O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi

1.3. Bir jinsli chegaraviy masala uchun Grin funksiyasi.

Differintsial ifoda L(p)y qo’yidagi ko’rinshda bo’lsin:

L(p)y=a₀(x)y⁽ⁿ⁾+ a₁(x)y^(n-1)+…+ a_n-1(x)y¹+ a_n(x)y (7.36)

a₀(x)≠≠0 , x€I.

Ta’rif.Ushbu

L(p)y=0 , g_i ⁰(y)=0 ,i=1,2,…,n (7.37)

Chegaraviy masala uchun Grin funksiyasi deb shunday G(x,  ξ) funksiyaga aytiladiki ,u funksiya yopiq sohada aniqlangan bo’lib ,[x₀,x₁] oraliqdan olingan har bir ξ uchun x ning funksiyasi sifatida quyidagi shartlarni qanoatlantiradi:

1⁰ G(x, ξ) funksiya x va ξ bo’yicha [x₀,x₁] oraliqda uzluksiz , x bo’yicha (n-2) –tartibigacha uzluksiz differintsiallanuvchi ;

2⁰ [x₀,x₁] dan olingan ixtiyoriy tayinlangan ξ uchun G(x, ξ) funksiya x bo’yicha va oraliqlarning har birida (n-1) – va n-tartibli hosilalarga ham ega , ammo (n-1) –tartibli hosilasi x= ξ nuqtada chekli uzulishga ega , ya’ni :

(7.38)

3⁰ va intervallarning har birida x ning funksiyasi sifatida G(x, ξ) funksiya (7.37) munosabatlarni qanoatlantiradi , ya’ni L(p) G(x, ξ) ≡ 0, g⁰_i(G(x, ξ)) ≡ 0, i=1,2,3,…,n

7.9 –teorema .Agar (7.37) chegaraviy masala faqat trivial yechimga ega bo’lsa ,u holda shu masala uchun yagona Grin funksiyasi mavjud .

Isbot . y₁(x), . y₂(x),…, . y_n(x), , x € [x₀,x₁] funksiyalar L(p)y=0 tenglamaning chiziqli erkli yechimlari bo’lsin .U holda bu tenglamaning barcha yechimlari

y=C₁ y₁(x)+ …..+C _ny_n(x)

formula bilan yoziladi .Shuning uchun C₁ ,C₂ ,. . . ., C_n larning biror qiymatida bu formuladan G(x, ξ) funksiyani hosil qila olsak ,teorema isbot bo’lgan bo’ladi .Agar Grin funksiyasi mavjud bo’lsa , x₀≤x< ξ intervalda

ξ ≤x≤x₁ intervalda esa

munosabatlar o’rinli bo’lishi kerak . Bundan (n-2) –tartibigacha hosilalari uzluksiz bo’lgani uchun x= ξ bo’lganda ushbu

………………………………………………………………………

Tengliklarga ega bo’lamiz (n-1)- tartibli hosila uchun esa

tenglikka egamiz .Agar desak , yuqoridagi tengliklar quyidagicha yoziladi:

(7.39)

Bu sistemaning determinanti chiziqli erkli y₁(x), . y₂(x),…, . y_n(x) , (x₀≤x1) funksiyalar vronskianining x= ξ nuqtadagi qiymatidan iborat .Ma’lumki , bu holda W(ξ) ≠≠0 .Shuning uchun (7.41) sistema determinanti noldan farqli bir jinsli bo’lmagan sistema sifatida yagona yechimga ega .Shu yechimni C⁰₁(ξ) , C⁰₂(ξ) ,. . . , C⁰_n(ξ) deb belgilaymiz .Demak ,(7.41) sistema C⁰_v(ξ) larni bir qiymatli aniqlaydi .Endi

C⁰_v(ξ)= b⁰_v(ξ)- a⁰_v(ξ) bo’lgani uchun b⁰_v(ξ) va a⁰_v(ξ) larni aniqlash bilan shug’ullanamiz .Bu koeffitsientlarni chegaraviy shartlardan foydalanib topamiz .Uning uchun g⁰_i(y) ni bunday yozamiz :

g⁰_i(y)= g⁰_iα(y)+ g⁰_β(y) (7.40)

bu yerda

Agar (7.40) da y o’rniga G(x,ξ) funksiyani qo’ysak ,

tenglikka ega bo’lamiz . Bundan a_k lar o’rniga b_k- larni qo’yamiz :

Bundan (7.40) ga ko’ra (7.41)

kelib chiqadi . Agar i = 1 , 2 , . . ., n desak ,(7.41) dan b₁ , b₂ , . . . , b_n larga nisbatan n ta chiziqli tenglamalar sistemasini hosil qilamiz .Bu bir jinsli bo’lmagan sistema , chunki

