36. Matrislər hasilinin determinantı haqqında teorem. Tərif 1

36.Matrislər hasilinin determinantı haqqında teorem.
Tərif 1. Elementləri P meydanından olan
A =
şəklində cədvələ mxn ölçülü matris deyilir.

hesabi n ölçülü vektorlarına A matrisinin 1-ci, 2-ci, ..., m-ci sətri ;
, ,
m ölçülü hesabi vektorlarına isə onun 1-ci, 2-ci, ..., n-ci sütunu deyilir. Deməli, A matrisinin m sayda və n sayda sütunu vardır.
Tərif: A matrisinin hər sətrindən və hər sütunundan bir və yalnız bir element götürməklə
(1)
kimi vuruqların hasilini düzəldək və ona hədd deyək. əvəzləməsi cüt olduqda (1) həddinin işarəsini müsbət, tək olduqda mənfi qəbul edək. A matrisinin elementlərindən düzəldilmiş (1) şəklində bütün mümkün hədlərin cəbri (işarələri nəzərə alınmaqla) cəminə A matrisinin determinantı deyilir.
Lemma 1: -n tərtibli elementar matris, B isə n tərtibli ixtiyari matrisdirsə,

Elementar matrislər üçbucaq matrislər olduğuna görə

Odur ki,
Buradan alınar.
Nəticə: -n tərtibli elementar matrislər, B isə n tərtibli ixtiyari matrisdirsə, onda

İsbatı: n-ə nəzərən induksiya ilə aparılır.
Teorem: n tərtibli iki matris hasilinin determinantı onların determiantları hasilinə bərabərdir.
İsbat: İki hala baxaq.
1) A matrisinin sətirləri xətti asılı deyil. Onda

Elementar matrislərin hasili kimi göstərilə bilər. Odur ki, yuxarıdakı nəticəyə əsasən
.
2) A-nın sətirləri xətti asılıdır. Determinantın xassəsinə əsasən . Asanlıqla yoxlamaq olar ki, AB matrisinin də sətirləri xətti asılıdır, odur ki, .
Deməli .