A mesterképzésre vonatkozó akkreditációs követelmények és a vonatkozó jogszabályok áttekintése folyamatban van
Yüklə 2,73 Mb.
|
Mátrixanalízis 2/0/0/v/3Tárgyfelelős: Petz Dénes További oktatók:
Irodalom: Rajendra Bhatia: Matrix Analysis, Springer, 1997 Kérchy László: Bevezetés a véges dimenziós vektorterek elméletébe, Polygon, 1997 Petz Dénes: Lineáris analízis, Akadémiai Kiadó, 2002 Rózsa Pál: Lineáris algebra és alkalmazásai, Műszaki Könyvkiadó, 1976 Matrix analysis 2/0/0/v/3 Course coordinator: Dénes Petz Other instructors: Vector spaces and linear operators, Hilbert spaces, orthonormal basis, the matrix of a linear operator, matrix norms, self-adjoint and unitary matrices, localization of eigenvalues and singular values, pozitiv definite matrices, tensor product and Hadamard product, Schur theorem and applications, functional calculus, derivation, the exponential function, Lie-Trotter formula, matrix monotone functions, means of positive matrices, block-matrices, applications to differential equations, matrices with positive entries. References: Rajendra Bhatia: Matrix Analysis, Springer, 1997 Kérchy László: Bevezetés a véges dimenziós vektorterek elméletébe, Polygon, 1997 Petz Dénes: Lineáris analízis, Akadémiai Kiadó, 2002 Rózsa Pál: Lineáris algebra és alkalmazásai, Műszaki Könyvkiadó, 1976 Operátorelmélet 3/1/0/v/5 Tárgyfelelős: Nagy Béla További oktatók: Hilbert terek alapfogalmait ismertnek feltételezzük. Zárt és lezárható operátorok, a zárt gráf tétel. A spektrálelmélet alapjai zárt operátorokra. Zárt szimmetrikus és önadjungált operátorok. Szimmetrikus operátor és önadjungált kiterjesztése. Hermitikus forma által definiált operátorok. Zárt normális operátorok. Véges rangú és kompakt operátorok. Hilbert–Schmidt operátorok. Mátrix operátorok. Integrálás spektrál mértékre vonatkozóan. Zárt önadjungált operátorok spektrálfelbontása és spektrumának tulajdonságai. Normális operátorok spektrálfelbontása. Szimmetrikus operátorok kiterjesztései: defekt indexek és Cayley transzformáltak. Kiterjesztés a Hilbert tér bővítésével: Najmark tétele. Önadjungált kiterjesztések és spektrumaik. Analitikus vektorok. Önadjungált operátorok perturbációja. Scattering. Egyoldali eltolás operátora, Wold–Neumann felbontás. Kétoldali eltolás. Kontrakciók. Invariáns vektorok, kanonikus felbontás. Kontrakció izometrikus és unitér dilatációja. Operátorok Banach terekben. Holomorf függvények és kontúrintegrálok. Holomorf függvénykalkulus korlátos, ill. zárt operátorokra. Kompakt operátorok. A Riesz–Schauder elmélet. Nöther és Fredholm operátorok. Operátor félcsoportok Banach terekben. Lineáris rendszerek operátorelméleti alapjai. Banach algebrák. Spektrum. Holomorf függvénykalkulus. Ideálok. A Gelfand transzformáció. C*-algebra elemének spektruma. A Gelfand–Najmark kommutatív tétel. C*-algebrák reprezentációja. Irodalom: I. Gohberg, S. Goldberg and M.A. Kaashoek: Basic classes of linear operators. Birkhauser, Basel, 2003 J. Weidmann: Linear operators in Hilbert space. Springer, Berlin, 1980 M. Birman and M. Solomyak: Spectral theory of self-adjoint operators in Hilbert space. Leningrad, 1980 (in Russian. There is also an English translation of the book). Theory of operators 3/1/0/v/5 Course coordinator: Béla Nagy Other instructors: The basic concepts of Hilbert spaces will be assumed to be known. Further: Closed and closable linear operators, closed graph theorem. The basics of the spectral theory for closed operators. Closed symmetric and self-adjoint operators. Symmetric operator and its self-adjoint extension. Operators defined