Rеja: Yopiq to`plamlar. Kantоr tеоrеmasi. Bоrеl-Lеbеg tеоrеmasi. Kantоr to`plami. Tayanch so`zlar

11-Teorema.( Borel-Lebeg). Agar yopiq va chegaralangan to`plam soni cheksiz oraliqlar sistemasi bilan qoplangan bo`lsa , u holda bu sistemadan ni qoplaydigan chekli qism sistemani ajratib olish mumkin .
Isbot. Yopiq va chegaralangan to`plam cheksiz sistema bilan qoplangan bo`lib , , sistemada ni qoplaydigan chekli qism sistema yo`q deb faraz qilamiz . Bundan , xususan , nming cheksiz to`plam ekanligi kelib chiqadi. chegaralangan to`plam bo`lganligi uchun shunday segment mavjudki , bu segment to`plamni o`z ichiga oladi , ya`ni .
Endi nuqtani olib , va to`plamlarni tuzamiz.
Farazimizga muvofiq , bu to`plamlarning har birini xam birdaniga sistemaning chekli qism sistemasi bilan qoplam bo`lmaydi , chunki aks holda to`plam ham sistemaning biror qism sistemsi bilan qoplangan bo`lar edi .
Agar (yoki ) to`plam sistemaning chekli qism sistemasi bilan qoplangan bo`lsa , u holda bilan (mos ravishda ) segmantni belgilaymiz . Agar va to`plamlarning har ikkalasi ham ning chekli qism sistemasi bilan qoplangan bo`lsa , u holda sifatida va segmentlardan ixtiyoriy bittasini olishimiz mumkin .
Ravshanki , to`plam cheksiz bo`ladi.Endi nuqtani olib, va to`plamlarni tuzamiz.Agar (yoki ) toplam ning chekli qisim sistemasi bilan qoplammagan bo`lsa,(farazimizga muvofiq, yoki to`plam ning hech qanday chekli qism sistemasi bilan qoplammaydi ), bilan (mos ravishda ) segmentni belgilaymiz.
Bu jarayonni davom ettirish natijasida ichma-ich joylashgan
(6)
Segmentlar ketma-ketligi hosil bo`ladi va to`plam farazimizga muofiq sistemaning hech qanday chekli qism sistemasi bilan qoplanmaydi;bundan xususan bu to`plamlarning har biri cheksiz to`plam ekanligi kelib chiqadi.(6) segmentlar ketma-ketligida segmentning uzunligi da nolga intiladi. Kantor teoremasiga asosan bu segmentlar ketma-ketligi segmentlarning hammasi uchun umumiy bo`lgan yagona nuqtaga ega bo`ladi.Bu nuqtani bilan belgilaymiz va uning to`plam elementi ekanligini isbot qilamiz.Buning uchun to`plamdan nuqtani , to`plamdan nuqtani, to`plamdan nuqtani va hokazo nuqtalarni olamiz.
Endi, (1) ga asosan bo`ladi.Lekin yopiq to`plam bo`lgani uchun . Bundan foydalanib,teoremani isbot qilamiz.Buning uchun yuqorida qilgan farazimizga zid natija keltirib chiqarishimiz kifoya .
Darhaqiqat , teoremaning shartiga muvofiq , , teoremaning shartiga muvofiq , nuqtani sistemadagi biror oraliq qoplaydi , yetarli katta bo`lganda segmentning uzunligi istalgancha kichik qilinishi mumkinligidan va har bir segment nuqtani o`z ichiga olganligi sababli yetarli katta uchun munosabatning bajarilishi kalib chiqadi . Bu munosabatdan esa kelib chiqadi ; demak , t`oplam sistemadan olingan birgina oraliq bilan qoplanadi. Bu natija esa segmentlarning yuqorida aytilgan xossasiga zid .