5 –Teorema. Har qanday to`plamning yopilmasi yopiq to`plamdir. Isbot. 2- va 3-teoremalardan bevosita quyidagilarni olamiz:
.
Endi 1 –teoremaga asosan
.
to`plamning yopilmasini bilan belgilaymiz.
6 – Teorema. Har qanday to`plam uchun . Isbot. 5 –teoremaga asosan to`plam yopiq, ya`ni . Bundan .
7 – Izoh. 4 – natija, umuman, hadlarining soni cheksiz bo`lgan to`plamlar uchun o`rinli emas.
8 – Teorema.Soni chekli yopiq to`plamlarning yig`indisi yopiq to`plamdir.
Bu teorema ikki yopiq to`plamlar uchun isbot etilsa kifoya, chunki ikduksiya yo`li bilan umumiy hol ham shu holga keltirilishi mumkin.
va yopiq to`plamlar bo`lsin. Bu to`plamlarning yopiq ekanligidan va
3 –teoremadan
munosabat kelib chiqadi. Bu esa to`plamning yopiq ekanligini ko`rsatadi.
Lekin hadlarinin soni cheksiz bo`lgan to`plamlar yig`indisi yopiq bo`lmasligi mumkin.
Masalan,
to`plamlarning har biri yopiq to`plamdir. Ammo ularning yig`indisi yarim oraliqqa teng; bu to`plam esa yopiq emas, chunki 1 nuqta bu to`plam uchun limit nuqta bo`lib to`plamning o`ziga kirmaydi.
9 – Teorema.Hadlarining soni ixtiyoriy (ya`ni chekli yoki cheksiz) bo`lgan yopiq to`plamlarning ko`paytmasi yopiq to`plamdir. Isbot. yopiq to`plam bo`lib, uning indeksi ixtiyoriy quvvatli biror to`plamning elementlari bo`yicha o`zgarsin deylik.
Ushbu
(1)
to`plamni tuzib, uning yopiq ekanligini ko`rsatamiz.
Teoremaning shartiga muofiq har bir uchun to`plam yopiqdir. (1) munosabatdan munosabat bevosita kelib chiqadi. Bundan esa bo`ladi (chunki yopiq). Bu munosabat ixtiyoriy uchun o`rinli bo`lganligi sababli ushbu
munosabat kelib chiqadi. Bu esa to`plamning yopiq ekanini ko`rsatadi.
