Respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi namangan

Garmonik tebranma harakat. Tebranma va aylanma harakatlar orasida bog’lanish. Vektor diagramma. Siljish.

Fizik kattaliklarni davriy ravishda sinus va kosinus qonuni bo’yicha o’zgarishiga garmonik tebranish deyiladi. Tebranuvchi jismning muvozanat holatidan chetlashishi siljish deyiladi. Eng sodda garmonik harakatda siljish kattaligi sinus va kosinus funktsiyasi bilan ifodalanadi. Biror moddiy nuqta M radiusi ROM₀A ga teng aylana bo’ylab, soat strelkasiga teskari yo’nalishda burchak tezlik bilan aylansin (19-rasm). Harakat boshlanishida (t0) nuqta M₀ holatda bo’lsa, t vaqt o’tgach
  t (1)
burchakka burilib, M holatni egallaydi. M nuqtaning x,y o’qlardagi proektsiyalarini P va Q bilan belgilaylik. P va Q nuqtalari M nuqta aylana bo’ylab harakatlanganda O nuqta yaqinida davriy takrorlanuvchi siljishlarga ega bo’ladi. Bu siljishlar vaqtga sinus yoki kosinus qonuni bilan bog’langan.
OPXAcosAcost (2) OQyAsinAsint
Demak, M nuqtaning x,y o’qlardagi proektsiyalari O nuqta atrofida garmonik tebranma harakat qiladi, chunki bu harakat sinus va kosinus funktsiyasi bilan ifodalanadi. Tebranma harakatga tegishli davr, chastota, amplituda, faza kabi fizik kattaliklar aylana bo’ylab harakatga ham tegishli ekani kelib chiqadi.
Agar garmonik tebranuvchi nuqtaning t0 dagi fazasi ₀ bo’lsa, tebranishning t ga bog’langan umumiy tenglamasi
XAcos(t₀) (3)
yAsin(t₀)

yoki



 


 ^{2
x Acos} ^t
_ T
y  ^{ 2} t  


^  Acos2t   

₀ 
_ 0


^  Asin2t   
(3')

^Asin ₀  ₀
 ^T 
ko’rinishda yoziladi. Boshlang’ich faza o’zgartirilsa, XAsin(t₀)
yAcos(t₀) (4)
tenglamalar o’rinli bo’ladi. Bu yerda t ifoda to’la faza, ₀-boshlang’ich fazadir. Garmonik harakatning asosiy xossasi uning davriyligidir. Vaqtning turli onlarida tebranuvchi nuqta holatini kuzataylik. Gul ochilish jarayonida, quyoshning ko’rinma harakatida va jamiyatning rivojlanishida vaqt o’tib borishi bilan u jarayonlarning turli holatlari yoki fazalarini misol keltirish mumkin.
Boshlang’ich faza ₀0 bo’lganda tenglama
x  Acost

y  Asint ko’rinishda bo’ladi.

1. 
   Bu holda harakat boshlanishda (t0) da xA, y0 bo’lib, nuqta M vaziyatda bo’ladi.
   

2. 
   ^{t  }
   

2
sekundda esa,
cos ^
2
 0, sin ^  1
2
bo’lib, x0, y0 bo’ladi. YA bo’ladi,

nuqta V vaziyatga keladi.


_v) t  ^
da esa, cos -1 va sin0 bo’lib, x-A va y0 ga teng bo’ladi, nuqta S

vaziyatda bo’ladi.

7. 
   t2 da esa, cos21 va sin20 bo’lib, xA va y0 ga teng bo’lib, nuqta yana qaytib M vaziyatini oladi. Bu holda tebranish davri T2 ga teng bo’ladi.
   

Ayrim masalalarda tebranishni amplituda vektori A ko’rinishda geometrik tasvirlash mumkin (20-rasm). Bu tebranishning vektor diagrammasi deyiladi. Vektor

diagrammada amplitudalari
A₁ ^va A ₂
bilan berilgan boshlang’ich fazalari ₀₁ va ₀₂

tebranish diagrammasi berilgan. Vektor diagrammada harakatlanuvchi moddiy nuqta
holati o’zgarib boris_→hi bila_→n holatga bog’liq holda siljish tenglamasida faza o’zgarib
boradi (21-rasm). ^{OA  A} tebranish amplitudasiga tengligidan
OAxA, OB'x₁Acos (5)
OC'x₂Acos(t)
o’rinlidir. 20-rasmda berilgan tebranishlarning tsiklik chastotalari ₁ va ₂ bo’lsa, ularni ifodalovchi tenglamalar
xAcos(t₀)
yAcos(t₀) (6)
ko’rinishda bo’ladi. Tebranishlarning umumiy fazalari orasidagi farq
(₁t₀₁)-(₂t₀₂) (7)

faza farqi yoki faza siljishi deyiladi. Bu faza siljishi
A₁ ва А₂
vektorlari orasidagi

burchakka teng bo’lib, ₁₂ shart bajarilsa, tebranish davomida  o’zgaradi, lekin
₁₂ bajarilsa, vektorlar orasida faqat boshlang’ich faza farqi mavjud bo’lib, u vaqt o’tishi bilan o’zgarmaydi, chunki tebranishlar bir xil va o’zgarmas burchak tezliklarda sodir bo’ladi.
₁₀₂-₀₁const (8)
Vaqtga bog’liq holda tebranish jarayonini tasvirlash uchun tebranish grafigi chiziladi. Gorizontal o’qqa vaqt t yoki unga proportsional kattalik t radianlarda qo’yiladi, vertikal o’qqa esa siljish kattaligi x qo’yiladi. Tebranish qonuniga bog’liq holda uning grafigi kosinusoida yoki sinusoida bo’ladi (22-rasm).

1. 
   grafik. x  Asint grafigi sinusoidadir.
   
2. 
   grafik esa x  Acost grafigi kosinusoidadir.
   

Matematik mayatnik deb, vaznsiz, cho’zilmas va ingichka ipga osilgan m massali shakli va o’lchamini hisobga olmasa ham bo’ladigan jismga aytiladi. Faraz qilaylik, biror m massali jism l uzunlikdagi ipga O nuqtadan osilgan bo’lib, u muvozanat va
bo’lsin.

21. 
    holda jismga 4.1-rasmda ko’rsatilgandek
    

kuchlar ta’sir qiladi. Bu yerda ^P – og’irlik kuchi,

 
^F_ va ^F_n
- mos ravishda og’irlik kuchining


tangensial va normal tashkil etuvchilari. T - ipning


taranglik kuchi. ^F_n

va T kuch vektorlari o’zaro

 
teng va bir to’g’ri chiziqda yotganligidan ( F_n )+(T
)=0. Shuning uchun jismni muvozanat vaziyati tomon qaytaruvchi kvazielastik ichki kuch


vazifasini F_
kuch o’taydi. Jism A muvozanat
4.1-rasm

vaziyati nuqtasidan

21. 
    nuqtaga siljitilganda h balandlikka ko’tarilib, W_n=mgh potensial energiyaga ega bo’ladi. Shuning muvozanat vaziyatidan og’dirilishiga h=l₀(1- balandlik, W₀=mgl₀(1- ) energiya mos keladi. Bu holda jismning kinetik
    

energiyasi