Həndəsənin yaranması haqqında məlumat

Həndəsənin yaranması haqqında məlumat

Həndəsə ən qədim elmlərdən biri olub, digər təbiət elmləri kimi o da insanların gündəlik praktik fəaliyyətlərinin ehtiyacları nəticəsində meydana gəlmişdir.Həndəsənin yaranması torpaq sahələrinin ölçülməsi və bölgüsü, yolların salınması, evlərin tikintisi və digər quruculuq işləri üçün zəruri olan cürbə-cür ölçmə işləri ilə bağlı olmuşdur. Yunan dilindən tərcümədə həndəsə «geometriya» adlanır və «yer ölçmə» (geo-yer, metriya-ölçmə) mənasını verir. Mühüm praktik məsələlərin həlli üçün vacib olan çoxlu sayda həndəsi biliklərə və qaydalara qədim yunan «papiruslarında» və Vavilyon əlyazmalarında rast gəlmək olar. Qədim misirlilər düzbucaqlı, trapesiya, üçbucaq və s. fiqurların sahələrini ölçməyi bilirdilər. Ən sadə həndəsi məlumatlar daxil olan ilk əsər bizə qədim Misirdən gəlib çatmışdır. Həmin əsərdə bəzi müstəvi fiqurların sahələrinin və həndəsi cisimlərin həcmlərinin hesablanması qaydaları verilir. Bu qaydaların doğruluğu onların məntiqi isbatı verilmədən sırf təcrübi yolla alınmışdır. Həndəsənin riyazi elm kimi formalaşması çox gec baş vermiş və bu formalaşma qədim yunan alimləri Fales, Pifaqor , Demokrit, Evklid və başqalarının adı ilə bağlıdır. Evklid məşhur «Başlanğıclar» əsərində o dövrdə məlum olan əsas həndəsi məlumatları sistemləşdirmişdir. «Başlanğıclar» əsərinin ən başlıca məziyyəti orada həndəsənin qurulmasına aksiomatik yanaşmanın inkişaf etdirilməsidir. Həndəsənin müxtəlif problemlərinin sonrakı tədqiqləri istiqamətindəki mühüm xidmətlər Arximedə, Apolloni, Tusi və digər alimlərə məxsusdur. Həndəsənin inkişafında keyfiyyətcə yeni mərhələ xeyli gec- çoxlu əsrlər keçdikdən sonra yalnız XVII əsrdə başlandı. Bu da həmin dövrə qədər cəbr sahəsində əldə edilmiş nailiyyətlərlə bağlı olmuşdur. Görkəmli fransız riyaziyyatçısı və filosofu R.Dekart həndəsi problemlərin həllinə tamamilə yeni yanaşma təklif etdi. O, özünün «Həndəsə» kitabında koordinat metodu adlandırılan metod daxil etdi və bununla da cəbr və həndəsə arasında aşkar əlaqə yaratmış oldu. Bu metod çoxlu həndəsi məsələləri cəbri aparatın köməyi ilə həll etməyə imkan yaratdı. Həndəsənin sonrakı inkişafında Evklidin «Başlanğıclar»ında beşinci postulat adlandırılan aksiom çox mühüm rol oynadı. Paralel düz xətlər aksiomu -«Müstəvi üzərində verilmiş düz