Respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi namangan

W  ¹ m ²
k ₂
 ¹ ml
₂ 0
²^˙2

ga teng bo’ladi. Bu yerda   l₀^˙  l₀
energiyasi
(ω - burchak tezlik). Demak, jismning to’liq

W  W_k
W_p
 ¹ ml
₂ 0
²^˙2  mgl
(1 cos)
(4-2)

0
tenglik bilan aniqlanadi. Energiyaning saqlanish qonuniga ko’ra, muhitning qarshiligi
z=0 (5-2
e’tiborga olsak,

cos  1 ¹  ²
2
ni hosil qilamiz. U holda (4.3) ga asosan (4.2) dan
(4-3)

W  ¹ ml ²^˙2  ¹ mgl  ²

(4.4)

yoki
d
₂ 0 ₂ 0
2W
(4.5)

^˙ 
dt

 (
mgl ²
_ 2 ₎1/ 2

tenglikka ega bo’lamiz.   _m
da W_kin  0
bo’lib, (4.4) dan





m
₂ 2W
mgl₀
demak, (4.5) ni quyidagicha yozish mumkin:

yoki
d _
dt

(4.5`)

d _
 dt
(4.6)

esa 0 dan t gacha integrallasak,
 ¹ 

_^ g ^{ 2
1} 
(4.7)

  ₀  sin ^{ } t  arcsin

^ ^l0 



hosil bo’ladi. (4.7) ni (4.1) bilan solishtirib,



_0 
_


  ,   arcsin ^1
0 1
0

ekanligini aniqlaymiz. Shunday qilib,
erkin tushish tezlanishi g uchun
_{T } 2
₀
munosabatga asosan, oxirgi tenglikdan


4 ²
g
T₂
 l₀
(4.8)

ifodani olamiz. Bu tenglik jismning T tebranish davrini va tebranish markazidan og’irlik markazigacha bo’lgan l₀ masofani bilgan holda P og’irlik kuchining bergan g tezlanishini aniqlash imkonini beradi.

FIZIK MAYATNIKLAR, TURLARI, ULARNING HARAKAT TENGLAMALARI.

Fizik mayatnik. Og’ma mayatnik. Ag’darma mayatnik.
Tayanch so’z va iboralar: Fizik mayatnik. Og’ma mayatnik. Ag’darma mayatnik.
Keltirilgan uzunlik.
Fizik mayatnikning tebranish davri qaytaruvchi prujinaning bikrligiga (qattiqligiga), mayatnikning m massasiga, uzunligiga bog’liqligini

T  2
 2
(9.1)

formuladan ko’rish mumkin. Bu yerda J – mayatnikning tebranish o’qiga nisbatan inersiya momenti, g – og’irlik kuchi tezlanishi. Demak, mayatnik qanchalik massiv bo’lsa va prujinaning bikrligi qancha kam bo’lsa, mayatnikning tebranish davri shuncha katta bo’ladi.
Tebranishlar nazariyasiga ko’ra, bir-biridan massiv jism bilan ajratilgan ikkita prujinaga ega bo’lgan tebranuvchi sistema (25-rasm) ham bitta erkinlik darajasiga ega bo’ladi (ya’ni uning vaziyatini aniqlash uchun bitta koordinata kifoya: muvozanat vaziyatdan siljishi yoki muvozanat vaziyatdan ma’lum burchakka og’ishi). Agar
prujinalarning bikrligi birday bo’lsa, bunday sistemaning tebranish dinamikasi uchun

d ² x
^m dt ²
 k' x  0
(9-2)

tenglik o’rinlidir, bu yerda

k ' k₁  k₂
 2k₁  2k₂
 2k
(9-3)


25-rasm

1. 
   Prujinalar gorizontal joylashsa, tebranma harakatda og’irlik kuchi hech qanday rol o’ynamaydi. Bu holda prujinalarning bikrligi va mayatnikning massasi asosiy faktor bo’lib qoladi.
   