by a Hermitian (sesquilinear) form. Closed normal operators. Finite rank and compact operators. Hilbert–Schmidt operators. Matrix operators. Integration with respect to a spectral measure. The spectral decomposition for closed self-adjoint operators and the properties of their spectra. The spectral decomposition of closed normal operators. The extensions of closed symmetric operators: deficiency indices and Cayley transforms. Extensions into a larger Hilbert space: theorem of M.Naimark. Self-adjoint extensions extensions and their spectra. Analytic vectors. Perturbation of self-adjoint operators. Scattering. The unilateral shift operator, Wold–Neumann decomposition. The bilateral shift. Contractions. Invariant vectors, canonical decomposition. Isometric and unitary dilation of a contraction. Operators in Banach spaces. Holomorphic functions and contour integrals. Holomorphic funtional calculus for bounded and for closed operators. Compact operators. The Riesz–Schauder theory. Noether and Fredholm operators. Semi-groups of operators in Banach spaces. The operator theoretic foundations of linear systems. Banach algebras. Spectrum. Holomorphic functional calculus. Ideals. The Gelfand transform. The spectrum of an element in a C*-algebra. The commutative Gelfand–Naimark theorem. Representation of C*-algebras. References: I. Gohberg, S. Goldberg and M.A. Kaashoek: Basic classes of linear operators. Birkhauser, Basel, 2003
További oktatók: Motiváció: elektrosztatika. Dirichlet probléma, Brown mozgás. Logaritmikus potenciál: minimumelv, extremális mérték, egyensúlyi potenciál, mérték és potenciál kapcsolata. Súlyozott polinomok: súlyozott Fekete-pontok, transzfinit átmérő, Csebisev-polinom. Dirichlet probléma nem folytonos ill. nem korlátos peremfeltétellel. (Perron-Wiener-Brelot megoldás, súlyozott terek, harmonikus mérték.) Regularitási problémák, kisöprési mérték, Brown-mozgás és harmonikus mérték kapcsolata. Irodalom: D. R. Adams and L. I. Hedberg, Function Spaces and Potential Theory, Springer, 1996 V. I. Fabrikant, Mixed Boundary Value Problems of Potential Theory and their Aplications in Engineering, Kluwer Acad. Publ. Group, Netherlands, 1991 J. L. Dob, Classical Potential Theory and Its Probabilistic Counterpart, Springer, 1984 O. D. Kellogg, Foundations of Potential Theory, Springer, 1929 H. N. Mhaskar, Introduction to the Theory of Weighted Polynomial Approximation, World Scientific, 1996 (Szerk.) K. Nagy, Elméleti fizikai példatár, Tankönyvkiadó, 1981 T. Ransford, Potential Theory in the Complex Plane, Camridge Univ. Press, 1994 E. B. Saff and V. Totik , Logarithmic Potentials with External Fields, Springer, 1997
Other instructors: Motivation: a little electrostatics, Dirichlet problem and Brownian motion. An extremal problem: logarithmic potential , Chebyshev constant and transfinite diameter. Electrostatics with external fields, weighted energy integral and potential. Equilibrium measure and the modified Robin constant. How to solve the Dirichlet problem, when the boundary conditions are not “nice”? Modified Poisson kernel with respect to singularities, lower semicontinuity, Perron-Wiener-Brelot solution, harmonic measure. Regularity, balayage, generalized Poisson integral. Brownian motion and harmonic measures. References: D. R. Adams and L. I. Hedberg, Function Spaces and Potential Theory, Springer, 1996 V. I. Fabrikant, Mixed Boundary Value Problems of Potential Theory and their Aplications in Engineering, Kluwer Acad. Publ. Group, Netherlands, 1991 J. L. Dob, Classical Potential Theory and Its