O’zbekistan respublikasi xaliq biLİmlendiRİw miNİstrliGİ A’JİNİyaz atindag’i no’kis ma’mleketlik pedagogikaliq instiTuti m. Urazbaeva, A. Allambergenov, K. Kalimbetov

O’ZBEKİSTAN RESPUBLİKASI

XALIQ BİLİMLENDİRİW MİNİSTRLİGİ

A’JİNİYAZ ATINDAG’I NO’KIS MA’MLEKETLİK

PEDAGOGİKALIQ İNSTİTUTI

M.Urazbaeva, A.Allambergenov, K.Kalimbetov
Algebra ha`m sanlar teoriyası

• (3-kurs talabalar ushın o’z betinshe jumıs boyınsha metodikalıq qollanba)

1-23-51

11-12-3-2

1102-1

1113

112

11

1

NO’KİS-2016

Du’ziwshiler: M.Urazbaeva, A.Allambergenov, K.Kalimbetov
Metodikalıq qollanba pedagogikalıq instituttın’ Matematikanı oqıtıw metodikası ta’lim bag’darı talabaları ushın algebra ha’m sanlar teoriyası pa’ninin’ oqıw bag’darlaması tiykarında tayarlang’an.

Metodikalıq qollanba kol’conın’ a’piwayı ken’eytpesi, kol’conın’ a’piwayı transcendent ken’eytpesi, kopag’zalıllardı qosıw ha’m ko’beytiw, ko’pag’zalı koreni, ko`pag’zalı da’rejesi ha’m onın’ qa’siyetleri, kopag’zalıllardan du’zilgen ten’lemelerdi sheshiwde qollanılatug’ın usıllar qaralg’an.

Qollanbadan universitet studentleri, aspirantlar, izleniwshiler h.t.b. matematikag’a qızıg’ıwshılar paydalanıwı mu’mkin.

JUWAPLI REDAKTOR:

T. Kurbanbaev- Berdaq atındag’ı Qaraqalpaq ma’mleketlik universiteti, fizika-matematika ilimleri kandidatı

PİKİR BİLDİRİWSHİLER:

K.Qudaybergenov- Berdaq atındag’ı qaraqalpaq ma’mleketlik universiteti, fizika-matematika ilimleri doktorı

A Xodjaniyazov - A’jiniyaz atındag’ı pedagogikalıq institutının’fizika- matematika ilimleri kandidatı


Metodikalıq qollanba A’jiniyaz atındag’ı No’kis ma’mleketlik

pedagogikalıq institutı ilimiy-metodikalıq ken’esinin’ qararı

(22-dekabr 2015-jıl №5-bayanlama) menen baspadan shıg’arıwg’a usınılg’an.
K İ R İ S İ W
Algebra sanlar teoriyası pa’ni pedagogikalıq inistutlarda ha’m universitetlerde birinshi kurstan baslap o’tiledi ha’m ko’p ag’zalılardı u’yreniw olar u’stinde a’mellerdi orınlaw bular barısında u’shinshi kurslarda u’yreniledı.

Algebra sanlar teoriyası pa’ni boyınsha inglis, rus, o’zbek h.t.b. tillerde jazılg’an a’debiyatlar ko’p. Qaraqalpaq tilinde jazılg’an bul qollanba «Matematikanı oqıtıw metodikası» ta’lim bag’darı talabaları ushın algebra ha’m sanlar teoriyası pa’ni boyınsha oqıw bag’darlaması tiykarında jazılg’an.

Metodikalıq qollanbada kol’conın’ a’piwayı ken’eytpesi, kol’conın’ a’piwayı transcendent ken’eytpesi, kopag’zalıllardı qosıw ha’m skalyar ko’beytiw, ko’pag’-zalılar koreni, ko`pag’zalılar da’rejesi ha’m onın’ qa’siyetleri, kopag’zalılardan du’zilgen ten’lemelerdi sheshiwde qollanılatug’ın usıllar qaralg’an. Sonday-aq, ko’p ag’zalılardı da’rejelerge jayıwda Telor formulası, Gorner sxeması ja’nede u’shinshi ta’rtipli ten’lemelerdi sheshiw ushın Kardano formulası al to’rtinshi ta’rtipli ten’lemelerdi sheshiwde Fereri usılları keltirilgen. Bul metodikalıq qollan-bada ko’p ag’zalılardı tu’sindiriwde teoriyalıq tekstler menen birge olarg’a mısallar keltirilgen bolıp, olardı shıg’arılıw usılları tu’sindirilgen ha’mde oqıwshılarg’a o’z betinshe islewi ushın mısallar keltirilgen.


