Teoria relativității

[modificare] Compunerea vitezelor

Yüklə 273,27 Kb.

səhifə	8/8
tarix	03.04.2018
ölçüsü	273,27 Kb.
	#46360

1 2 3 4 5 6 7 8

[modificare] Compunerea vitezelor

Dacă observatorul din $s\!$ vede un obiect care se mișcă de-a lungul axei $x\!$ cu viteza $w\!$ , atunci observatorul din sistemul $s\'\!$ , un sistem de referință ce se mișcă la viteza $v\!$ în direcția $x\!$ în raport cu $s\!$ , va vedea obiectul mișcându-se cu viteza $w\'\!$ unde

$w\'=\frac{w-v}{1-wv/c^2}.$

Această ecuație poate fi derivată din transformările spațială și temporală de mai sus. De observat că dacă obiectul s-ar mișca cu viteza luminii în sistemul $s\!$ (adică $w=c\!$ ), atunci el s-ar mișca cu viteza luminii și în sistemul $s\'\!$ . De asemenea, dacă $w\!$ și $v\!$ sunt mici în raport cu viteza luminii, se recuperează transformările galileiene ale vitezelor: $w\' \approx w-v\!.$

Masa, impulsul și energia

În plus față de modificarea noțiunilor de spațiu și timp, relativitatea restrânsă forțează reconsiderarea conceptelor de masă, impuls și energie, toate fiind concepte de bază în mecanica newtoniană. Relativitatea restrânsă arată că, de fapt, aceste concepte sunt toate diferite aspecte ale aceleiași cantități fizice cam în același fel în care arată că spațiul și timpul sunt interconectate.

Există câteva moduri echivalente de a defini impulsul și energia în relativitatea restrânsă. O metodă folosește legile de conservare. Dacă aceste legi rămân valide în teoria relativității restrânse, ele trebuie să fie adevărate în orice sistem de referință posibil. Însă, dacă se fac niște simple experimente imaginare folosind definițiile newtoniene ale impulsului și energiei, se vede că aceste cantități nu se conservă în relativitatea restrânsă. Ideea de conservare se poate salva făcând câteva mici modificări ale definițiilor acestora pentru a ține cont de vitezele relativiste. În teoria relativității, aceste definiții sunt considerate definiții corecte pentru impuls și energie.

Dat fiind un obiect cu masa invariantă m călătorind cu viteza v energia și impulsul lui sunt date (și definite) de

$e = \gamma m c^2 \,\!$

$\vec p = \gamma m \vec v \,\!$

unde γ (Factorul Lorentz) este dat de

$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}}$

unde β raportul dintre viteză și viteza luminii. Termenul γ apare frecvent în relativitate, și vine din ecuațiile transformărilor Lorentz.

Energia relativistă și impulsul relativist sunt legate prin relația

$e^2 - (p c)^2 = (m c^2)^2 \,\!$

numită și ecuația relativistă energie-impuls. Este interesant de observat că în timp ce energia $e\,$ și impulsul $p\,$ sunt dependente de observator (variază de la un sistem de referință la altul) cantitatea $e^2 - (p c)^2 = (m c^2)^2 \,\!$ este independentă de observator.

Pentru viteze mult mai mici decât a luminii, γ poate fi aproximat folosind o dezvoltare în serie Taylor din care rezultă

$e \approx m c^2 + \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} m v^2 \,\!$

$\vec p \approx m \vec v \,\!$

Eliminând primul termen din expresia energiei, aceste formule sunt exact definițiile standard ale energiei cinetice și impulsului. Așa și trebuie să fie, deoarece mecanica newtoniană este o aproximație a relativității restrânse pentru viteze mici.

Privind formula de mai sus, a energiei, se vede că atunci când un obiect este în repaus (v = 0 și γ = 1) rămâne o energie diferită de zero:

$e_{rest} = m c^2 \,\!$

Această energie este denumită energia stării de repaus. Energia stării de repaus nu cauzează niciun conflict cu teoria newtoniană deoarece este constantă și, din punctul de vedere al energiei cinetice, doar diferențele de energie au semnificație.