Probabilistic Counterpart, Springer, 1984 O. D. Kellogg, Foundations of Potential Theory, Springer, 1929 H. N. Mhaskar, Introduction to the Theory of Weighted Polynomial Approximation, World Scientific, 1996 (Szerk.) K. Nagy, Elméleti fizikai példatár, Tankönyvkiadó, 1981 T. Ransford, Potential Theory in the Complex Plane, Camridge Univ. Press, 1994 E. B. Saff and V. Totik , Logarithmic Potentials with External Fields, Springer, 1997 Inverz szórási feladatok 2/0/0/v/3 Tárgyfelelős: Horváth Miklós További oktatók: A látás, a radar, az ultrahangos orvosi vizsgálat, a földkéreg szerkezetének kutatása, az elemi részecskék közti kölcsönhatások vizsgálata csak néhány példa inverz szórási feladatokra. A kurzus célja ezen problémák matematikai apparátusának bemutatása, bevezető jelleggel. A főbb témakörök: Időfüggő felépítés: hullámoperátor, szórási operátor, szórásmátrix. Időfüggetlen felépítés: szórásamplitúdó, Lippmann–Schwinger egyenlet. Dirichlet-to-Neumann operátor, Sylvester–Uhlmann alaptétel. Akusztikus szórás, elektromágneses szórás. Egy- és háromdimenziós kvantum szórási feladatok. A kvantummechanikai soktest-probléma. Irodalom: V. Isakov, Inverse Problems for Partial Differential Equations, Springer, New York 1998 D. Yafaev, Scattering Theory: Some Old and New Problems, Springer, Berlin, 2000 D. Colton and R. Kress, Inverse Acoustic and Electromagnetic Scattering Theory, Springer, Berlin 1998 M. Reed and B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics III: Scattering Theory, Academic Press 1979 K. Chadan and P. Sabatier, Inverse Problems in Quantum Scattering Theory, Springer 1989 Inverse scattering problems 2/0/0/v/3 Course coordinator: Miklos Horváth Other instructors: The seeing process, radar, ultrasound-based medical investigations, geological prospecting of the Earth, investigation of interactions between elementary particles are just a few examples of inverse scattering problems. The course aims to present the mathematical background of such problems, on an introductory level. The main topics include: Time dependent description: wave operator, scattering operator, scattering matrix. Time independent description: scattering amplitude, Lippmann-Schwinger equation, Dirichlet-to-Neumann map, Sylvester-Uhlmann theorem. Acoustic and electromagnetic scattering. One- and three-dimensional quantum scattering problems. The many-body problem. References: V. Isakov, Inverse Problems for Partial Differential Equations, Springer, New York 1998 D. Yafaev, Scattering Theory: Some Old and New Problems, Springer, Berlin, 2000 D. Colton and R. Kress, Inverse Acoustic and Electromagnetic Scattering Theory, Springer Berlin 1998 M. Reed and B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics III: Scattering Theory, Academic Press 1979 K. Chadan and P. Sabatier, Inverse Problems in Quantum Scattering Theory, Springer 1989 Nemlineáris hiperbolikus egyenletek 2/0/0/v/3 Tárgyfelelős: Fritz József További oktatők: Tóth Bálint A megoldások megszakadásának és az unicitás megszűnésének jelensége, irreverzibilitás. A karakterisztikák módszere. Szakaszonként folytonos megoldások, lökéshullámok. Önhasonló megoldások és az entrópia-elv. A Burgers egyenlet Hopf–Lax–Oleinik megoldása. A viszkózus megoldás, Lax entrópia egyenlőtlensége. Kompenzált kompaktság. Gyenge konvergencia és Young mérték. Konvex függvények gyenge konvergenciája. Tartar és Murat alaptételei. DiPerna elmélete, a gázdinamika és a rugalmasságtan nemlineáris egyenletei. A hidrodinamika mikroszkopikus modelljei. Irodalom: L.C.Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 2002 J. Smoller: Shock Waves and Reaction-Diffusion Equations. Springer 1983
