Qrup: 1020s Fənn: Riyazi analiz və analitik həndəsə

2. Ekstremumun varlığı üçün şərtlər.

Maksimumun tərifi. nöqtəsinin daxil olduğu hər hansı intervalının bütün nöqtələrində f (x) funksiyasının qiyməti onun nöqtəsindəki qiymətindən kiçik olduqda deyirlər ki, f (x) funksiyasının nöqtəsində maksimumu vardır. Başda dözlə, mütləq qiymətcə kifayət qədər kiçik olan istənilən (müsbət və ya mənfi) ∆x üçün olduqda deyirlər ki, nöqtəsində f (x) funksiyasının maksimumu var.

Minimumun tərifi. Mütləq qiymətcə kifayət qədər kiçik olan istənilən (müsbət və ya mənfi) ∆x üçün olarsa, onda deyirlə ki, f (x) funksiyasının nöqtəsində minimumu vardır.

Funksiyanın maksimumu və minimumu birlikdə funksiyanın ekstremumları deyilir.

Teorem 1. (eksremumun varlığı zəruri şərtdir). Əgər diferensiallana bilən

y = f (x) funksiyasının x=x₁ nöqtəsində ekstremumu varsa, onda nöqtədə funksiyanın törəməsi sıfra çevrilir, yəni = 0.

İsbatı. Müəyyənlik üçün fərz edək ki, x₁ nöqtəsində funksiyanın maksimumu vardır. Onda arqumentin mütləq qiymətcə kifayət qədər kiçik artımlarında

yəni

Olar. belə olduqda isə

nisbətinin işarəsi artımının işarəsi ilə təyin olunar, yəni

olduqda

olduqda

olar. törəmənin tərifinə əsasən

Əgər f (x) funksiyasının nöqtəsində törəməsi varsa, onda bu bərabərliyin sağ tərəfində duran limit artımının sıfra necə yaxınlaşmasından (müsbət və ya mənfi qalaraq) asılı deyil.

Digər tərəfdən artımı mənfi qalmaqla sıfra yaxınlaşarsa, onda olur. Digər tərəfdən artımı müsbət qalmaqla sıfra yaxınlaşarsa, onda olmalıdır.

artımının sıfra yaxınlaşma qaydasından asılı olmayaraq müəyyən bir ədəd olduğundan axırıncı iki bərabərsizlik yalnız

olduqda uyuşan olur.

Minimum halı üçün də teoremin isbatı oxşar qaydada aparılır.

Teorem 1-dən bilavasitə aşağıdakı nəticə alınır: x arqumentin baxılan bütün qiymətlərində f (x) funksiyasının törəməsi varsa, onda yalnız törəmənin sıfır olduğu nöqtələrdə funksiyanın ekstremumu ola bilər. bu fikrin tərsi doğru deyil: törəmənin sıfır olduğu hər bir nöqtədəfunksiyanın maksimumu və ya minimumunun olması zəruri deyil.

Qeyd edək ki, əgər funksiyanın hər hansı nöqtədə törəməsi yoxdursa (lakin yaxın nöqtələrdə var), onda həmin nöqtədə törəmə kəsiləndir.

Törəmənin sıfra çevrildiyi və ya kəsildiyi nöqtələrdə həmin funksiyanın böhran nöqtələri deyilir.

Yuxarıda deyilənlərdən görünür ki, hər bir böhran nöqtəsində funksiyanın maksimumu və ya minimumu olduğunu düşünmək düzgün deyil. Lakin hər hansı bir nöqtədə funksiyanın maksimumu və ya minimumu varsa, onda həmin nöqtə böhran nöqtəsidir. Ona görə də funksiyaların ekstremumlarını axtaranda: əvvəlcə bütün böhran nöqtələri tapılır, sonra hər bir böhran nöqtəsi ayrıca araşdırılaraq, həmin nöqtədə maksimum və ya minimumun olduğu, yaxud da nə maksimumun və nə də minimumun olmadığı aydınlaşdırılır.

Teorem 2. (ekstremumun varlığı kafi şərtdir). Tutaq ki, f (x) funksiyası nöqtəsinin daxil olduğu hər hansı bir intervalda kəsilməzdir və intervalın bütün nöqtələrində ( nöqtəsi istisna ola bilər) diferensiallana biləndir. Əgər bu nöqtədən soldan sağa keçəndə törəmənin işarəsi müsbətdən mənfiyə dəyişirsə, onda nöqtəsində funksiyanın maksimumu vardır. Əgər həmin nöqtəsindən soldan sağa keşəndə törəmənin işarəsi mənfidən müsbətə dəyişirsə, onda həmin nöqtədə funksiyanın minimumu vardir.

Beləliklə,

a) əgər olduqda olduqda isə olarsa, onda nöqtəsində funksiyanın maksimumu var;

b) əgər olduqda , olduqda isə olarsa, onda nöqtəsində funksiyanın minimumu var. Bu halda nəzərə almaq lazımdır ki, a) və ya b) şərti x arqumentinin x₁ ədədinə yalnız kifayət qədər yaxın olan qiymətlərində, yəni böhran nöqtəsinin kifayət qədər kiçik ətrafının bütün nöqtələrində ödənilməlidir.

Teorem 3. (ekstremum varlığının ikinci kafi şərtdi). Tutaq ki, , onda olaesa, funksiyanın x₁ nöqtəsində maksimumu, olduqda isə həmin nöqtədə minimumu var.