# Economistii au incercat mereu sa descopere trendurilor viitoare ale unor anumitor evenimente economice

Yüklə 58,09 Kb.
 tarix 30.10.2017 ölçüsü 58,09 Kb. #22403

In studiul pietelor de capital, este foarte important sa se determine evolutia viitoare randamentelor, pornind de la un set de informatii din trecut, multime care include deseori comportamentul preturilor, raportul PER, capitalizarea bursiera etc.

Metoda celor mai mici patrate si in particular regresia lineara reprezinta o mare realizare in domeniul econometriei.

The method of least squares or ordinary least squares (OLS) is used to approximately solve overdetermined systems. Least squares is often applied in statistical contexts, particularly regression analysis.

Least squares can be interpreted as a method of fitting data. The best fit in the least-squares sense is that instance of the model for which the sum of squared residuals has its least value, a residual being the difference between an observed value and the value given by the model. The method was first described by Carl Friedrich Gauss around 1794.[1] Least squares corresponds to the maximum likelihood criterion if the experimental errors have a normal distribution and can also be derived as a method of moments estimator. Regression analysis is available in most statistical software packages.

Maximum likelihood estimation (MLE) is a popular statistical method used for fitting a mathematical model to data. The modeling of real world data using estimation by maximum likelihood offers a way of tuning the free parameters of the model to provide a good fit.

The method was pioneered by geneticist and statistician Sir R. A. Fisher between 1912 and 1922.

The method of maximum likelihood corresponds to many well-known estimation methods in statistics. For example, suppose you are interested in the heights of Americans. You have a sample of some number of Americans, but not the entire population, and record their heights. Further, you are willing to assume that heights are normally distributed with some unknown mean and variance. The sample mean is then the maximum likelihood estimator of the population mean, and the sample variance is a close approximation to the maximum likelihood estimator of the population variance (see examples below).

For a fixed set of data and underlying probability model, maximum likelihood picks the values of the model parameters that make the data "more likely" than any other values of the parameters would make them. Maximum likelihood estimation gives a unique and easy way to determine solution in the case of the normal distribution and many other problems, although in very complex problems this may not be the case. If a uniform prior distribution is assumed over the parameters, the maximum likelihood estimate coincides with the most probable values thereof.

Modelarea riscului activelor are o semnificatie deosebita in cadrul teoriilor pietelor financiare. In particular, specialistii au acordat o larga atentie randamentelor reziduale, avand in vedere ca aceastea au o infleunta deosebita asupra randamentelor studiate.

#### Randamentele reziduale

Randamentele reziduale reprezinta acea parte a randamentelor care nu au fost capturate de catre variabila independenta a unui anumit model. De exemplu:

unde:

- randamentul titlului individual in perioada de timp t;

- riscul relativ de piata al unui titlu individual;

- randamentul portofoliului de piata;

Randamentele reziduale sunt reprezentate tocmai de termenul al ecuatiei, indicand care este partea de randament a unui titlu individual ce nu a fost influentata de randamentul portofoliului de piata. Deseori, aceste randamente reziduale au o pondere foarte importanta in cadrul randamentului individual.

### Caracteristicile Seriilor Financiare

Adeseori in practica, seriile financiare se dovedesc a nu urma o distributie normala, asa cum este specificat in majoritatea modelelor teoretice. Pentru verificarea acestei ipoteze se realizează testele de normalitate pentru seria randamentelor activului suport, respectiv acţiunile ERSTE:

• Skewness

• Kurtosis

• Jarque-Bera

• QQ Plot

Skewness este momentul statistic centrat de ordinul trei. Măsoară asimetria distribuţiei seriei în jurul mediei, calculându-se după formula:

unde:

N – nr de observatii

y – valoarea seriei

- media

- varianţa

Pentru distribuţia normală Skewness-ul este zero. Un Skewness pozitiv arată că distribuţia seriei prezintă asimetrie spre dreapta, respectiv are coada din dreapta mai lung. Pentru un Skewness negativ situaţia este inversă.

Kurtosis măsoară gradul de aplatizare a distribuţiei seriei. Kurtosisul se calculează după formula:

Pentru distribuţia normală Kurtosisul (cel care arata cat de „ingrosate sunt extremitatile” sau cat de mult se abat valorile maxime si minime de la media lor) este 3.Pentru K mai mic decât 3 distribuţia este mai aplatizată decât cea normală (platykurtic), iar pentru un K mai mare decât 3 distribuţia este mai înaltă (leptokurtic).