References: L.C.Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 2002 J. Smoller: Shock Waves and Reaction-Diffusion Equations. Springer 1983 Fritz J.: Hyperbolic Equations and Systems. www.math.bme.hu/jofri/oktat Fraktálok és geometriai mértékelmélet 2/0/0/f/3 Tárgyfelelős: Simon Károly További oktatók: Bevezetés: Mértékelméleti és topológiai alapok ismétlése. Vitali lefedési tétele, Besicovitch lefedési tétele. Fraktálok a síkon és a térben: A legismertebb önhasonló és ön-affin halmazok. Box dimenzió és a Hausdorff dimenzió fogalma. Dimenzió kiszámítsa önhasonló fraktálokra. Hausdorff dimenzió potenciálelméleti karakterizációja. Mérték lokális dimenziója, önhasonló mértékek multifraktál analízise. Véletlen Cantor halmazok dimenziója és a Mandelbrot perkoláció. Brown mozgás mint véletlen fraktál. Egydimenziós Brown mozgás grafikonjának Hausdorff dimenziója. Többdimenziós Brown mozgás trajektoriájának dimenziója és Lebesgue mértéke. Véletlen fraktálos eszközökkel: Irodalom: E.A. Edgar: Integral probability and fractal measures. Springer 1998. K. Falconer: The geometry of fractal sets. Cambridge, 1985. K. Falconer: Fractal Geometry, Wiley, 2005. K. Falconer: Techniques in fractal geometry, Wiley 1997. Laczkovich M.: Valós függvénytan. ELTE egyetmi jegyzet 1995. P. Mattila: Geometry of Sets and Measures in Eclidean Spaces. Cambridge, 1995. K.R. Parthasaraty, Probability measures on metric spaces, Academic Press 1967. Y. Peres: An invitation to sample paths of Brownian motion. 2001 Preprint. http://stat-www.berkeley.edu/~peres/bmall.pdf
Other instructors: Introduction: Basics form general measure theory and from set theoretical topology. Covering and differerentiation. Vitali’s and Besicovitch’s covering theorems. Differentiation of measures. Fractals in space and on the plane: the most famous self similar and self-affine fractals. Box dimension and Hausdorff dimension. The dimension of self-similar fractals. Potential theoretic characterization of the Hausdorff dimension. Local dimension of measures. Multifractal analysis of self-similar measures. Dimension of random Cantor sets and Mandelbrot percolation. Brownian paths as random fractals. The dimension of the graph of the Brownian motion. The dimension and Lebesgue measure of Brownian paths in higher dimension. Intersection of independent Brownian paths starting from different points. A fractal geometry approach.
E.A. Edgar: Integral probability and fractal measures. Springer 1998. K. Falconer: The geometry of fractal sets. Cambridge, 1985. K. Falconer: Fractal Geometry, Wiley, 2005. K. Falconer: Techniques in fractal geometry, Wiley 1997. Laczkovich M.: Valós függvénytan. ELTE egyetmi jegyzet 1995. P. Mattila: Geometry of Sets and Measures in Eclidean Spaces. Cambridge, 1995. K.R. Parthasaraty, Probability measures on metric spaces, Academic Press 1967. Y. Peres: An invitation to sample paths of Brownian motion. 2001. http://stat-www.berkeley.edu/~peres/bmall.pdf Differenciált szakmai ismeretek : Diszkrét matematika blokk Courses of specialization: Block of discrete mathematics Algoritmusok és bonyolultságuk 3/1/0/f/5 Tárgyfelelős: Friedl Katalin További előadók: Pintér Márta, Telcs András Rövid tematika, címszavakban: A kódoláselmélet algoritmikus kérdései. Geometriai algoritmusok (legközelebbi pontpár, konvex burok meghatározása). Alapvető párhuzamos algoritmusok (PRAM-ek, Brent-elv a gyorsításra). Elosztott algoritmusok hibátlan esetben, egyezségre