KOL’CONIN’ A’PİWAYI KEN’EYTPESİ. KOL’CONIN’ A’PİWAYI TRANSCENDENT KEN’EYTPESİ
Aytayıq ha’m kommutativ kol’colar bolsın.

Anıqlama-1. Eger to’mendegi eki sha’rt orınlansa, onda kol’co element boyınsha kol’conın’ a’piwayı ken’eytpesi delinedi:

1) kol’co kol’conın’ u’les kol’cosı,

2) dag’ı qa’legen a element

ko’rinisinde an’latıladı.

Aldımızda kol’co element boyınsha kol’cosının’ a’piwayı ken’eytpesi ekenligi ko’rinisinde an’latıladı.

Anıqlama-2. Eger a’piwayı ken’eytpede kol’conın’ qa’legen elementlerı ushın ten’likten ekenligi kelip shıqsa, onda kol’co kol’conın’ a’piwayı transcendent ken’eytpesi dep ataladı.

Anıqlama-3. Eger kol’co element boyınsha kol’conın’ a’piwayı ken’eytpesi bolsa ha’m onda element ekinshi anıqlamadag’ı sha’rtti qanaatlan-dırsa, onda element qa qarag’anda din’ transcendent elementi dep ataladı.

Anıqlama-4. Eger kol’co element boyınsha kol’conın’ a’piwayı transcendent ken’eytpesi bolsa, onda kol’co u’stinde element boyınsha du’zilgen ko’pag’zalılar kol’cosı dep ataladı. kol’conın’ elementleri u’stinde tin’ ko’pag’zalıları yamasa u’stinde ko’pag’zalılar dep ataladı ha’m onın’ elementleri

ko’rinisinde jazıladı.

Meyli pu’tinlik oblastı berilgen bolsın. g’a tiyisli bolmag’an elementti alıp, mına an’latpanı du’zemiz:

(1)

Anıqlama-1. Eger bolsa, onda (1) an’latpa bir belgisizli -da’rejeli ko’pag’zalı dep ataladı, bunda ler ko’pag’zalının’ ag’zaları, ler bolsa ko’pag’zalının’ koefficientleri dep ataladı.

Anıqlamag’a tiykarlanıp ja’ne an’latpaları ko’pag’zalı bolmaydı.

Ko’pag’zalılar geyde belgisiz da’rejelerdin’ pa’seyiwi ta’rtibinde

sıyaqlı da jazıladı. Bir o’zgeriwshili ko’pag’zalılar a’dette sıyaqlı belgilenedi.

Aytayıq, bazı bir ko’pag’zalı bolsın.

Anıqlama-2. bolg’anda ag’za ko’pag’zalınin’ bas ag’zası, bolsa erkin ag’za dep ataladı.

Endi eki ko’pag’zalının’ formal-algebralıq ma’nidegi ten’lik tu’sinigin kiritemiz.

Eki ko’pag’zalının’ nolli (koefficientleri nolge ten’) ag’zalardan basqa ba’rshe birdey nomerli ag’zaları bir-birine ten’ bolg’anda ha’m tek sonday jag’dayda g’ana o’z ara ten’ dep ataladı.

Ma’selen, ko’pag’zalılar o’z ara ten’.

Ko’pag’zalılar ten’ligi simbolik sıyaqlı to’mendegishe jazıladı.



,

ko’pag’zalının’ qosındısı dep

ko’pag’zalısın tu’sinemiz, bul jerde , bolıp, eger bolsa . Eger bolsa, dep alınadı.

Ja’ne sonı aytıwımız kerek, ha’m qosındı ko’pag’zalının’ da’rejesi qosılıwı ko’pag’zalılardın’ da’rejesinen u’lken emes. Eger bolsa, qosındının’ da’rejesi qosılıwshı ko’pag’zalılardın’ da’rejesinen u’lken emes, sonday-aq, ha’tteki kishi bolıwı da mu’mkin, ma’selen, bolg’an jag’dayı.

Ko’pag’zalılar ko’pliginde alıw a’meli orınlı. Bul ko’plikte nol element dep barlıq koefficientleri nollerden ibarat ko’pag’zalı alınadı. ko’pag’zalı ushın

ko’pag’zalı qarama-qarsı ko’pag’zalı delinedi.

