O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi

2.Bir jinsli bo’lmagan chegaraviy masala .

(7.32) formulada bo’lsin .Biz .bi r jinsli bo’lmagan chegaraviy masalani ko’raylik .Bu holda asosiy xulosani quyidagi teorema ifoda etadi .

7.11-teorema .Ushbu L(p) y=0 tenglama .bir jinsli bo’lmagan shartni qanoatlantiradigan yagona yechimga ega bo’lishi uchun mos bir jinsli chegaraviy masala faqat trivial yechimga ega bo’lishi zarur va yetarli .

Isbot .Zarurligi . .Bir jinsli bo’lmagan chegaraviy masalaning yechimi y(x) funksiya bo’lsin. Unda L(p)y(x)≡0 , x€[x₀,x₁] g_i (y(x)) –A_i≡0 ayniyatlar o’rinli bo’ladi.

Bir jinsli differentsial tenglamaning fundamental sistemasi y₁(x), y₂(x), . . . ,y_n(x) funksiyalardan iborat bo’lsin .U holda ixtiyoriy yechim formula bilan yoziladi . O’zgarmas C₁, C₂, . . . . , C_n, larning biror qiymatida y(x) yechim hosil bo’lsin deylik, ya’ni . Bu funksiyani bir jinsli bo’lmagan chegaraviy shartga qo’yamiz . Sodda o’zgartirishlar natijasida quyidagini hosil qilamiz

Demak ,ushbu (7.50)

Sistemaga egamiz .Bu sistemaning determenanti D≠0 ((7.33) ga qarang ), chunki .Ammo D≠0 bo’lganda mos Bir jinsli chegaraviy masala 7.8-teoremaga ko’ra faqat trivial yechimga ega bo’ladi .

Yetarliligi . Bir jinsli chegaraviy masala faqat trivial yechimga ega bo’lsin .U holda D≠0 bo’ladi .Demak ,(7.50) ga ko’ra bir jinsli bo’lmagan chegaraviy masala yagona trivialmas yechimga ega , chunki (7.50) dan tengsizlikni qanoatlantiradigan C₁, C₂, . . . . , C_n o’zgarmaslar bir qiymatli topiladi . Teorema to’la isbot bo’ldi.

7.3 -natija . Agar bir jinsli bo’lmagan chegaraviy masala ikkita y=φ₁(x) va y= φ ₂(x) , φ ₁(x)≠ φ ₂(x) yechimga ega bolsa , u holda y= φ ₁(x) - φ ₂(x) funksiya mos bir jinsli chegaraviy masalaning trivialmas yechimi bo’ladi; aksincha ,agar bir jinsli chegaraviy masalaning trivialmas yechimlarga ega bo’lsa , u holda bir jinsli bo’lmagan chegaraviy masala yo bironta ham yechimga ega bo’lmaydi yoki cheksiz ko’p yechimlarga ega bo’ladi.

Isboti Avval natijaning birinchi qismini isbotlaymiz .

Ravshanki , L(p) φ ₁(x)≡0 , L(p) φ ₂(x)≡0 va demak , L(p) (φ ₁(x)- φ ₂(x))≡0 , yana shunga o’xshash g⁰_i(φ ₁(x)- φ ₂(x))≡0 kelib chiqadi .Shuning uchun y= φ ₁(x)- φ ₂(x) funksiya bir jinsli chegaraviy masala L(p)y=0 , g⁰_i(y)=0 uchun trivialmas yechim bo’ladi .

Endi agar bir jinsli chegaraviy masala trivialmas y=y(x)≠0 , x€[x₀,x₁] yechimga ega bo’lsa, D=0 bo’ladi ((7.33) ga qarang ) U holda (7.50) sistema yo yechimga ega bo’lmaydi yoki cheksiz ko’p yechimga ega bo’ladi . Natija isbot etildi .

Endi chiziqli bir jinsli bo’lmagan differentsial tenglamani olaylik , ya’ni L(p)y= f(x) ,shu bilan birga bir jinsli bo’lmagan chegaraviy shart ham berilgan bo’lsin . Boshqacha aytganda, ushbu

(7.51)

bir jinsli bo’lmagan chegaraviy masalani ko’raylik .Bu masalaning yechimi haqida fikr yuritish uchun avval g ⁰_i (η(x))=A_i shartni qanoatlantiradigan ixtiyoriy η(x)€Cⁿ[x₀,x₁] funksiyani olamiz .So’ngra z(x) =y(x) - η(x) almashtirishni bajaramiz . Bu φ(x) funksiya uchun g ⁰_i (z(x))= g ⁰_i (y(x)- η (x))= g ⁰_i (y(x))- g ⁰_i ( η (x))≡0,

ya’ni g ⁰_i (z(x))=0 (7.52)

bir jinsli chegaraviy shartga ega bo’lamiz .Berilgan differentsial tenglama (z(x) funksiyaga nisbatan )

L(p)( η (x)+ z(x))= f(x)

yoki

L(p) z(x)= f(x)-L(p) η (x)= F (x) (7.53)

ko’rinishga keladi .Endi (7.53), (7.52) bir jinsli chegaraviy masalani ko’rish mumkin . 7.10-teoremaga ko’ra , agar L(p) z(x)=0 , g ⁰_i (z(x))=0 masala faqat trivialmas yechimga ega bo’lsa , u holda [x₀,x₁] oraliqda uzluksiz bo’lgan ixtiyoriy F(x)=f(x)- L(p) η (x) funksiya uchun (7.53), (7.52) masalaning yechimi mavjud va

(7.54)

Ko’rinishda yoziladi .Agar η (x) funksiya mos bir jinsli tenglamaning yechimi bo’lsa , y holda L(p) η (x) ≡0 F(x)=f(x) bo’ladi va (7.54) formula ko’rinishda yozilishi mumkin .Shunday qilib quydagi teorema isbot qilindi .

7.12- teorema .Bizga (7.51) bir jinsli bo’lmagan chegaraviy masala berilgan bo’lsin . [x₀,x₁] oraliqda uzluksiz bo’lgan va g_i⁰(y)=A_i bir jinsli bo’lmagan chegaraviy shartni qanoatlantiradigan ixtiyoriy funksiyani η (x) deylik . U holda , agar L(p)( y(x)-η (x))= 0 , g_i⁰( y(x)-η (x))= 0 masala faqat trivial yechimga ega bo’lsa , u holda (7.51) masala yechimga ega va va bu yechim ushbu (bunda F(x)=f(x)- L(p) η (x)) formula bilan beriladi . Agar L(p) η (x) ≡0 , g_i⁰(η (x))=A_i (i=1 , 2 , . . . n ) munosabatlar o’rinli bo’lsa , u holda F(x)=f(x) va (7.51) masalaning (7.54^//) ko’rinishda yoziladi.