Faraz qilaylik, biror m massali sharcha ingichka bir

2. 
   _{jinsli sterjenga osilgan bo’lsin (26-rasm,} a hol). Agar massani bir nuqtaga to’plangan deb qarasak, mayatnikning muvozanat
   

vaziyatidan juda kichik og’ishlarida uning tebranish chastotasi

₀ 
(9-4)

v)
26-rasm
ga teng bo’ladi. Endi mayatnikning har ikkala tomonida tebranish o’qidan h masofada bikrliklari k₁=k₂=k ga teng bo’lgan prujinalar o’rnatiladi va mayatnik shu prujinalar yordamida maxkamlanadi (26-rasm, b hol). Bunday mayatnikning tebranish chastotasini topish uchun energiyaning saqlanish qonunidan yoki impulsning saqlanish qonunidan foydalanish mumkin.
Agar atrof muhitda tebranish jarayonida energiya isrofgarchiligi sodir bo’lmasa, muvozanat vaziyatdan maksimal chetlanishga to’g’ri keluvchi W_max potensial energiya

mayatnikning muvozanat vaziyatidan o’tish paytiga to’g’ri keluvchi E_max maksimal kinetik energiyaga teng bo’ladi. U holda 26-rasmdan (a va b holdan)

21. 
    ^{ mgL(1 cos )  kh2 2} m ^{ mgLm kh2 2}
    

(9-5)

max ₂ m
Yuqorida bayon qilingan fikrga ko’ra, bu energiya

^{E  1 mL2 2 2}m
max ₂
(9-6)

kinetik energiyaga tengligidan, (9-5) va (9-6) tengliklardan m massali yuk tebranish nuqtasidan pastda joylashgan hol uchun

₁  
0
1 
(9-7)

bo’ladi. Yuk tebranish nuqtasidan yuqorida joylashgan hol uchun (26-rasm, v hol)

₂  


0
1 
(9-8)

tenglik hosil qilamiz. Tebranish davrining chastotaga bog’liqligidan

1

2
_{T } 2 ^va
_{T  2} (9-9)

ga ega bo’lamiz. Bu formulada h - prujinaning mahkamlangan uchidan tebranish markazigacha bo’lgan masofa, L - yukning inersiya markazidan tebranish nuqtasigacha bo’lgan masofa. Demak, h va L o’zgaruvchilarga turli xil qiymatlar berib, (9-9) asosida mayatnikning tebranish davrlarini har ikkala hol uchun ham nazariy hisoblash mumkin.

Tebranma xarakat. Garmonik tebranishlar.

Tebranma xarakatlar orasida eng soddasi garmonik tebranish ekani ko’rib o’tildi.(6- ma’ruza). Garmonik xarakatda siljish
XAsin(t) (1)

yoki


_XAei(t) ₍₂₎

ko’rinishda yozish mumkin. Tebranuvchi muxit zarrasining siljish tezligi
v ^dx Acos(t) (3)
dt
va tezlanishi
dv d ² x _{2 2}

a  
dt
ifodalardan aniqlanadi.
dt ²
-A sin(t)- x (4)

Tebranuvchi jism massasi m bo’lganda ta’sir etuvchi kuch kattaligi
Fma-(m²)x-kx (5)
ifodadan aniqlanadi. (5) ifodadan dinamik ta’rif kelib chiqadi: Garmonik tebranish deb, nuqtaning muvozanat vaziyati arofida siljishga proporsional bo’lgan va muvozanat vaziyati tomon yo’nalgan kuch tasirida tebranishni aytiladi. Bu kuchni qaytaruvchi kuch, K koeffisientni qaytaruvchi kuch koeffisienti deyiladi.
Prujinali va buralma mayatnikda bu kuch elastiklik kuchi, koeffisient esa elastiklik koeffisienti (bikrlik) deyiladi. Matematik, fizik, ag’darma va maksvell mayatniklarida esa, kuch kvazielastik kuch bo’lib, K qaytaruvchi kuch koeffisienti bo’ladi,
Muvozanat xoliga nisbatan siljish kattaligi elastik kuchlari kabi bog’lanish qonuniyatlariga ega bo’lgan, tabiatan elastik bo’lmagan kuchlar kvazielastik kuchlar deyiladi.
(5) ifodadan km² ekanidan, garmonik tebranishning chastotasi uchun quyidagini olamiz.