utás, ill. ennek lehetetlensége különböző típusú hibák esetén (vonalhiba, leállás, Bizánci típusú hiba). Interaktív bizonyítások, IP=PSPACE. On-line algoritmusok. Paraméteres bonyolultság (korlátos mélységű keresőfák, a gráfminor tétel következményei, W[1]-teljesség). A kvantumalgoritmusok alapjai. Irodalom: T. Cormen, C. Leiserson, R. Rivest, C. Stein: Új algoritmusok, Scolar Kiadó, Budapest ), 2003 Algorithms and their complexity 3/1/0/f/5 Course coordinator: Katalin Friedl Other instructors: Márta Pintér, András Telcs Algorithmic questions of coding theory. Geometric algorithms (closest pair of points, convex hull). Basic parallel algorithms (PRAM, Brent-principle). Distributed algorithms on reliable networks, the consensus problem on unreliable networks (link failures, benign but unreliable processors, Byzantine processors). Interactive proofs, IP=PSPACE. On-line algorithms. Parametric complexity (search trees with bounded depth, consequences of the graph minor theorem, W[1]-completeness). Basics of quantum computing. References: T. Cormen, C. Leiserson, R. Rivest, C. Stein: Introduction to Algorithms, 2001 H. Attiya: Distributed Algorithms (Lecture notes) Gráfok, hipergráfok és alkalmazásaik 3/1/0/f/5 Tárgyfelelős: Katona Gyula Y További előadók: Recski András, Csákány Rita, Szeszlér Dávid Rövid tematika, címszavakban: Tutte tétel és Vizing tétel bizonyítása, alkalmazás az általános faktorproblémára, stabil párosítások, Gale–Shapley tétel. Dinitz probléma, listaszínezés, listaszínezési sejtés, Galvin tétel, síkgráfok listaszínezése, Thomassen és Voigt tételei. Hipergráfok bevezetése, nézőpontok: gráfok általánosításai, halmazrendszerek, 0-1 sorozatok halmazai. Gráfelméleti eredmények általánosítása: Baranyai tétel, Ryser-sejtés. Nevezetes extremális halmazelméleti eredmények: Sperner tétel, LYM egyenlőtlenség, Ahlswede–Zhang azonosság, Erdos–Ko–Rado tétel, Kruskal–Katona tétel. Ramsey tétele gráfokra és hipergráfokra, geometriai alkalmazások. Lineáris algebra alkalmazására példák: Páratlanváros tétel, Graham–Pollak tétel.További geometriai alkalmazások: Chvátal "art gallery" tétele, Borsuk sejtés Kahn–Kalai–Nilli féle cáfolata. Kombinatorikus optimalizálási feladatok poliéderes leírása, példák, perfekt gráfok politópos jellemzése. Irodalom: Berge, Claude: Gráfok és hipergráfok (angol nyelven) North-Holland Mathematical Library 6, 1976 Bollobás Béla: Kombinatorika– Halmazrendszerek, hipergráfok, vektorcsaládok és véletlen módszerek a kombinatorikában, (angol nyelven) Cambridge University Press, Cambridge, 1986
Other instructors: András Recski, Rita Csákány, Dávid Szeszlér The theorems of Tutte and Vizing, application to the general factor problem, stable matchings, the theorem of Gale and Shapley, Dinitz’s problem, list colouring, list colouring conjecture, Galvin’s theorem, list colouring of planar graphs, the theorems of Thomassen and Voigt. Hypergraphs as generalizations of graphs, as set systems, as sets of 0-1 sequences. Generalizations of results from graph theory, Baranyai’s theorem, Ryser’s conjecture, Results of extremal set systems, Sperner’s theorem, LYM inequality, Ahlswede–Zhang-identity, the theorems of Erdös–Ko–Rado and Kruskal–Katona. Ramsey’s theorem for graphs and hypergraphs, applications in geometry. Applications of linear algebra, odd city theorem, Graham-Pollak theorem. Further geometric applications, Chvátal’s art gallery theorem, Kahn–Kalai–Nilli’s disproof of Borsuk’s conjecture. Polyhedric description of problems of combinatorial optimization, polytop characterization of perfect graphs.