Endi ha’m ko’pag’zalılarının’ ko’beymesi tu’sinigin kiritemiz.

ha’m ko’pag’zalılar ko’beymesi dep koefficientleri

ten’ligi menen anıqlanıwshı ko’pag’zalıg’a aytıladı. Bul jerde

ko’pag’zalılardın’ koefficientleri H pu’tinlik oblastına tiyisli bolg’anı ushın ha’m bolg’anda bolıp, ko’pag’zalılar ko’beymesinin’ da’rejesi olar da’rejelerinin’ qosındısına ten’ boladı.

Teorema. Ko’pag’zalılar ko’pligi kol’co boladı.

Da’lilleniw. Eki ko’pag’zalının’ qosındısı ha’m ko’beymesi ja’ne ko’pag’zalı ekenligin biz joqarıda ko’rip o’ttik. Endi ko’pag’zalılar ko’pligi ushın kol’conın’ qalg’an sha’rtleri orınlanıwın ko’rsetemiz, haqıyqatında da

1) eger ha’m lar ha’m ko’pag’zalılardın’ koefficientleri bolsa, onda bolg’anı ushın

boladı, yag’nıy ko’pag’zalılardı qosıw kommutativ.

2) (ko’beytiw a’meli kommutativ). Ko’pag’zalılardın’ koefficientleri pu’tinlik oblastına tiyisli bolg’anlıg’ı ha’mde bolg’anı ushın ten’ligi orınlı.

3) Ko’pag’zalılardı ko’beytiw associativ, yag’nıy

(3)

Bul ten’likti da’lillew ushın ja’ne bir ko’p-ag’zalısın alamız. , ha’m sa’ykes tu’rde ha’m da’rejeli bolg’anlıg’ınan ko’pag’zalıdag’ı dın’ koefficienti

qosındı arqalı anıqlanadı. ko’pag’zalıdag’ı nın’ koefficienti

Qosındı arqalı anıqlanadı. Olardın’ ten’ligine tiykarlanıp (2) ten’lik te orınlanadı.

4) Sonday-aq, boladı, yag’nıy ko’p-ag’zalılardın’ ko’beytiw a’meline qarata distributiv. Bul tastıyıqlawdın’ tuwrılıg’ı

ten’lik orınlı ekenliginen kelip shıg’adı. Sebebi, bul ten’liktin’ on’ ta’repi ko’pag’zalının’ aldındag’ı koefficientinen du’zilgen.

Demek, koefficientleri pu’tinlik oblastına tiyisli bolg’an bir belgisizli ko’pag’zalılar ko’pligi kol’co boladı eken. Bul kol’co a’dette kibi belgilenedi.

Ko’pag’zalılar u’stinde a’meller
1. Mısal. ushın sha’rtin qanaatlandırıwshı barlıq ha’m pu’tin sanların tabın’.

Sheshiliwi: ko’pag’zalının’ da’rejesi 4-ke ten’. Demek, tin’ da’rejesi 2 ge ten’. bolsın. Bunnan

dan to’mendegi sistemanı payda etemiz.

sistemadan ha’m lerdi payda etsek, ol to’mendegi sistemalarg’a ajıraladı:

Demek, eger ha’m bolsa, ha’m . Eger ha’m bolsa, ha’m boladı.

2-mısal: da ko’pag’zalını ko’pag’zalıg’a bo’lgendegi qaldıqtı tabın’.

Sheshiliwi: Qaldıqlı bo’liw haqqındag’ı teoremag’a tiykarlanıp ha’m yaki Bunnan



ekenliginen paydalanıp, ha’m ma’nislerin ten’likke qoyamız ha’m to’mendegi sistemanı payda etemiz.

Demek,

O’z betinshe islew ushın mısallar
1. ham lardın’ qanday ma’nislerinde ko’pag’zalı ko’pag’zalıg’a qaldıqsız bo’linedi?
1. ,

2. ,

3.

4. ,

5.

6.

7. ,

8.

9.

10.

Kopag’zalılardı qosıw ha’m skalyarg’a ko’beytiw. Ko’pag’zalı koreni. Ko`pag’zalı da’rejesi ha’m onın’ qa’siyetleri
H birlik elementke iye bolg’an pu’tinlik oblastı berilgen bolsın.

