Сборник задач по высшей математике. М., Наука, 1964. Общий курс высшей математики для экономистов. Под ред. Ермакова В. И. М., Инфра -м, 2008

Mövzu 22. İkitərtibli diferensial tənliklərin intqerallanan
növləri. Sabit əmsallı ikitərtibli xətti bircins və bircins
olmayan diferensial tənliklər
Sadə ikitərtibli diferensial tənliklər

1. 
   Bəzi diferensial tənliklərin inteqrallanan növləri
   
2. 
   Tərtibin azaldılması halları
   
3. 
   İkitərtibli sabit əmsallı xətti bircins tənliklər
   
4. 
   İkitərtibli sabit əmsallı xətti bircins olmayan tənliklər
   

Sərbəst dəyişəninə, axtarılan funksiyaya onun birinci və ikinci tərtib törəməsinə nəzərən tənliyə ikitərtibli diferensial tənlik deyilir. Bu tənliyi ümumi şəkildə aşağıdakı kimi yazmaq olar

(1)
İkitərtibli diferensial tənliyi eyniliyə çevirən x məchulundan və iki sərbəst ixtiyari sabitlərindən asılı olan funk­siyasına bu tənliyin ümumi həlli deyilir.
(1) tənliyinin ümumi həllindən C₁ və C₂ ixtiyari sabitlərinin verilmiş qiymətlərində alınan həllinə (1) tənliyinin xüsusi həlli deyilir.
Əgər tənliyi yüksək törəməyə nəzərən həll ediləndirsə, onda bu tənliyi
(2)
şəklində göstərmək olar.
Sadə inteqrallanan ikitərtibli diferensial tənliklərə elə tənliklər aiddir ki, (2) bərabərliyinin sağ tərəfində duran funksiya yalnız üç arqumentin birindən asılı olsun.
I növ. Tutaq ki,
. (3)
Bu tənliyi inteqrallasaq alarıq

Yenidən inteqrallasaq nəticədə alarıq

burada – ixtiyari sabitlərdir və qeyri-müəyyən inteqrallar uy­ğun funksiyaların ibtidai funksiyalarıdır.
II növ. Tutaq ki,
(4)
Burada

götürsək ( p-yə y-dən asılı funksiya kimi baxsaq) alarıq

Nəticədə, (4) tənliyi aşağıdakı şəkilə düşər
.
Dəyişənləri ayırsaq:
.
Sonuncu tənliyi inteqrallasaq alarıq:

və ya

olduğundan əvvəlki tənliyi belə yazmaq olar:

Buradan bir daha dəyişənləri ayıraraq və inteqrallayaraq sonda alarıq:

III növ. Tutaq ki,
(5)
Burada götürək. Onda

olar və (5) tənliyi aşağıdakı şəkilə düşər
.
Dəyişənləri ayıraraq inteqrallasaq:
və .
Bu tənlikdən kəmiyyətini müəyyən edərək ikinci dəfə inteq­rallama yolu ilə y-ki də tapmaq olar.


Tərtibin azaldılması halları

İkitərtibli

(1)
diferensial tənliyinin birtərtibli diferensial tənliyinə gətirildiyi aşağıdakı iki hala baxaq.
I hal. Tutaq ki, (1) diferensial tənliyinin sağ tərəfində x dəyişəni aşkar şəkildə daxil deyildir, yəni tənlik
(2)
şəklindədir.
Burada
və
götürərək

birtərtibli diferensial tənliyi alarıq. Burada sərbəst dəyişən kimi y çıxış edir.
II hal. Tutaq ki, (1) diferensial tənliyinin sağ tərəfində y dəyişəni aşkar şəkildə daxil deyildir, yəni tənlik
(3)
şəklindədir. Burada
və
götürərək məchul p funksiyasının daxil olduğu birtərtibli diferensial tənlik alarıq

Qeyd edək ki, yuxarıda baxılan II və III növləri (§ 6) (2) və (3) tənliklərinin xüsusi hallarıdır.
Misal 1. (4)
tənliyini həll edin.
Həlli. Birinci hala görə və götürək. Onda (4) tənliyi

şəklinə düşər.
Buradan:
1) p=0 , yəni y=C;
2) , yəni və
Potensiallasaq alarıq

və nəticədə,

İnteqralladıqdan sonra alarıq

və deməli,

burada – ixtiyari sabitlərdir.
Misal 2. x=1 olduqda və başlanğıc şərtləri ödəyən
(5)
tənliyinin həllini tapın.
Həlli. (5) tənliyində və götürək. Onda

yaxud
(6)
Alınan tənlik bircins tənlik olduğundan əvəzləməsi qəbul edək, nəticədə

(6) tənliyində yerinə yazsaq alarıq
;
buradan
, və ya
İnteqrallasaq alarıq

və nəticədə,
, yəni və .
ixtiyari sabitini müəyyən etmək üçün verilmiş başlanğıc şərtləri (x₌1 olduqda ) nəzərə alaq: 1=1+ , yəni ₌ 0 və beləliklə,

Buradan alırıq və
. (7)
sabitini başlanğıc şərtlərdən tapırıq. (7) düsturunda x₌1 və götürsək alarıq , yəni . Nəticədə, axtarılan xüsusi həll olar.


İkitərtibli sabit əmsallı xətti bircins tənliklər

Tutaq ki, ikitərtibli xətti bircins