C. Berge: Graphs and hypergraphs. North-Holland Mathematical Library 6, 1976 B. Bollobás: Combinatorics – Set systems, Hypergraphs, Families of Vectors and Combinatorial Probability, Cambridge University Press, Cambridge, 1986
További oktatók: Molnár Emil, Szirmai Jenő Gyakorlati perspektíva és az ideális térelemek bevezetése. Harmonikus négyes. Projektív skála. Projektív összeadás, szorzás. Illeszkedési struktúrák.Projektív és affin síkok. Galois-geometriák. Koordináta test jellemzése a Desargues-, Papposz–Pascal tétel alapján. Projektív koordináta-rendszer. A projektív geometria alaptétele és a kollineációk jellemzése (véges test, valós és komplex test felett). A lineáris algebra eszközeinek használata, n-dimenziós szférikus tér, projektív tér, affin tér. Kollineációk és polaritások osztályozása a Jordan-féle normálalak alapján. Projektív metrikák, euklideszi és nem-euklideszi terek áttekintése. A számítógépi megjelenítés projektív geometriai alapjai. 3-dimenziós és 4-dimenziós centrális vetítés a számítógép képernyőjén.
M. Berger: Geometry I, II Springer, 1994 H.S.M. Coxeter: Projective Geometry Univ. of Toronto Press, 1974
Other instructors: Emil Molnár, Jenő Szirmai Perspectivity in the practice, harmonic division, cross-ratios, the projective scale. The addition and multiplication of points on the base of the Desargues’s theorem. The field defined by the above operations. Structures based on incidency. Projective and affine planes. The Galois-type geometries. The n-dimensional spherical space, projective space and affin space. The classifications of collineations and polarities by the normal form of Jordan. The projective geometrical base of the visualization by computer. The central projection of figures of dimension 3 and 4 and its visualizationon on the monitor. References: M. Berger: Geometry I, II Springer, 1994 H.S.M. Coxeter: Projective Geometry, Univ. of Toronto Press, 1974
További oktatók: Molnár Emil, Szirmai Jenő Helly, Radon, Caratheodory tételek és alkalmazásaik, pontok konvex burkának algoritmikus előállítása, n-dimenziós Euler–Poincare formula konvex poliéderre. Pontrendszerek átmérője (pontrendszer által meghatározott egyenlő hosszú szakaszok, azonos területű háromszögek maximális száma), Erdős–Szekeres tétel és következményei, szakaszok metszéspontjainak számáról, egyszerű sokszög triangulációja . Brower fixpont tétel, Borsuk–Ulam tétel, Euler–Poincare formula szimpliciális komplexusra. A rácsgeometria algoritmikus és bázisválasztási problémáiról: Minkowski, Hermite, Korkine–Zolotareff és Lovász redukciók, Dirichlet–Voronoi cellák és rövid vektorok. Kódelméleti alkalmazások. Irodalom: Szabó László: Kombinatorikus Geometria és Geometriai algoritmusok, Polygon, 2003 E.M. Patterson: Topology, Oliver and Boyd, Edinburgh and London,1956 P.M. Gruber- C.G. Lekkerkerker: Geometry of numbers, North-Holland Mathematical Library 1987 B. Grunbaum, Convex polytopes, John Wiley and Sons, 1967