xəttə mənsub olmayan nöqtədən həmin düz xəttə paralel olan yalnız bir düz xətt keçirtmək olar». Şərh olunan postulatın isbatına uzun illər boyu çoxlu sayda alimlərin qüvvəsi cəlb olundu. Bu cəhdlər qəbul edilmiş aksiomlar sisteminin sayını minimuma endirmək istəyi ilə bağlı idi. Alimlər elə düşünürdülər ki, digər aksiomlara əsaslanaraq paralellər aksiomunu teorem kimi isbat etmək olar. XVIII əsrin sonlarında artıq bəzi alimlərdə paralellər aksiomunu isbat etməyin qeyri-mümkün olması fikri formalaşmışdı. Bu problemin həlli rus alimi Lobaçevski tərəfindən tapıldı. Lobaçevski həmin aksiomu əksini fərz etmə üsulu ilə isbat etməyə cəhd etdi. O, fərz etdi ki, verilmiş düz xətt üzərində olmayan nöqtədən həmin düz xəttə bu düz xətti kəsməyən bir neçə düz xətt çəkmək olar. Bununla da o, əksini fərz etmə metoduna xas olan elə bir təklifin alınmasını gözləyirdi ki, bu təklif məlum aksiomlarla və ya onların köməyi ilə isbat olunan teoremlərlə ziddiyyət təşkil etsin. Lakin belə olmadı. Lobaçevski nəinki ziddiyyətlə rastlaşmadı, hətta bu fərziyyə nəticəsində yeni bir nəticəyə gəldi. «Evklid həndəsəsindən fərqli elə bir həndəsə qurmaq olar ki, həmin həndəsədə irəli sürülən fərziyyə heç bir ziddiyyətə gətirmir və bu fərziyyə doğru mülahizə olur. Yəni elə bir həndəsə qurmaq olar ki, paralellər aksiomunun əksi doğru olar».Lobaçevski yeni bir həndəsə qurması haqqında açıqlamanı 1826-cı ildə verdi. Lobaçevski ilə analoji nəticəyə macar riyaziyyatçısı Y.Boyyai gəldi. Lobaçevskinin kəşfi elmin inkişafına çox böyük təkan verdi. Görkəmli alman riyaziyyatçısı B.Riman tərəfindən Evklid və Lobaçevski həndəsələrini ümumiləşdirən yeni həndəsə yaradıldı. Evklid və Lobaçevski həndəsələri bir-birilə ziddiyyət təşkil etmir. Bunun əsas səbəbi isə bu həndəsələr üçün qəbul edilmiş aksiomlar sisteminin ziddiyətsizliyi, tamlığı və qeyri- asılılığı xassələrinə malik olmasıdır. Qəbul edilmiş aksiomlar sisteminə verilən bu tələblərlə bağlı problemlər «Həndəsə əsasları» adlanan tədris fənnində öyrənilir. Hal-hazırda həndəsə elminin «Qeyri-Evklid həndəsə» (məsələn, Lobaçevski həndəsəsi), «Proyektiv həndəsə», «Tərsimi həndəsə», «Analitik həndəsə» «Diferensial həndəsə» kimi müstəqil sahələri yaranmışdır. Bu fənlərin heç birisi məktəbdə öyrənilməsə də, onların hər birinin məktəb həndəsə kursu ilə bu və ya digər dərəcədə əlaqəsi var.