Anıqlama-1. Eger pu’tinlik oblastının’ bazı bir elementi ushın ten’ligi orınlansa, onda element ko’pag’zalının’ koreni dep ataladı.

maydan u’stinde bir o’zgeriwshili birinshi da’rejeli ko’pag’zalı bolg’anda racional sanlar ko’pliginde ba’rqulla korenge iye, sebebi yag’nıy boladı.

Da’rejesi bolg’an ha’r qanday korenlerge iye bolg’an ken’eytpe maydan ba’rqulla bar boladı. Biz bunı keyinirek da’lilleymiz.

Nolinshi da’rejeli ko’pag’zalının’ koreni joq, sebebi qa qanday ma’nisti bermeyik, ba’ri bir boladı. Biz nol ko’pag’zanı itibirg’a almaymız, bunday ko’pag’zalı -tın’ ha’r bir ma’nisinde nolge ten’.

Teorema-1. (Bezu teoreması). ko’pag’zalını eki ag’zalıg’a bo’liwden kelip shıqqan qaldıq g’a ten’.

Da’lilleniwi: Bo’liwshi nın’ da’rejesi 1-ten’ bolg’anı ushın qaldıq yaki nolinshi da’rejeli ko’pag’zalı, yaki nol bolıwı kerek, yag’nıy

(1)

bolıp, bul ten’likte desek, di payda etemiz.

Teorema-2. element ko’pag’zalının’ koreni bolıwı ushın tin’ ekiag’zalıg’a bo’liniwi za’ru’rli ha’m jeterli.

Da’lilleniwi: 1. Za’ru’rli sha’rti. nı tın’ koreni deyik. Bul jag’dayda boladı. 1-teoremag’a tiykarlanıp tı g’a bo’liwden kelip shıqqan qaldıq g’a ten’. Lekin bolg’anı ushın boladı. Demek, ko’pag’zalı g’a qaldıqsız bo’linedi.

2. Jeterli sha’rti. ko’pag’zalı g’a qaldıqsız bo’linsin , yag’nıy qaldıq bolg’anı ushın . Demek, ma’nisi ko’pag’zalının’ koreni boladı eken.

Teorema-3. Eger lar ko’pag’zalının’ ha’r tu’rli korenleri bolsa, onda ko’pag’zalı ko’beymege bo’linedi.

Da’lilleniwi: Teoremanın’ da’lilleniwin matematikalıq indukciya principi tiykarında alıp baramız, de teoremanın’ durıslıg’ın biz joqarıda ko’rip o’ttik.

Meyli, teorema jag’dayı ushın durıs, yag’nıy

(2)

bolsın.

Bul ten’likke nı qoyamız. Onda koren bolg’anı sebepli . Demek, da

payda boladı. pu’tinlik oblastı noldin’ bo’liwshilerine iye bolmag’anlıg’ınan ha’m sha’rtine tiykarlanıp , yag’nıy san ko’p-ag’zalının’ koreni eken. Onda 1-teoremag’a tiykarlanıp

(3)

boladı. Endi (1) ni (2) ge qoyamız. Onda

bolıp, bul tın’ g’a bo’liniwin bildiredi.

Esletpe: Bazı bir jag’daylarda bir neshe yaki barlıq korenler u’stpe-u’st tu’sip qalıwı mu’mkin. Onda (2) formula to’mendegi ko’riniste boladı.

Bunday jag’daydag’ı ha’m korenlerin sa’ykes tu’rde ha’m eseli korenler dep ataymız.

Na’tiyje: Nolden o’zgeshe da’rejeli ko’pag’zalı pu’tinlik oblastında nen artıq korenge iye emes.

Bul pikir noldin’ bo’liwshilerine iye bolg’an kol’cosında orınlı emes. Ma’selen, 16 modul boyınsha du’zilgen shegirmeler klasları kol’cosında ko’pag’zalı 0, r, i, 1 2 korenlerge iye.

Ko’pag’zalılar kol’cosında qaldıqlı bo`liw. Bezu teoreması.

Gorner sxeması
Meyli, ko’pag’zalı berilgen bolsın. Da’rejesi -ge ten’ ha’m bas koefficienti bolg’an ha’r qanday ko’pag’zalının’ bas koefficientin ba’rqulla 1 ge keltirip alıw mu’mkin. Bunın’ ushın ko’pag’zalısın qaraw jeterli.

ko’pag’zalıdan basqa bas koefficienti qa’legen da’rejeli ko’pag’zalı berilgen bolsın.

Eger ko’pag’zalı -da’rejeli ko’pag’zalı bolsa, onda olar kibi jazıladı.