. Agar g⁰_iα(y_i(x)) ≡ 0 bo’lsa , (7.41) dan b⁰_v(ξ) = C⁰_v(ξ) , a⁰_v(ξ)=0 kelib chiqadi. Bu holda teoremaning isboti ravshan . Endi g⁰_iα(y_i(x)) ≠ 0 holni ko’raylik .Bunda 7.8 –teoremaga ko’ra (7.41) sistemaning determinanti (b₁, b₂ , . . . , b_n larga nisbatan ) noldan farqli . Demak , b₁(ξ), …, b_n (ξ) larning yagona qiymatini topa olamiz .O’sha qiymatlarni b⁰₁(ξ), b⁰₂(ξ), . . . , b⁰_n (ξ) desak , a⁰₁(ξ), a⁰₂(ξ), . . . . , a⁰_n(ξ) lar a⁰_j(ξ)= b_j⁰(ξ) – C_j⁰(ξ) formulalar bilan topiladi. a⁰_i(ξ) va b_i⁰(ξ) , i = 1 , 2 , . . ., n lar uchun topilgan qiymatlarni tegishli ifodaga qo’ysak , G(x, ξ) uchun

(7.42)

formulaga ega bo’lamiz . Shunday qilib ,Grin funksiyasining mavjudligi va yagonaligi isbot qilindi. Bu teoremaning isboti tegishli Grin funksiyasini qurish usulini ham o’z ichiga oladi .

Bir jinsli chegaraviy masala chiziqli bir jinsli bo’lmagan differntsial teglama uchun qo’yilgan bo’lisin , ya’ni ushbu

L(p)y=f(x) , g_i⁰(y)=0, i = 1 , 2 , . . ., n (7.43)

masala ko’rilayotgan bo’lsin .Bu masalaning yechimini quydagi teorema beradi.

7.10- teorema Agar (7.37) masala faqat trivial yechimga ega bo’lsa ,u holda [x₀,x₁]oraliqda uzluksiz bo’lgan ixtiyoriy f(x) funksiya uchun (7.43) masalaning yechimi mavjud .Bu yechim ushbu

( - Grin funksiyasi ) (7.44)

formula bilan ifodalanadi .

Isboti. (7.44) formula bilan aniqlangan biror y(x) funksiyani olaylik .Bu funksiya (7.43)

masalaning yechimi ekanini , ya’ni ushbu

L(p)y(x)≡f(x) (7.45)

g⁰_i(y(x))≡0 , i = 1 , 2 , . . ., n (7.46)

ayniyatlar o’rinli ekanini isbotlaymiz .Avval (7.46) ni ko’rsataylik . G(x, ξ) funksiyaning ta’rifiga ko’ra olingan y(x) funksiya (n-2) –tartibigacha uzluksiz differintsiallanuvchi . Shuning uchun hosilalarni

v =1 , 2 , . . . , n-2 (7.47)

kabi yozish mumkin . (7.47) formulani v=n-2 da quydagicha yozamiz :

Bundan yana x bo’yicha hosila olamiz:

Ammo funksiya x= ξ nuqtada uzluksiz bo’lgani uchun oxirgi ifoda soddalashadi:

(7.48)

Bu formuladan yana bir marta differintsiallab , quydagi ifodani topamiz

(7.49)

Ma’lumki ,g_i⁰(y) ifoda y(x) va uning ( n-1) –tartibigacha hosilalarining x=x₀ va x=x₁ nuqtadagi qiymatlarini o’z ichiga oladi .Shunga ko’ra , (7.44) (7.47) , (7.48) lardan sodda o’zgartirishlar yordamida quydagiga ega bo’lamiz :

G(x, ξ) funksiya Ta’rif bo’yicha g_i⁰(y)=0 ( i = 1 , 2 , . . ., n) chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi ,ya’ni g_i⁰(G(x, ξ))≡0 .Shuning uchun oxirgi integral nolga teng va g_i⁰(y(x))≡0 , i = 1 , 2 , . . ., n munosabatlarga egamiz. Bundan olingan y(x) funksiya [x₀,x₁] oraliqda chegaraviy shartlarni qanoatlantirishi kelib chiqadi .Demak (7.46) isbot etildi .Endi (7.45) ni isbot etamiz. Teoremaning shartiga ko’ra (7.37) masala faqat trivial yechimga ega . 7.9 –teoremadan L(p) (G(x, ξ))≡0 ekani chiqadi .Shuning uchun olingan y(x) funksiya hosilalarining o’rniga (7.47) , (7.48) , (7.49 ) formulalardan foydalanib , o’z ifodasini L(p) y differintsial ifodaga qo’yamiz :

Demak, (x₀, ξ) intervalda L(p)y(x) ≡ f(x) ayniyat o’rinli .SHunga o’xshash ( ξ,x₁) intervalda ham shu ayniyat o’rinli ekanini ko’rsatiladi . Shunday qilib , [x₀,x₁] ) intervalda uzluksiz f(x) funksiya uchun olingan y(x) funksiya (7.43 chegaraviy masalaning yechimi bo’ladi .

Teorema isbot bo’ldi .