Tərif.'>Nöqtə, düz xətt, şüa və parça

Tərif. İxtiyari boş olmayan nöqtələr çoxluğuna həndəsi fiqur deyilir.

Bu tərifə əsasən ayrılıqda götürülmüş bir nöqtə, həmçinin düz xətt, müstəvi və s. ən sadə həndəsi fiqurlardır. Nöqtə- həndəsənin əsas elementidir. Burada sohbət heç bir ölçüsü olmayan obyektdən gedir. Həndəsəyə aksioma baxımından yaxınlaşdıqda (Sintetik həndəsə) nöqtə ilə bəarbər düz xətt də eyni səviyyədə çıxış edir. Analitik və difersial həndəsədə isə bütün başqa obyektlər nöqtələr çoxluğu kimi təsvir olunurlar.Yunan filosofu Evklid b.e.ə. 300-ci ildə nöqtəni bölünməyən bir hissə kimi təsvir etmişdir. Teoremlər və onların sübutu üçün isə bu hissənin heç bir əhəmiyyəti yoxdur. Müasir aksiom sistemləri isə bunu inkar edirlər. Məsələn, Hilbert aksiom sisteminə görə həmişə iki nöqtə bir xətti əmələ gətirir. Proyeksiya müstəvisində nöqtə və düz xətt mövhumları hətta bir-biri ilə dəyişilə bilər. Burada həmçinin xətti sonsuz kiçik və nöqtəni sonsuz uzun və nazik götürmək mümkündür.Düz xətt sonsuzdur.İxtiyari iki nöqtədən yalnız və yalnız bir düz xətt keçirmək olar.Düz xəttin ixtiyari üç nöqtəsindən biri və yalnız biri qalan ikisi arasında yerləşir.Bir nöqtədən sonsuz sayda düz xətt keçir.Düz xətti bir hərflə işarə etdikdə latın əlifbasından istifadə edilir. İki hərflə işarə etdikdə böyük hərflərdən istifadə edilir.Müstəvi üzərində iki düz xətt kəsişmirsə onlara paralel düz xəttlər deyilir.Və a||b kimi işarə edilir.Düz xəttin verilmiş iki nöqtəsi və onlar arasındakı bütün nöqtələrdən ibarət hissəsinə parça deyilir.Həmin nöqtələr parçanın uc nöqtələri adlanır.Bu parça AB parçası və ya BA parçası kimi oxunur. Düz xəttin üzərində olmayan iki nöqtədən bu düz xətt ən çoxu bir paralel düz xətt çəkmək olar.İki müxtəlif düz xətt ya kəsişmir, ya da yalnlz bir nöqtədə kəsişir, ya da yalnız bir nöqtədə kəsişir.Hər bir parçanın böyük müəyyən uzunluğu var. Parçanın uzunluğu onun hər hansı daxili nöqtəsi ilə bölündüyü parçaların cəminə bərabərdir.Şüa, parça, bucaq. Verilmiş a düz xəttinin ixtiyari O nöqtəsi düz xəttin bütün nöqtələr çoxluğunu iki hissəyə (altçoxluğa) bölür. Bu hissələrdən biri düz xəttin O nöqtəsinə nəzərən sağda yerləşən bütün nöqtələrdən ibarət altçoxluq, digəri isə O nöqtəsinə nəzərən solda yerləşən bütün nöqtələrdən ibarət altçoxluqdur. O nöqtəsinin özü bu altçoxluqlardan heç birinə aid edilmir və bu altçoxluqların (düz xəttin bölündüyü hissələrin) sərhədi hesab olunur. Tərif. Verilmiş düz xəttin ixtiyari O nöqtəsindən bir tərəfdə yerləşən və O nöqtəsindən fərqli bütün nöqtələri çoxluğuna (düz xəttin hissəsinə) O nöqtəsindən çıxan şüa deyilir. Tərifə görə hər bir nöqtə düz xətti iki şüaya ayırır və O nöqtəsi bu şüaların ortaq başlanğıcı adlanır. Şüa da düz xətt kimi latın əlifbasının kiçik hərfi (məsələn, c şüası), ya da birinci nöqtə şüanın başlanğıc nöqtəsi, ikinci nöqtə isə bu şüanın başlanğıc nöqtədən fərqli ixtiyari nöqtəsi olan iki böyük latın hərfi ilə işarə edilir. Aşkardır ki, düz xətti iki şüaya ayıran nöqtə bu şüalardan birinə aid edildikdə, onda həmin şüa başlanğıc nöqtəsini (sərhəd nöqtəsini) özündə saxlayan şüa və ya qapalı şüa adlanır .Bu halda digər şüa sərhədi (başlanğıc nöqtəsini) özündə saxlamayan şüa və ya açıq şüa adlanır .Biz şüa dedikdə başlanğıc nöqtəsi şüanının özünə məxsus olmayan (açıq) şüa başa düşəcəyik.Tərif. Bir nöqtənin (başlanğıc nöqtəsi) və bu nöqtədən çıxan iki şüanın birləşməsindən alınan həndəsi fiqura bucaq deyilir.

Müstəvi yarım müstəvilər

Müstəvi – qalınlığı olmayan, ideal düz hamar və bütün tərəflərə sonsuz uzanan fiqurdur. Evklidə görə “Müstəvi – yalnız eni və uzunluğu olan fiqurdur. Müstəvinin kənarları düz xətlərdər”.

Müstəvini təsəvvür etmək üçün pəncərə şüşəsini və ya stolun səthini yada salmaq olar. Müstəviləri kiçik yunan hərfləri ilə işarə edirlər: αα, ββ, γγ, ...

Müstəvi üzərində olan düz xətt onu iki hissəyə bölür ki, hər bir hissə yarımmüstəvi adlanır.Düz xətt yarım müstəvini iki hissəyə bölür.Əgər parçaların ucları eyni yarımmüstəviyə aiddirsə,parça həmin düz xətt kəsmir.Parçanın ucları müxtəlif yarımmüstəvilərə aiddirsə, onda parça həmin düz xətti kəsir.