Teorema. Ha’r qanday ha’m ko’pag’zalılar ushın sonday jalg’ız ha’m ko’pag’zalıları bar bolıp, olar ushın ha’m bolıp, usı ten’lik orınlanadı:

(1)

Da’lilleniwi: Eger ko’pag’zalıdan ko’pag’zalısın ayırsaq, ko’pag’zalıda ag’za bolmaydı. Bul jerde to’mendegi-she eki jag’day bolıwı mu’mkin.

a) nin’ da’rejesi nin’ da’rejesinen kishi.

b) nin’ da’rejesi da’rejesinen u’lken yaki og’an ten’.

Eger a) Halı ju’z berse, bolıp teorema da’lillengen boladı.

Biz b) halı u’stinde toqtap o’temiz. Eger bolıp, ko’rinisine iye bolsın.

Endi ko’pag’zalını g’a ko’beytip na’tiyjesin dan ayıramız. Onda bolıp, ko’pag’zalıda ag’za bolmaydı.

bo’lsin. Bul jerde joqarıdag’ı eki haldın’ birewi ju’z beriwi mu’mkin.

1) eger bolsa, to’mendegi ayırmanı du’zemiz:

,

processti dawam ettirip, bazı bir qa’demnen son’ qa erisemiz. Basqasha aytqanda, ten’likte boladı.

Endi usı ten’liklerdi ag’zama-ag’za qosamız:
Onda payda boladı. Bul jerde ha’m desek, ten’lik payda boladı. ten’liktegi bo’liniwshi, bo’liwshi, shala tiyindi, qaldıq ko’pag’zalılar dep ataladı.

Endi (1) ten’liktin’ jalg’ız ekenligin da’lilleymiz.

Meyli, (1) sha’rtti qanaatlandırıwshı ja’ne bir jup ha’m ko’pag’zalı bar, yag’nıy

(2)

ten’lik orınlı bolsın. (1) ha’m (2) ten’liklerin ag’zama-ag’za ayırıp

yaki

(3)

payda etemiz. Bul jerde ha’m tın’ anıqlanıwına tiykarlanıp boladı. Eger shep ta’repinde bolsa, tin’ da’rejesi (3) ge tiykarlanıp tin’ da’rejesinen kishi emes. Bul ha’m tin’ anıqlanıwına qarama-qarsı. Sonın’ ushın boladı. Bunnan den kelip shıg’adı.

Bul teoremanı bazıda ko’pag’zalını ko’pag’zalıg’a qaldıqlı bo’liw teoreması dep te aytıladı.

Meyli, ko’pag’zalının’ koefficientleri bazı bir maydang’a tiyisli bolsın. Bunday jag’dayda ko’pag’zalı maydan u’stinde berilgen ko’pag’zalı dep ataladı.

Ma’selen, ko’pag’zalılarg’a sa’ykes tu’rde haqıyqıy sanlar maydanı u’stinde ha’m kompleks sanlar maydanı u’stinde berilgen ko’pag’zalılar boladı. Eger ko’pag’zalılardın’ qaldıqlı bo’liniwi degen temadag’ı (1) ten’likte bolsa, onda

ten’lik payda boladı. Bul din’ qa qaldıqsız bo’liniwin ko’rsetedi. Biz onı qısqasha sıyaqlı belgileymiz. Qaralıp atırg’an ko’pag’zalılardı bir maydanı u’stinde berilgen dep alsaq, ko’pag’zalılardın’ bo’liniwi to’mendegi qa’siyetlerge iye.

Da’lilleniwi: ekenliginen

(1)

ekenliginen

(2)

(1) ha’m (2) den bunda dep alınadı.

ten’lik tın’ qa bo’liniwin ko’rsetedi.

Da’lilleniwi:

3⁰. ko’pag’zalılardan keminde birewi qa bo’linse, onda olardın’ ko’beymesi de qa bo’linedi.

Da’lilleniwi: Meyli, bolsın. Onda bolıp, bul ten’likten bunnan 3-qa’siyetinin’ da’lili ko’rinip turıptı.

4⁰. Eger ko’pag’zalılardın’ ha’r biri qa bo’linip, lar qa’legen ko’pag’zalılar bolsa, onda

.

Da’lilleniwi: 3-qa’siyetke tiykarlanıp ha’r bir ag’za qa bo’linedi. 2-qa’siyetke tiykarlanıp bolsa, olardın’ algebralıq qosındısı da qa bo’linedi.

