentdir. (3.10) tenglikda va ni qo’yamiz 2 ga kamaytirilgandan keyin ni hosil qilamiz. (3.9) ayniyat tufayli quyidagi tenglik o’rinli bo’ladi
, .
Shunday qilib, .
Endi faraz qilaylik, barcha ayniyatlar , , (3.5) tenglikdan kelib chiqadi. (3.10) ayniyatga , va ni qo’yamiz , u holda ,
. (3.11)
bo’ladi. Induksiya metodiga gipotezasiga ko’ra biz
,
ni hosil qilamiz va (3.11) dan
(3.12)
hosil bo’ladi. (3.9) dan , kelib chiqadi.
Demak, (3.12) tenglik tenglikka tengdir, bunda kelib chiqadi.
Shunday qilib, ayniyatlar, n>2 bo’lganda, (3.5) quyi tizimiga teng bo’lib, mono-Leybnits algebralarining W xilma-xilligi uchun o’ziga xosliklarni aniqlash tizimi hisoblanadi.
Endi (3.5) ayniyatning mustaqil ekanligini isbotlaylik. ayniyat, ayniyatiga o’ziga xossligi uchun, o’xshashligining natijasi emasligini ko’rsatish talab qilinadi. ayniyatini 4-darajasining har qanday natijasi uning quyidagi uchta natijasining chiziqli birikmasi bo’ladi.
, ,
, , , elementlar sistemasini erkin assotsiativ bo’lmagan algebraning elementlari sifatida erkin generatorli erkin x chiziqli ekanligini ko’rsatamiz. Bundan davom etadiki ayniyatning o’ziga xosligi, ayniyatning o’xshashligidan kelib chiqmasligi ma’lum bo’ladi .
K maydondagi , , , elementlar va

(nolli ko’phad) bo’lsin. Agar bu tenglikka , , va ko’phadlarning qiymatlarini qo’ysak, u holda
hosil bo’ladi
Bundan, , , hosil bo’ladi, chunki tengdir.
Demak, ko’phad, , , ifodalanmagan ko’phadlari bo’yicha chiziqli bo’ladi, demak o’ziga xoslik bo’ladi. tenglikning natijasi emas. 3.1-teorema isbotlandi.