Bucaq anlayışı,bucağın növləri

Tərif. Bir nöqtənin (başlanğıc nöqtəsi) və bu nöqtədən çıxan iki şüanın birləşməsindən alınan həndəsi fiqura bucaq deyilir. Şüaların çıxdığı ümumi başlanğıc nöqtə bucağın təpəsi, şüaların özləri isə bucağın tərəfləri adlanır. Tərif. Tərəflərindən biri digərinin uzantısı olan (tərəfləri bir düz xətt üzərində yerləşən) bucağa açıq bucaq deyilir.Hər bir bucağın sıfırdan böyük müəyyən dərəcə ölçüsü var. Açıq bucaq 180-dərəcəyə bərabər olur.Bucağın dərəcə ölçüsü onun tərəfləri arasından keçən istənilən şüa ilə bölündüyü hissələrin dərəcə ölçüsü onun tərəfləri arasından keçən istənilən şüa ilə bölündüyü hissələrin dərəcə ölçülərinin cəminə bərabərdir.360-yə bərabər olan bucaq tam bucaq adlanır. 90 dərəcəyə bərabər olan düz bucaq ,90-dan böyük 180-dən kiçik olan bucaq kor bucaq ,90-dan kiçik bucaq isə itit bucaq adlanır. Hər bir bucaq bütün müstəvini iki hissəyə bölür. Bu hissələrdən biri müstəvinin bucağın tərəfləri arasında yerləşən bütün nöqtələr çoxluğundan, digəri isə tərəflərin xaricində yerləşən nöqtələr çoxluğundan ibarətdir. Bucağın təpəsi və tərəfləri bu hissələrin heç birinə aid edilmir və bu iki hissənin (müstəvinin bütün nöqtələri çoxluğunun iki altçoxluqlarının) sərhəd nöqtələri çoxluğunu təşkil edir. Birinci hissə (altçoxluq) bucağın daxili oblastı, ikinci hissə (altçoxluq) isə bucağın xarici oblastı adlanır. Tərif. Bir nöqtədən çıxan iki şüanın ortaq başlanğıc nöqtəsi və daxili oblastı ilə birləşməsindən alınan fiqura bucaq deyilir. Açıq olmayan bucağın təpəsindən çıxan və onun daxili oblastından keçən ixtiyari şüa bu bucağı iki bucağa ayırır.Belə şüaya bucağın tənböləni deyilir. İki düz xəttin kəsişməsindən 4 bucaq əmələ gəlir. Qonşu bacaqlar. Bir tərəfi ortaq olub, digər tərəfləri bir-birinin davamı olan (yəni bir düz xətt üzərində yerləşən nöqtədən bu düz xəttin əks istiqamətlərində uzanan) tamamlayıcı şüaların yaratdığı bucaqlara qonşu bucaqlar deyilir. Şəkildə αα və ββ qonşu bucaqlardır. Qonşu bucaqların cəmi 180°180°-dir, çünki birlikdə bu iki bucaq acıq bucaq əmələ gətirir.

Qarşılıqlı bucaqlar. Tərəfləri bir-birinin tamamlayıcı şüaları olan bucaqlara qarşılıqlı bucaqlar deyilir.

Qarşılıqlı bucaqlar bərabərdir. Şəklə diqqət yetirsək bir tərəfdən αα və ββ qonşu bucaqlar olduğu üçün cəmi 180°180°-dir. Digər tərəfdən ββ  və α′α′ qonşu bucaqlar olduğundan onların da cəmi 180°180°-dir.

α+β=180°;α′+β=180°

3. Perpendikulyar düz xətlər.

İki qarşılıqlı kəsişən düz xətt götürək. Aşkardır ki, bu düz xətlər dörd açıq olmayan bucaq əmələ gətirirlər. Bu bucaqlardan biri, məsələn, 0 1  d  90 olduqda qonşu və qarşılıqlı bucaqların xassələrinə görə digər bucaqlar da düz bucaq olacaqlar. Tərif. İki düz xətt kəsişərək dörd düz bucaq əmələ gətirirsə, belə düz xətlərə qarşılıqlı perpendikulyar düz xətlər deyilir. AB və CD düz xətlərinin perpendikulyarlığı «  » simvolu ilə işarə edilir və AB  CD kimi yazılır və « AB düz xətti CD düz xəttinə perpendikulyardır» kimi oxunur. Praktik məsələlərdə düz xətt parçasının düz xəttə və ya iki düz xətt parçasının perpendikulyarlığından daha çox istifadə edilir. Tutaq ki, a düz xətti və bu düz xətlə eyni müstəvidə yerləşən və ona mənsub olmayan A nöqtəsi verilmişdir. A nöqtəsindən keçib a düz xəttini B nöqtəsində kəsən b düz xətti a düz xəttinə perpendikulyar olduqda, b düz xəttinə daxil olan AB parçasına a düz xəttininə perpendikulyar düz xətt parçası deyilir. Bu halda B nöqtəsinə AB perpendikulyar parçasının oturacağı deyilir. Teorem. Verilmiş düz xətt üzərində olmayan nöqtədən bu düz xəttə perpendikulyar olan yalnız bir düz xətt çəkmək olar.

Teorem. Eyni bir düz xəttə perpendikulyar olan iki düz xətt bir-birinə paraleldir