Seriile sunt mai degraba leptocurtice, adica exista o abatere larga a valorilor extreme de la media lor. in seriile finaciare indicatorul ia valori mult mai mari (vom vedea acest lucru in exemplul practic propus).
Testul Jarque-Bera măsoară diferenţa dintre Skewness şi Kurtosis-ul seriei faţă de cele corespunzătoare distribuţiei normale. Statistica testului se calculează astfel:

unde: S - Skewness

K- Kurtosis

k – numărul de coeficienţi estimaţi care sunt folosiţi pentru a crea seriile

Sub ipoteza nulă a unei distribuţii normale statistica Jarque-Bera este distribuită 2 cu 2 grade de libertate. Probabilitatea ataşată testului reprezintă probabilitatea ca statistica Jarque-Bera să fie mai mare decât valoarea observată sun ipoteza nulă. Aşadar, o probabilitate mică duce la respingerea ipotezei nule (de normalitate).

Histograma randamentelor

Pentru actiunea ERSTE Skewnessul este 1,374431 ceea ce arată o asimetrie spre dreapta a distribuţiei randamentelor semn ca in anumite zile s-au inregistrat cotatii foarte mari. Kurtosisul este 13,28515 ceea ce arată că distribuţia este mai înaltă decât cea normală. Valoarea testului Jarque-Bera de 599,7604, iar probabilitatea ataşată testului este de 0%. Valorile testelor sunt destul de departate de cele corespunzătoare distribuţiei normale, motiv datorită căruia putem afirma că seria nu este normal distribuită.

Situaţie specifică pieţelor financiare, în general, Skewnessul este negativ indicând o asimetrie spre stânga,

(QQ)-plot (Quantile-Quantile) este o metodă simplă folosită pentru a compara două distribuţii; concret, reprezintă graficul unei distribuţii empirice faţă de o distribuţie teoretică (în cazul nostru, distribuţia normală). Dacă distribuţia empirică ar fi normală, ar trebui ca graficul QQ rezultat să fie prima bisectoare, in cazul nostru distribuţia este mult diferită de cea normală.

Fig. 2. QQ-plot

Gestiunea riscului portofoliilor de investitii a condus la necesitatea incercarii de modelare a sa. In particular, s-a investigat modul in care poate fi modelata dispersia conditionala. Numim prin dispersie conditionala dispersia unei serii de date care nu are o evolutie uniforma pe tot intervalul, variază ca amplitudine în timp. Acest fenomen poarta numele in econometrie de heteroschedasticitate (The term means "differing variance" and comes from the Greek "hetero" ('different') and "skedasis" ('dispersion')) si reprezinta o incalcare a supozitiilor care stau la baza metodei celor mai mici patrate, respectiv cea de homoschedasticitate.

Seriile financiare mai prezinta 2 probleme deosebit de importante:

1. corelatie seriala regasita in reziduuri;

2. heteroschedasticitate, adica evolutia neuniforma a dispersiei respectivei serii de-a lungul perioadei de timp analizate.

### Modelele GARCH : Motivatie

The standard warning is that in the presence of heteroskedasticity, the regression coefficients for an ordinary least squares regression are still unbiased, but the standard errors and confidence intervals estimated by conventional procedures will be too narrow, giving a false sense of precision. However, the warnings about heteroskedasticity have usually been applied only to cross sectional models, not to time series models.

A recent developments in estimation of standard errors, known as “robust standard errors,” has also reduced the concern over heteroskedasticity. If the sample size is large, then robust standard errors give quite a good estimate of standard errors even with heteroskedasticity. Even if the sample is small, the need for a heteroskedasticity correction that doesn’t affect the coefficients, but only narrows the standard errors somewhat, can be debated.

However, sometimes the key issue is the variance of the error terms itself. This question often arises in financial applications where the dependent variable is the return on an asset or portfolio and the variance of the return represents the risk level of those returns. These are time series applications, but it is nonetheless likely that heteroskedasticity is an issue. Even a cursory look at financial data suggests that some time periods are riskier than others; that is, the expected value of error terms at some times is greater than at others. Moreover, these risky times are not scattered randomly across quarterly or annual data. Instead, there is a degree of autocorrelation in the riskiness of financial returns. ARCH and GARCH models, which stand for autoregressive conditional heteroskedasticity and generalized autoregressive conditional heterosjedasticity, have become widespread tools for dealing with time series heteroskedastic models such as ARCH and GARCH. The goal of such models is to provide a volatility measure – like a standard deviation -- that can be used in financial decisions concerning risk analysis, portfolio selection and derivative pricing.
Modelele GARCH sunt proiectate tocmai pentru a modela serii economice ce prezinta caracteristicile prezentate mai sus. Denumirea GARCH reprezinta:

• G – generalizat;

• AR – autoregresiv;

• C – conditional;

• H – heteroschedasticitate.