 
(6)

Tebranuvchi sistemani muvozanat vaziyatidan, chiqarib, so’ng tebranishga imkon berilsa, sistema  chastota bilan tebranadi va bu tebranish erkin(xususiy) tebranish bo’ladi.
So’nmas xususiy garmonik tebranishlarning differensial tenglamalari quyidagi ko’rinishlarda yozish mumkin.

d ² x
m
dt ²
 kx  0^




d ² x _ k ^

m
dt ²
x  0 _

(7)

d ² x _{ 2}
dt ²

x  0 _


Bu tenglamalarning Yechimi (1) va (2) ko’rinishlarda yoziladi. Turli sistemalar

uchun tebranish davri, chastotasi, differensial tenglamasi ifodalarini yozaylik. (123, 124-rasm)

	Mayatni k	Davr, T	CHastota , 	Differensial tenglama
1	Matemat ik mayatnik	2 ^lg	l g	d ^2 x  g x  0 dt ^2 l
2	Prujinali mayatnik	2 ^mk	k m	d ^2 x  k  x 0 dt ^2 m
3	Fizik mayatnik	2 ^Imgl	mgl I	^d^2^x  ^mgl dt 2  I ^x^^0  

Garmonik tebranma xarakat kinetik energiyasi
2

mv
E_k  , potensial energiyasi E_n
2

kx ²
va to’la energiyasi E
E E
ifodalar yordamida aniqlanadi.

T k n
2

So’nuvchi tebranishlar.

Erkin tebranishlar aslida so’nuvchi tebranishlardan iborat bo’ladi. CHunki unga bir marta berilgan energiya vaqt o’tishi bilan ishqalanishni Yengish uchun va atrof muxit zarralarini xarakatlantirish ishiga sariflanadi. Energiya to’la sarflangach, so’nuvchi tebranish to’xtaydi.
Tebranishga qarshilik kuchini

^{Fu-rv-r dx  rx}˙
dt
(1)

ifoda yordamida aniqlanadi. So’nuvchi tebranishning xarakat tenglamasi

d ² x


^m dt ²
Differensial tenglamasi
 F  F  kx  r ^dx ,
k и _dt
(2)

d²x _
r dx k

dt²
2  x  0,
2m dt m
(3)

differensial tenglama Yechimi esa
XA₀e^-tsin(t₀) (4)
ko’rinishga ega bo’ladi.
Bu yerda

  ^r 2m
-so’nish (yutilish) koeffisienti, (5)




₂ k
0 _m ^{-sistema (mayatnik) xususiy chastotasi (6)}

 


• 
  tebranish chastotasi (8)
  

AA e^-tA

• 
  r _t
  

tebranish amplitudasi

0
(125-rasm).
₀ 2m

Tebranishning T davr davomida o’zgarishi–so’nish dekrementi.

_{n } A(t)
A(T  t)
r _{T
 e} 2m
 e^T ,
(9)

So’nishning logarifmik dekrementi esa quyidagi ifoda yordamida topiladi.

  t  ln
A(t)

A(T  t)

(10)

Tebranish amplitudasi Ye  2,7 marta kamaygan vaqt – relaksasiya vaqti deyiladi.

Bu Yerda
_{ } 1 _ 2m
 r


(11)

r  ^2m   ^2m ln
A(t)
(12)

T T A(T  t)
ishqalish koeffisientini ko’rsatadi. Tebranuvchi sistemaning asilligi

Q  ^  ^
 T
_ 2 _ 1
T 2
_ ₀
2
(13)

ifoda yordamida aniqlanadi.
Tajribada so’nuvchi tebranish davri T, relaksasiya vaqti  o’lchanadi, sistema massasi m tarozida tor-
tiladi va boshqa kattaliklar (5)-(13) ifodalar yordamida hisoblanadi.