O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi

2.3.Oddiy differentsial tenglamalar uchun qo’yilgan chegaraviy masalalarni Grin funksiyasi orqali yechishga doir misollar

Agar λ =0 L operatorning xos qiymatlari bo’lmasa , u holda (1) , (2) masalaning yechimi M_L sohada yagona va quydagi formuladan

topiladi , bu yerda -(1) ,(2) masalaning Grin funksiyasi.

Ta’rif :

(1)

(2)

masalaning Grin funksiyasi deb shunday funksiyaga aytiladiki , u funksiya sohada aniqlangan bo’lib ,[a,b] oraliqda olingan har bir ξ uchun x ning funksiyasi sifatida quydagi shartlarni qanoatlantirsa :

1. 
   x-ning funksiyasi sifatida funksiya quydagi
   

(3)

tenglamani qanoatlantiradi;

2) funksiya x=a va x=b bo’lganda (2) chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi;

3) x=ξ bo’lganda [a, ξ] va [ξ,b] oraliqda x bo’yicha funksiya uzluksiz , lekin birinchi tartibli hosilasi x=ξ nuqtada chekli uzulishga ega , ya’ni :

(4)

Agar (1),(2) chegaraviy masala faqat trivial yechimga ega bo’lsa , u holda bu masala uchun yagona Grin funksiya mavjud va quydagi ko’rinishda

(5)

Izlanadi , bu yerda y₁(x) va y₂(x) funksiyalar L(y)=0 tenglamaning noldan farqli yechimlari bo’lib , mos ravishda (2) ning shartlarni qanoatlantiradi.

(5) funksiya (4) shartlarni qanoatlantirishi uchun φ(ξ) va ψ(ξ) funksiyalarni shunday tanlash kerakki , quydagi sistema

(6)

yechimga ega bo’lsin .

6. 
   ko’ra (5) ni quydagi ko’rinishda ifodalaymiz :
   

(7)

bu yerda

(8)

ω(x) -Vronskiy determinanti .

Agar λ=0 L operatorning xos qiymatlari bo’lmasa , u holda Ly=λy+f(x) tenglama uchun quyilgan (2) chegaraviy masalaning yechimi quydagi integral tenglamaga

(10)

teng kuchlidir , bu yerda

1-misol Quyidagi

(11)

(12)

Masalaning Grin funksiyasini tuzing va uning yechimini toping .

Yechish. tenglamaning umumiy yechimi dan iborat .Bunga ko’ra y₁(x)=x va y₂(x)=x-1 funksiyalar mos ravishda y(0)=0 va y(1)=0 shartlarni qanoatlantiruvchi tenglamaning yechimlari bo’ladi . (1) va (11) ga asosan p(x)=1 teng .(9) ko’ra esa ga teng . Demak , Bundan va (7) formulaga asosan (11) , (12) masalaning Grin funksiyasi quydagi ko’rinishda

(13)

bo’ladi.

(*) , (13) formulaga ko’ra (11) , (12) masalaning yechimi quydagi formuladan

(14)

topiladi.

2-misol. Quyidagi

(15)

(16)

Shturm –Liuvill masalasiga teng kuchli integral tenglamani toping .

Yechish. tenglamaning noldan farqli (16) ning shartlarini qanoatlantiruvchi yechimlari

(17)

funksiyalardan iborat . (1) va (15) tenglamalarga asosan

(9) ga ko’ra esa

ga ega . Demak, Bundan va (7) formulaga asosan (11) , (12) masalaning Grin funksiyasi quydagi ko’rinishda

(18)

bo’ladi .

(10) va (18) formulalarga asosan (15) (16) masalaning yechimi quyidagi integral tenglamaga

teng kuchli bo’ladi, bu yerda -funksiya (18) formula orqali aniqlanadi.

3-misol. Quyidagi

(19)

(20)

masalaning Grin funksiyasini tuzing va uning yechimini toping.

Yechish. tenglamaning noldan farqli (20) ning shartlarini qanoatlantiruvchi yechimlari

va (21)

funksiyalardan iborat .(1) va (19) tenglamalarga asosan . (9) ko’ra esa ga ega . Demak , Bundan va (7) formulaga asosan (19), (20) masalaning Grin funksiyasi quydagi ko’rinishda

bo’ladi. (22)

(*) , (22) formulalarga asosan (19) va (20) masalaning yechimi quyidagi formuladan topiladi :

1.

2.

2.

Chegaraviy masala uchun Grin funksiyasini tuzing.











Xulosa.

Ushbu kurs ishim mavzusi “Chiziqli chegaraviy masalalar uchun Grin funksiyasi”.Kurs ishimni ikki bobga ajratdim .Birinchi bobda ikkinchi tartibli chiziqli differensiyal tenglamalar va ularning xossalari ,chegaraviy masalalar mavzuchalarga ajratib kengroq yoritib berishga harakat qildim.Ikkinchi bob 3 ta mavzuchadan iborat . Grin funksiyasi. Grin funksiyasining mavjudligi va yagonaligi haqida teorema. Chiziqli chegaraviy masalalar uchun Grin funksiyasi. Oddiy differentsial tenglamalar uchun qo’yilgan chegaraviy masalalarni Grin funksiyasi orqali yechishga doir misollar.Teorema va isbotlar bilan kengroq yoritishga harakat qildim .Differensial tanglamalar uchun biror bir chegaraviy masalni o’rganishda unga mos Grin funksiyasi muhim ahamyatga ega.

Chegaraviy masala uchun Grin funksiyasi deb shunday shunday funksiyaga aytiladiki , u yopiq sohada aniqlangan bo’lib ,uzliksiz differensiyanlanuvchi,hosilaga ham ega, intervalning har bir x da Grin funksiya nolga teng.Ushbu kurs ishim orqali o’zim uchun ko’pgina ma’lumotlarga ega boldim.