Interpretând această formulă, se poate concluziona că în teoria relativității masa este doar o altă formă a energiei. În 1927 Einstein a făcut următoarea remarcă privind relativitatea restrânsă:

În această teorie, masa nu este o mărime nealterabilă, ci o mărime dependentă de (și, într-adevăr, identică cu) cantitatea de energie.

Această formulă devine importantă când se măsoară masele diferiților nuclei atomici. Privind diferențele de masă, se poate prezice care nuclei au energie suplimentară stocată și care poate fi eliberată prin reacții nucleare, oferind informații importante utile în dezvoltarea energiei nucleare și, în consecință, a bombei nucleare.

Masa relativistă

Cursurile de fizică introductivă, precum și unele manuale mai vechi despre teoria relativității restrânse definesc o masă relativistă care crește cu creșterea vitezei unui corp. Conform interpretării geometrice a relativității restrânse, această definiție nu se mai folosește, iar termenul "masă" este limitat la noțiunea de masă de repaus fiind astfel independentă de sistemul de referință.

Folosind definiția relativistă a masei, masa unui obiect poate varia în funcție de sistemul de referință inerțial al observatorului, în același fel în care alte proprietăți ale sale, cum ar fi lungimea, fac același lucru. Definirea unei astfel de cantități poate fi uneori utilă prin faptul că această definire simplifică un calcul restricționându-l la un anumit sistem de referință. De exemplu, considerând un corp cu masa de repaus m care se mișcă la o anumită viteză relativ la un sistem de referință al observatorului. Acel observator definește masa relativistă a corpului ca fiind:

$m = \gamma m\!$

"Masa relativistă" nu trebuie să fie confundată cu "masa longitudinală" și cea "transversală", definite și utilizate în preajma anului 1900 și bazate pe o aplicare inconsistentă a legilor lui Newton: acestea foloseau f=ma pentru o masă variabilă, pe când masa relativistă corespunde masei dinamice a lui Newton în care p=Mv și f=dp/dt.

Se observă și faptul că corpul nu devine mai masiv în sistemul său propriu de referință, deoarece masa relativistă este diferită doar pentru un observator dintr-un alt sistem. Singura masă independentă de sistemul de referință este masa de repaus. Când se folosește masa relativistă, trebuie să se specifice și sistemul de referință aplicabil dacă nu este evident, sau dedus implicit din formularea problemei. Este evident și că creșterea de masă relativistă nu rezultă din creșterea numărului de atomi al obiectului. În schimb, masa relativistă a fiecărui atom și particulă subatomică crește ea însăși.

Manualele de fizică folosesc uneori masa relativistă, deoarece ea permite studenților să utilizeze cunoștințele lor de fizică newtoniană pentru a face mai intuitive anumite concepte, restrângându-le la anumite sisteme de referință alese. "Masa relativistă" este consistentă și cu conceptele de "dilatare temporală" și "contracție a lungimii".

Forța

Definiția clasică a forței f este dată de Legea a doua a lui Newton în forma ei originală:

$\vec f = \frac{d\vec p}{dt}$

și aceasta este valabilă în teoria relativității.

Multe manuale moderne rescriu Legea a doua a lui Newton sub forma

$\vec f = m \vec a$

Această formă nu este valabilă în teoria relativității sau în alte situații în care masa relativistă M este variabilă.

Această formulă poate fi înlocuită în cazul relativist cu

$\vec f = \gamma m \vec a + \gamma^3 m \frac{\vec v \cdot \vec a}{c^2} \vec v$

După cum se vede din ecuație, vectorii clasici forță și accelerație nu mai sunt neapărat paraleli în teoria relativității.

