Nazariy fizika kursi

£2 
tg
a 2 
£
2
'
Bu munosabat ikki dielektrik chegarasida maydon kuch chiziqlarining 
sinishini ko'rsatadi. Bu yerda 
a \
va 
a 2
mos ravishda birinchi va ikkinchi 
dielektriklarda elektr maydon kuchlanganligi bilan chegaraviy sirtga 
o'tkazilgan normal orasidagi burchaklardir.
Dielektriklarda va 
0
‘tkazgichlarda elekrtostatik maydon mas alar 
sini umumiy holda ko‘rish bilan cheklandik. Eletrostatikaning aniq 
q o 'y ilg an
masalasining har birini yechishda alohida yondashish zarur 
bo‘ladi. Quyida ana shunday metodlarning avrimlari bilan tanishib 
o‘tainiz.
10.4 
Elektrostatika masalalarini
yechish m etodlari
Elektrostatikada to ‘g‘ri va teskari masalasi mavjud. Avval teskari* 
masala bilan tanishib chiqamiz. 
Koordinataning funksiyasi sifatida 
berilgan maydon potensiali yoki kuchlanganligi orqali zaryadlarning 
taqsimotini aniqlash elektrostatikaning teskari masalasining mazmunin™ 
tashkil qiladi.
Birinchi qarashda bu masala oddiy va doimo yechimga ega bo‘lib 
ko‘rinadi. H aqiqatan ham, teskari masalani yechish uchun berilganf 
maydon kuchlanganligidan yoki potensialdan koordinatalar bo'yicha 
tegishli ko'rinishdagi hosilalarni olish kifoyadir, ya’ni
p
= — div 
E
= ——
Atp.
(10.28)|
47Г 
47Г
Ammo, bu holat potensial (maydon kuchlanganligi) koordinataning 
funksiyasi sifatida maxsus nuqtalarga ega (cheksiz, uzilish va boshqalarM
bo‘lmaganda to :g‘ri bo‘ladi. Buni quyidagi misolda ko‘rib chiqamiz. 1 
Potensial
tp = - e r ar
(10.29)1
r
funksiya bilan aniqlangan bo'lsin. Bundan ko‘rinib turibdiki, 
r =
01 
maxsus nuqtadir. Avval (10.28) yordamida potensialdan hosila olib
216
a

---

1 1 
д ( 2д р \
a
2 
e 
a 2
<'= ^
f r ( r T r ) = - T * - r e
■ - t o » ’- 
(1030)
Bu yerda potensial sferik simmetriyaga ega bo'lganligi uchun Laplas 
operatorini sferik koordinatalarda yozdik. Zaryad taqsim oti uchun olin­
gan ifoda yordam ida 
r —
0 nuqta atrofidagi cheksiz kichik hajm da qan­
day zaryad to ‘planganligini aniqlaylik:
2 
т
e(r) =
J
pdV = 
J
- е~аг4тгr 2dr = e
[e_Qr(l +
ar)
— 
1
] 
.
v
0
(10.31)
Bu yerda 
v =
47rr3/3 . (10.31) ifodada r —> 0 da zaryad e(0) —►
0. Shun­
day qilib, maxsus nuqtada nuqtaviy zaryad yo‘q b o ‘lib chiqdi. Bu nati­
jani tekshirib ko‘rish maqsadida maxsus nuqtada zaryadni aniqlashda 
elektrostatika tenglamasining integral ko'rinishidan foydalanamiz:
f E ndS
= 4тге(г), 
En = Er = - ^ = e ( ^ + ^ j e - “r .
(10.32)
Bu yerda integralni maxsus nuqtani o‘z ichiga olgan sferik sirt bo'yicha 
olib quyidagini topamiz:
j> EndS
= 4тг
Er r2
= 4tt
e(ar
+
\)e~ ar
(10.33)
(10.32) va (10.33) ifodalarni taqqoslab, sfera ichidagi zaryadni aniqlay­
miz:
e(r) =
e(ar +
l) e _ a r . 
(10.34)
Endi sferik sirtni r = 0 maxsus nuqtaga tortib, undagi zaryad 
(10.34) dan e(0) = e ekanligini aniqlaymiz. Demak, maxsus nuqtada 
nuqtaviy zaryad 
e
joylashgan ekan. Bu differensial tenglam adan olingan 
natijaga ziddir.
Bu misol teskari masalani yechishda faqat differensial tenglam a 
bilan cheklanish - maxsus nuqtalarda noto‘g‘ri natijalarga olib kelishi 
niumkinligini ko'rsatadi. Differensial tenglama faqat uzluksiz taqsim­
langan zaryadlarni aniqlashda to ‘g‘ri natija beradi. Ko‘rilayotgan mi- 
solda uzluksiz taqsim langan zaryadlarning yig'indisi (10.31) ifodadan r