Primul model a fost realizat de catre Robert Engle in 1982. In fapt, acesta a fost un model ARCH. Modelul cuprinde o ecuatie pentru medie si una pentru dispersie, respectiv:

unde:

yt – variabila dependenta in perioada curenta;

xt – variabila independenta perioada curenta;

 - coeficient care arata influenta variabilei independente asupra variabilei dependente;

t – termenii reziduali in perioada curenta;

- dispersia variabilei dependente in perioada curenta;

 - constanta ecuatiei dispersiei;

 - coeficientul “ARCH”;

t-1 – termenii reziduali din perioada precedenta;

- dispersia variabilei dependente in perioada precedenta;

 - coeficientul “GARCH”.

Modelul descris mai sus este in fapt modelul GARCH (1,1) in care primul numar arata ca asupra dispersiei actioneaza termeni reziduali din perioada precedenta, iar cel de-al doilea numar arata ca dispersia din perioada precedenta are influenta asupra dispersiei curente. In fapt, pentru serii foarte mari, modelul GARCH (1,1) poate fi generalizat la modelul GARCH (p,q).

Spre deosebire de metoda celor mai mici patrate, modelul GARCH include in ecuatia sa atat termenii eroare (adesea denumiti „socuri”) cat si fenomenul de heteroschedasticitate. De asemenea este util in cazul in care seriile nu sunt distribuite normal, ci mai degraba au extremitati ingrosate. Nu mai putin important este faptul ca intervalele de confidenta pot varia in timp si deci intervale mai precise pot fi obtinute prin modelarea dispersiei randamentelor reziduale.

O interesanta abordare a modelelor GARCH este cea a posibilei existente a unui efect de levier. In fapt, modelul GARCH (1,1) este un model simetric si presupune ca termenii reziduali au acelasi semn. In realitate insa adeseori seriile financiare prezinta asimetrie. Un model foarte util in acest caz este modelul EGARCH sau altfel spus modelul GARCH exponential introdus de catre Nelson (1991):

(1)

Efectul de levier poate fi testat prin testarea inegalitatii <0 si . Notam ca acest model este asemanator modelului GARCH (1,1). Totusi, se remarca prezenta termenului log care transforma modelul intr-unul non-linear. De asemenea termenii reziduali sunt raportati la dispersie, devenind practic reziduuri standardizate.

Cel mai adesea, pe pieţele financiare volatilitatea este modelată prin procese de tip ARCH, GARCH, de exemplu GARCH(1,1):

unde: - varianţa condiţională la momentul i

- pătratul abaterii randamentelor de la momentul t-1 faţă de medie

Acesta este adesea interpretat în context financiar, atunci când agentul sau traderul previzionează varianţa pentru o anumită perioadă prin calcularea unei medii ponderate a unei medii pe termen lung (constanta), varianţa previzionată pentru ultima perioadă (termenul GARCH), şi informaţia observată în perioada anterioară (termenul ARCH). Dacă rentabilitatea activului a fost neaşteptat de mare atunci va creşte varianţa aşteptată pentru perioada următoare. Modelul este consistent cu fenomenul de „volatility clustering” adesea observat pe pieţele financiare, unde schimbările mari în randamente sunt urmate de regulă de schimbări viitoare mari.

Volatilitatea este diferită de la o perioadă la alta, existând perioade cu o volatilitate foarte mare urmate de perioade cu volatilitate foarte mică. Apare fenomenul de „volatility clustering”, considerat consecinţă a distribuţiei leptocurtotice, care constă în tendinţa perioadelor de volatilitate foarte mare sau foarte mică să se grupeze laolaltă. Explicaţia economică a acestui fenomen este că apariţia unor şocuri anormal de mari în perioada curentă va ridica imediat nivelul volatilităţii, ţinându-l astfel şi în perioadele următoare, în funcţie de expectaţiile pieţei asupra intensităţii şocurilor respective