Totuși expresia tetradimensională care leagă tetraforța $f^\mu\,$ cu masa de repaus m și tetraaccelerația $a^\mu\,$ restaurează aceeași formă a ecuației

$f^\mu = ma^\mu\,$

Geometria spațiu-timpului

Pentru detalii, vezi: Spațiu Minkowski.

În teoria relativității se folosește un spațiu Minkowski tetradimensional plat, care este un exemplu de spațiu-timp. Acest spațiu, însă, este foarte similar cu spațiul tridimensional euclidian standard, și astfel este ușor de lucrat cu el.

Diferențiala distanței (ds) în spațiul cartezian 3D este definită ca:

unde (dx₁,dx₂,dx₃) sunt diferențialele celor trei dimensiuni spațiale. În geometria relativității restrânse, se adaugă o a patra dimensiune, derivată din timp, și astfel ecuația diferențialei distanței devine:

Dacă se dorește să se facă și coordonata timpului să arate ca și cele spațiale, se poate trata timpul ca fiind imaginar: x₄ = ict. În acest caz, ecuația de mai sus devine simetrică:

Aceasta sugerează ceea ce de fapt este o concluzie teoretică profundă, care arată că teoria relativitățiieste doar o simetrie de rotație a spațiu-timpului nostru, foarte simialră cu simetria de rotație a spațiului euclidian. Așa cum spațiul euclidian folosește o metrică euclidiană, și spațiul timpul folosește o metrică Minkowski. În esență, relativitatea restrânsă poate fi enunțată în termenii invarianței intervalului spațiu-timp (dintre oricare două evenimente) ca văzut din orice sistem de referință inerțial. Toate ecuațiile și efectele relativității restrânse pot fi deduse din această simetrie de rotație (grup Poincaré) a spațiu-timpului Minkowski. Misner (1971 §2.3), În cele din urmă, profunda înțelegere a relativității restrânse și a celei generale vor veni din studiul metricii Minkowski (descrisă mai jos) și nu din cel al unei metrici euclidiene "deghizate" folosind ict drept coordonată temporală.

Dacă reducem la 2 numărul dimensiunilor spațiale, pentru a putea reprezenta fizica într-un spațiu 3D

vedem că liniile geodezice nule se află de-a lungul unui con definit de ecuația

Adică ecuația unui cerc de rază r=c×dt. Dacă extindem aceasta la dimensiuni spațiale 3D, geodezicele nule se află pe un con tetradimensional:

Acest con dual reprezintă "raza vizuală" a unui punct din spațiu. Adică atunci când privim stelele și spunem "Lumina pe care o recepționez de la stea este veche de X ani", privim până la limita acestei raze vizuale: o geodezică nulă. Privim un eveniment la o distanță de $d = \sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}$ metri ce a avut loc cu d/c secunde în urmă. Din acest motiv, conul dual nul este numit și 'con de lumină'.

Conul din regiunea -t este informația pe care acel punct o primește, iar conul din secțiunea +t este informația pe care acel punct o trimite.

Geometria spațiului Minkowski poate fi descrisă printr-o diagramă Minkowski, utilă în înțelegerea multor experimente imaginare din teoria relativității restrânse.

Fizica spațiu-timpului

Poziția unui eveniment în spațiu-timp este dată de un cuadrivector contravariant ale cărui componente sunt:

$x^\nu=\left(t, x, y, z\right)$

Adică, x⁰ = t, x¹ = x, x² = y și x³ = z. La exponent sunt indicii contravarianți și nu puteri. La indice sunt indicii covarianți, de la zero la trei. Gradientul în spațiu-timp al unui câmp φ este:

$\partial_0 \phi = \frac{\partial \phi}{\partial t}, \quad \partial_1 \phi = \frac{\partial \phi}{\partial x}, \quad \partial_2 \phi = \frac{\partial \phi}{\partial y}, \quad \partial_3 \phi = \frac{\partial \phi}{\partial z}.$

