O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi

2.Bir jinsli chegaraviy masala .

Chegaraviy masala yechimining mavjudligi va yagonaligi muhim rol o’ynaydi .Bu mavzuga tegishli ba’zi ma’lumotlarni bayon etish uchun (7.28) munosabatlarda g_i funksiyalar o’z argumentlariga nisbatan chiziqli shakldan iborat bo’lgan holni ko’ramiz . aniqrog’i g_i funksiyalar quyidagi

(7.32)

(bunda ---- o’zgarmas ) ko’rinishda bo’lsin . Agar (i= 1, 2, . . . ,n) bo’lsa , qo’yilgan masala bir jinsli chegaraviy masala deyiladi. Agar

Bo’lsa , u bir jinsli bo’lmagan masala bo’ladi .

n-tartibli chiziqli bir jinsli

L(p)y=0 (*)

tenglama va (7.32) chegaraviy shartlar berilgan bo’lsin ,(*) va (7.32) munosabatlarni A_i =0 bo’lganda qanoatlantiradigan y(x) €C⁽ⁿ⁾ funksiyani topish masalasi (*) tenglama uchun bir jinsli chegaraviy masala deyiladi.

Ravshanki, har bir jinsli chegaraviy masala kamida bitta trivial yechimga ,ya’ni y(x)≡0,x€[x₀,x₁] yechimga ega .Ammo bir jinsli chegaraviy masala trivial bo’lmagan yechimlarga ham ega bo’lishi mumkin .Shu munosabat bilan quyidagi teoremani keltiramiz .

7.8-teorema. Agar y₁(x) , y₂(x) , . . . , y_n(x) , x€[x₀,x₁] funksiyalar (*) tenglamaning chiziqli erkli yechimlari bo’lsa ,u holda L(p)y=0 , masala trivialmas yechimga ega bo’lishi uchun

(7.33)

Determinantning nolga teng bo’lishi zarur va yetarli.

Isbot. Teoremaning shartiga ko’ra y₁(x) , y₂(x) , . . . , y_n(x) , funksiyalar [x₀,x₁] oraliqda

Chiziqli erkli yechimlar .Shuning uchun bo’lganda (*) tenglamaning barcha yechimlari

formula bilan beriladi. Jumladan , , i =1,2, … , n shartni qanoatlantiruvchi yechimi ham shu formula bilan beriladi .Shu sababli

1,2, … , n (7.34)

Munosabatlarga egamiz , ya’ni

Yoki

(7.35)

Endi bir jinsli tenglama bir jinsli chegaraviy shartni qanoatlantiradigan trivialmas yechimga ega deylik . Unda bo’ladi .Shuning uchun (7.35) dan D=0 ekani kelib chiqadi.Agar D=0 bo’lsa , u holda (7.35) dan o’zgarmaslar topiladi . Demak ,ushbu

Funksiya trivialmas bo’lib , bir jinsli chegaraviy masalaning shartlarini qanoatlantiradi . Teorema isbotlandi.