Fig. 3. Graficul volatilitatii

Dispersia seriei pare a nu fi constanta de-a lungul perioadei si de aceea avem un prim indiciu al heteroschedasticitatii. In particular, seria pare a fi mai volatila spre inceputul si sfarsitul perioadei. La mijlocul intervalului de timp analizat, respectiv sfarsitul anului 2008, randamentele par a fi uniformizate. O informatie suplimentara asupra randamentelui este data de graficul distributiei cumulative. Observam ca marea parte a randamentelor sunt plasate intre –0.02 si 0.02. Totusi exista extremitati pronuntate atat la stanga cat si la dreapta, inca un indiciu al faptului ca seria nu este normal distribuita si o indicatie a posibilei semnaturi „ARCH”.

Figura 3: Distributia Cumulativa a Randamentelor Zilnice
Analiza grafica este foarte utila in descrierea seriilor si fenomenelor economice. Totusi, pentru certitudinea analizei, testele statistice sunt mult mai indicate. Vom testa prezenta efectelor ARCH cu ajutorul corelogramei radicalului randamentelor zilnice. Sa notam ca numarul de lag-uri utilizate este 10. In coloana notata AC remarcam coeficientii de corelatie seriala, in timp ce in ultima coloana avem probabilitatea de acceptare a ipotezei „nu exista efecte ARCH” (aceasta fiind de fapt ipoteza nula). Coeficientii de autocorelatie nu inregistreaza valori prea mari, cu exceptia primului lag. Ei isi modifica semnul trecand de la o corelatie seriala negativa la una pozitiva. Valoarea probabilitii ipotezei nule este 0, indicand ca putem respinge ipoteza nula si furnizand informatia ca exista efecte ARCH.

### Identificarea Ecuatiei Volatilitatii

O prima incercare este sa cautam un model standard GARCH(1,1).
##### Tabelul 2: GARCH (1,1)

După cum reiese din Tabelul 2., reacţia a volatilităţii prezente vis-a-vis de şocurile pe randament este 0,55, iar persistenţa volatilităţii din perioadele anterioare este -0,03.

Pentru a verifica volatilitatea modelului, într-o primă fază ne uităm la statistica Durbin-Watson, care măsoară corelaţia serială de ordinul întâi a reziduurilor. În general, această statistică poate fi aproximată prin 2*(1-), unde este coeficientul de corelaţie a reziduurilor. Pentru un model bine specificat, este zero, deci statistica Durbin-Watson tinde la 2. În cazul nostru, Durbin-Watson este 2,71. Totuşi, pentru a ne asigura că există corelaţie mai mare de ordinul întâi, vom aplica corelograma reziduurilor standardizate.
Tabelul 3. Corelograma reziduurilor standardizate

Din tabelul 3. se observă că toţi coeficienţii de corelaţie parţială şi totală depăşesc limitele admise pentru lagurile de la 1 la 10, ceea ce indică faptul că mai există corelaţie între reziduri.

Se poate observa ca volatilitatea nu este constanta.

Mentionam ca in anumite studii (vezi French, 1980), in care se analizeaza efectul de weekend, se dovedeste faptul ca, in general, randamentele tind sa creasca catre sfarsitul saptamanii, urmand ca in prima zi de tranzactionare a saptamanii (respectiv luni) sa inceapa cu o usoara corectie negativa a cotatiilor si in consecinta cu o oarecare diminuare a randamentelor.
Pornind de la ecuatia GARCH (1,1), au fost realizate incercari succesive de gasire a ecuatiei dorite. In final, modelul standard sau clasic GARCH (1,1) a fost abandonat si modelul asimetric EGARCH (1,1) a fost adoptat. Acest model prezinta un avantaj particular prin faptul ca nu este unul linear. Pentru modelarea volatilitatii se considera in fapt logaritmul dispersiei mai degraba decat dispersia. De asemenea reziduurile sunt standardizate in interiorul modelului ceea ce prezinta un mare avantaj.
Ecuatia care modeleaza cel mai bine volatilitatea portofoliului construit este:

In ecuatia (1) EGARCH(1) este log(t2)

Observam ca efectul ARCH (in ecuatie coeficientul ) si GARCH sunt semnificative din punct de vedere statistic. Totusi ecuatia ne indica faptul ca nu exista un efect de levier. Coeficientul  este pozitiv si in plus nu este semnificativ din punct de vedere statistic. Deci efectul de asimetrie nu este evident. Remarcam insa succesul unui model GARCH non-linear in modelarea volatilitatii portofoliului nostru.