Metrica și transformările de coordonate

După ce a fost identificată natura tetradimensională a spațiu-timpului, se folosește metrica Minkowski, η, dată pe componente (valide în orice sistem de referință inerțial) ca:

$\eta_{\alpha\beta} = \begin{pmatrix} -c^2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Inversa ei este:

$\eta^{\alpha\beta} = \begin{pmatrix} -1/c^2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Transformările de coordonate între sisteme de referință inerțiale sunt date de tensorul transformărilor Lorentz Λ. Pentru cazul special al mișcării de-a lungul axei x, avem:

$\lambda^{\mu\'}{}_\nu = \begin{pmatrix} \gamma & -\beta\gamma/c & 0 & 0\\ -\beta\gamma c & \gamma & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

adică matricea de rotație de la coordonatele x la t. μ' indică rândul și ν indică coloana. De asemenea, β și γ sunt definite ca:

$\beta = \frac{v}{c},\ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}.$

Mai general, o transformare de la un sistem inerțial (ignorând translațiile, pentru simplitate) la un altul trebuie să satisfacă condiția:

$\eta_{\alpha\beta} = \eta_{\mu\'\nu\'} \lambda^{\mu\'}{}_\alpha \lambda^{\nu\'}{}_\beta \!$

unde este implicită suma lui $\mu\' \!$ și $\nu\' \!$ de la 0 la 3 în partea dreaptă a ecuației, conform notației Einstein pentru sume. Grupul Poincaré este cel mai general grup de transformări care păstrează metrica Minkowski și reprezintă simetria fizică ce stă la baza relativității restrânse.

Toate cantitățile fizice sunt date ca tensori. Pentru a trece dintr-un sistem în altul, se folosește legea transformărilor tensoriale

$t^{\left[i_1\',i_2\',...i_p\'\right]}_{\left[j_1\',j_2\',...j_q\'\right]} = \lambda^{i_1\'}{}_{i_1}\lambda^{i_2\'}{}_{i_2}...\lambda^{i_p\'}{}_{i_p} \lambda_{j_1\'}{}^{j_1}\lambda_{j_2\'}{}^{j_2}...\lambda_{j_q\'}{}^{j_q} t^{\left[i_1,i_2,...i_p\right]}_{\left[j_1,j_2,...j_q\right]}$

unde $\lambda_{j_k\'}{}^{j_k} \!$ este matricea inversă a lui $\lambda^{j_k\'}{}_{j_k} \!$ .

Pentru a vedea utilitatea acesteia, transformăm poziția unui eveniment de la un sistem de coordonate S la un sistem S', calculând

$\begin{pmatrix} t\'\\ x\'\\ y\'\\ z\' \end{pmatrix} = x^{\mu\'}=\lambda^{\mu\'}{}_\nu x^\nu= \begin{pmatrix} \gamma & -\beta\gamma/c & 0 & 0\\ -\beta\gamma c & \gamma & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} t\\ x\\ y\\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma t- \gamma\beta x/c\\ \gamma x - \beta \gamma ct \\ y\\ z \end{pmatrix}$

care este chiar transformarea Lorentz dată mai sus. Toți tensorii se transformă după aceeași regulă.

Tetravectorul pătratelor diferențialelor distanțelor $dx^\mu \!$ construit folosind

$\mathbf{dx}^2 = \eta_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu = -(c \cdot dt)^2+(dx)^2+(dy)^2+(dz)^2\,$

este invariant. Faptul că este invariant înseamnă că are aceeași valoare în toate sistemele inerțiale, deoarece este un scalar (tensor de rang 0), și astfel Λ nu apare în transformarea sa trivială. De observat că atunci când elementul $\mathbf{dx}^2$ este negativ, $d\tau=\sqrt{-\mathbf{dx}^2} / c$ este diferențiala timpului propriu, iar când $\mathbf{dx}^2$ este pozitiv, $\sqrt{\mathbf{dx}^2}$ este diferențiala distanței proprii.