5⁰. Qa’legen ko’pag’zalı ha’r qanday nolinshi da’rejeli ko’pag’zalıg’a bo’linedi.

Eger desek, ten’lik qa’siyetti da’lilleydi, bunda .

6⁰. .

Da’lilleniwi: . Dara jag’dayda o’z-o’zine bo’lingenligi ushın qa bo’linedi.

7⁰. ha’m ko’pag’zalılar bir-birine bo’linse, olar biri-birinen o’zgermes ko’beytiwshi menen parıqlanadı.

Da’lilleniwi: Sha’rt boyınsha ha’m berilgen.

Bul ten’liklerden yaki ten’lik payda boladı. Son’g’ı ten’lik ko’beymenin’ nolinshi da’rejeli ko’pag’zalı eken-ligin ko’rsetedi. Bul jag’day ha’m tın’ ha’r qaysısı nolinshi da’rejeli ko’pag’zalı bolg’anda g’ana ju’z beriwi mu’mkin. Demek, ko’pag’zalılardın’ o’z ara ten’lik sha’rtinen ha’m boladı.

Teorema. P sanlar maydanı u’stinde berilgen ko’pag’zalılar bas ideallar kol’cosı boladı.

Da’lilleniwi: P sanlar maydanı bolg’anı ushın kol’co noldin’ bo’liwshile-rine iye bolmag’an kommutativ kol’co, yag’nıy pu’tinlik oblastı boladı. Bul pu’tin-lik oblastı o’z ishine birlik elementin aladı. Endi kol’codag’ı ha’r bir idealdın’ bas ideal ekenligin ko’rseteyik.

Ko’pag’zalılar kol’cosının’ idealın ha’ribi menen belgileymiz ha’m onı dep alamız. Endi idealdag’ı en’ kishi da’rejeli ko’pag’zalını dep belgileymiz. dag’ı qa’legen tı g’a bo’lemiz.

(bul jerde ). tiykarlanıp, ten’ligi orınlı. Kerisinshe, ko’pag’zalı dag’ı en’ kishi da’rejeli ko’pag’zalı bolmay, bunday ko’pag’zalı bolar edi. Demek, idealdag’ı qa’legen ko’pag’zalı qa qaldıqsız bo’lingeni ushın degi bas ideal eken, yag’nıy bolıp, kol’co bas ideallar kol’cosı boladı.

Eger san ko’pag’zalının’ korenı bolsa, Bezu teoremasına ko’re tiykarınan ko’pag’zalının’ dag’ı ma’nisi bolar edi. Qaldıqlı bo’liw teoremasına ko’re ten’liktegi din’ koefficientlerin ha’m qaldıq ag’zanı esaplawdın’ bir usılı menen tanısayıq. Bunın’ ushın ha’m di belgisiz koefficientler ja’rdeminde to’mendegishe jazıp alamız.

Ten’liklerdin’ on’ ta’repindegi qawıslardı ashıp, eki ko’pag’zalının’ ten’ligi ta’ripine tiykarlanıp, to’mendegilerge iye bolamız.

Bul ten’liklerden lardı ha’m di to’mendegishe anıqlaymız.


Bul esaplawlardı to’mendegishe Gorner sxeması dep atalıwshı sxema ja’rdeminde de orınlaw mu’mkin:
…. …. …. ….

Ha’r bir koefficientin tabıw ushın sxemada onın’ joqarısındag’ı g’a dan aldın turg’an di g’a ko’beytip qosıw kerek. Eger ko’pag’zalını ja’ne bazı bir ekiag’zalıg’a bo’liw talap etilse, bul sxemanı to’menge qarap dawam ettiriw mu’mkin. Ulıwma alg’anda, ko’pag’zalının’ eseli korenlerin tabıw-da da usı usıldan paydalanıladı.

1-mısal: kol’coda ko’pag’zalı tuwındılarının’ tochkadag’ı tuwındıların tabın’ ha’m berilgen ko’pagzalılardı ekiag’zalı da’rejelerine jayın’.

Sheshiliwi: Gorner sxeması ja’deminde tabamız:

1-23-51

11-12-3-2

1102-1

1113

112

11

1

Tablicadan lerdi anıqlaymız.

Bunnan, ha’m lerdi tabamız.
O’z betinshe islew ushın mısallar
1. ko’pag’zalını da’rejeleri boyınsha jayılmasın tabın’.

1. x₀=g’

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.