Pentru a valida aceasta ecuatie trebuie sa recurgem la teste aplicate termenilor reziduali. Asa cum s-a precizat la sectia de metodologie, vom face analiza corelogramei radicalului reziduurilor standardizate, precum si un test rezidual ARCH-LM.

Corelograma este urmatoarea:

Corelograma indica faptul ca s-a mai redus corelatia termenilor reziduali. Mentionam ca daca valoarea probabilitatii este mai ridicata de 0.05 putem accepta ipoteza nula „nu exista efecte ARCH reziduale”. Observam in ultima coloana a tabelului ca acest lucru este valabil pentru aproape toti cei 10 termeni. Pentru a intari cele spuse, vom aplica si un test ARCH-LM:

Din nou, valoarea probabilitatii trebuie sa fie mai mare decat 0.05 pentru a ne asigura ca nu exista efecte reziduale asupra dispersiei seriei. Valoarea de 0.50 ne indica inca o data ca nu exista efecte ARCH reziduale.

Vom completa analiza termenilor reziduali cu testul White pentru a verifica urmele de heteroschedasticitate. Pentru a ne asigura ca nu mai exista efecte de heteroschedasticitate (sau efecte GARCH) reziduale din nou valoarea probabilitatii trebuie sa fie mai mare de 0.05. In acest caz coeficientul vizat este STD_REZID^2(-1). Valoarea probabilitatii pentru acest coeficient de 0.507 indica faptul ca putem accepta ipoteza nula „nu exista efecte GARCH reziduale”.

In concluzie modelul EGARCH (1,1) aplicat este cel indicat pentru a modela volatilitatea portofoliului. Testele pentru termenii reziduali prezentate mai sus intaresc validitatea modelului propus.

ATENTIE : Acest material nu este unul original, fiind o colectie de citate din diferite surse bibliografice. De asemenea, scopul acestui material nu este acela de a face o analiza a volatilitatii acţiunilor ERSTE, ci de a exemplifica folosirea testelor de normalitate si a modelului GARCH.
Bibliografie:

1. Abken, P.A.; şi S. Nandi (2000). “Options and Volatility”. Federal Bank Reserve of Atlanta – Economic Review.

2. Ackert, L.F.; şi Y.S.Tian (2000). “Evidence on the Efficiency of Index Options Markets” Federal Bank Reserve of Atlanta – Economic Review (trimestrul I).

3. Bollerslev, T. (1986), „Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity”, Journal of Econometrics, vol. 31, pag. 81-87

4. Campbell, J. Y., Lo, A. W. si Mackinley, C. A. (1997), „The Econometrics of Financial Markets”, Ed. Princeton University Press, pag. 479-490

5. Darasteanu, C. C. (2003), „Analiza Riscului de Portofoliu prin Utilizarea Modelelor GARCH: Studiu de Caz”, Pagina Pietei de Capital din Romania (www.kmarket.ro)

6. Engle, R., Nelson, D. si Bollerslev, T. (1994), „ARCH models”, Handbook of Econometrics, Ed. R. Engle and McFadden, pag. 2959-3038

7. Fama, E. F., Fischer, Lawrence, J., Michael C. si Roll, R. (1969), „The adjustment of stock prices to new information”, International Economic Review, vol. 10, nr. 1, pag. 1-21

8. French, K. R. (1980), „Stock returns and the weekend effect”, Journal of Financial Economics, vol. 8, pag. 55-69

9. Todea, A. (2001), „Caracterul instabil al riscului de piata evidentiat empiric pe piata romaneasca”, Pagina Pietei de Capital din Romania (www.kmarket.ro)

10. www.bnro.ro,

11. www.bvb.ro,

12. www.kmarket.ro,

13. www. wikipedia.org

Realizarea bazei de date

Graficul randamentelor

Realizarea Testelor de normalitate

Rezultatul testului de normalitate

Realizarea graficului Quantile-Quantile

Graficul Q-Q

Realizarea graficului pentru distributia cumulativa

Distributia cumulativa

Realizarea corelogramei

Realizarea ecuatiei Garch

Ecuatia

Corelograma reziduurilor

Graficul volatilitatii

E-Garch

Corelograma reziduurilor

ARCH Test

Test White

Yüklə 58,09 Kb.

Dostları ilə paylaş:

Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©muhaz.org 2022
rəhbərliyinə müraciət