Utilitatea principală a exprimării ecuațiilor fizicii în formă tensorială este că atunci sunt invariante în raport cu grupul Poincaré, astfel că nu avem de-a face cu un calcul special și dificil pentru a verifica aceasta. De asemenea, la construirea acestor ecuații adesea găsim că alte ecuații despre care anterior credeam că nu au nicio legătură cu ele sunt, de fapt, strâns legate, ca făcând parte din aceeași ecuație tensorială.

Statutul teoriei

Relativitatea restrânsă este exactă doar când potențialul gravitațional este mult mai mic ca c²; într-un câmp gravitațional puternic trebuie să se folosească teoria relativității generalizate (care este, la limită, echivalentă cu cea restrânsă pentru câmpuri gravitaționale slabe). La scară foarte mică (la lungimi de ordinul distanței Planck și mai mici) trebuie să fie luate în calcul și efectele cuantice, de unde rezultă gravitația cuantică. Totuși, la nivel macroscopic și în absența câmpurilor gravitaționale puternice, relativitatea restrânsă a fost testată experimental, obținându-se un grad extrem de înalt de precizie (10^-20) și astfel este acceptată de comunitatea fizicienilor. Rezultatele experimentale care par să o contrazică nu sunt reproductibile și sunt considerate a se datora erorilor experimentale.

Datorită libertății pe care o acordă teoria de a alege cum să se definească unitățile de distanță și timp în fizică, este posibil să se facă unul din postulatele relativității consecință tautologică a definițiilor, dar acest lucru nu poate fi făcut pentru ambele postulate simultan, deoarece, împreună, ele au consecințe independente de alegerea definițiilor pentru distanță și timp.

Relativitatea restrânsă este consistentă cu ea însăși din punct de vedere matematic, și este parte organică din toate teoriile fizice moderne, în primul rând din teoria cuantică de câmp, teoria corzilor, și teoria relativității generalizate (pentru cazul câmpurilor gravitaționale neglijabile).

Mecanica newtoniană derivă matematic din teoria relativității restrânse pentru viteze mici față de cea a luminii - astfel mecanica newtoniană poate fi considerată o relativitate restrânsă a corpurilor lente.

Experimente fondatoare

Câteva experimente-cheie au condus la elaborarea teoriei relativității restrânse:

Experimentul Trouton–Noble a arătat că momentul unui condensator este independent de poziția sa și de sistemul de referință inerțial
Celebrul experiment Michelson-Morley a dat mai mult suport postulatului privind imposibilitatea detectării unei viteze absolute^[^{necesită citare}^].

Experimente testare teorii alternative

O serie de experimente au fost efectuate cu scopul de a testa teoria relativității restrânse în raport cu alte teorii rivale. Printre acestea se numără:

Experimentul lui Kaufmann — devierea electronilor conform predicției Lorentz-Einstein
Experimentul Hamar — absența obstrucției fluxului de eter
Experimentul Kennedy–Thorndike — dilatarea temporală conform cu transformările Lorentz
Experimentul Rossi-Hall — efecte relativiste asupra timpului de înjumătățire a unei particule de mare viteză
Experimentele de test ale teoriei emisiei au demonstrat că viteza luminii este independentă de viteza sursei acesteia.

Abateri la nivel microscopic

La nivel microscopic o abatere o constituie viteza de spin a electronilor. În plus, acceleratoarele de particule funcționează aproape în fiecare zi în toate colțurile lumii, accelerând în mod repetat și măsurând proprietățile particulelor ce se deplasează la viteze apropiate de cea a luminii. Multe efecte observate în acceleratoarele de particule sunt consistente cu teoria relativității și profund inconsistente cu mecanica newtoniană anterioară.

Yüklə 273,27 Kb.

Dostları ilə paylaş:

1 2 3 4 5 6 7 8