Other instructors: Emil Molnár, Jenő Szirmai The theorem of Helly, Radon and Caratheodory. The convex hull of points. Euler–Poincare formula for n-dimensional polyhedra. The diameter of a set of points. The theorem of Erdos–Szekeres and its consequences. Triangulation of simple polygons. Brower theorem on the fixpoint of a mapping, the Borsuk–Ulam theorem. Euler–Poincare formula for simplicial complexes. On the basis reduction problem of lattices. Algorithmic point of view, the reductions of Minkowski, Hermite, Korkine–Zolotareff and Lovász. Dirichlet–Voronoi cells and the short vectors of a lattice. Applications in coding theory. References: Szabó László: Kombinatorikus Geometria és Geometriai algoritmusok, Polygon, 2003 E.M.Patterson: Topology, Oliver and Boyd, Edinburgh and London, 1956. P.M.Gruber- C.G.Lekkerkerker: Geometry of numbers, North-Holland Mathematical Library 1987 B.Grunbaum, Convex polytopes, John Wiley and Sons, 1967
További oktatók: Molnár Emil, Szirmai Jenő A tárgy célja, hogy bemutassuk a klasszikus állandó görbületű nemeuklideszi geometriákat, azok modelljeit 2 és 3 dimenzióban, valamint betekintést adunk a relativitáselmélet geometriai vonatkozásaiba. Hiperbolikus tér: Modellek, és kapcsolataik (Cayley–Klein-, Poincaré-, féltér-, komplex-, vektormodell). d=2: trigonometria, területszámítás, átdarabolhatóság, nem valós csúcsú háromszögek terület fogalma, számolások modellekben. Hiperbolikus sík diszkrét csoportjairól, Coxeter csoportok, kövezések. d=3 Síkok gömbök, horoszférák, hiperszférák, ezek felírása. Poliéderek térfogatszámítása. Lobacsevszkij függvény, „Coxeter honeycombs”. Szférikus tér: a hiperbolikus geometriában leírtak mintájára áttekintjük a d = 2, 3 dimenziós szférikus terek analóg kérdéseit. Relativitáselmélet: A tér-idő lineáris geometrizálása 1 + 1 dimenzióban: Galilei tér-idő affin síkon, Gelilei-transzformáció és sebességösszeadás. Lorentz tér-idő és Minkowski-sík. Lorentz-transzformáció és sebességösszeadás, az időrövidülés problémája. Tér-idő sokaság: Differenciálható sokaság és érintőterei (ismétlés), Riemann és pszeudo-Riemann sokaság. Tenzor-fogalom. Kovariáns deriválás és görbületi tenzor. Ricci-tenzor és az Einstein-egyenlet. Schwarzschild megoldás: Merkur pálya-ellipszis elfordulása, fényelhajlás, vörös-eltolódás Irodalom: Alekseevskij, D. V.; Vinberg, È. B.; Solodovnikov, A. S. Geometry of spaces of constant curvature. Geometry, II, 1–138, Encyclopaedia Math. Sci., 29, Springer, Berlin, (1993) G. Horváth Á. – Szirmai J. Nemeuklideszi geometriák modelljei, Typotex, Budapest (2004) Novobáczky Károly: A relativitás elmélete, Tankönyvkiadó, Bp. (1963) R!. Sachs – H. Wu: General Relativity for Mathematicians, Springer (1977) Előadói jegyzetek
Other instructors: Emil Molnár, Jenő Szirmai Hyperbolic space: Models and their relations (Cayley-Klein-, Poincaré-, halfspace-, complex, vector-model). d=2: trigonometry, area, scissor-congruence,, area of ideal triangles, calculations. Hyperbolic discrete groups, Coxeter groups and tilings. d=3: planes, spheres, horo- and hyperspheres in analytical form. Polyhedra, volume problem,.Lobachevski function, Coxeter honeycombs.
G. Horváth Á. – Szirmai J. Nemeuklideszi geometriák modelljei, Typotex, Budapest (2004) Novobáczky Károly: A relativitás elmélete, Tankönyvkiadó, Bp. (1963) R!. Sachs – H. Wu: General Relativity for Mathematicians, Springer (1977) Lecture notes
További oktatók Tóth Boglárka I. Optimalitás feltételei: Elsőrendű szükséges feltételek (feltétel nélküli optimalizálás). Másodrendű szükséges + elégséges feltételek (feltétel nélküli optimalizálás). Konvex (és konkáv) függvények tulajdonságai, minimalizálás és maximalizálás. Ponthalmaz leképezések, zártság, összetett leképezések, globális konvergencia-tétel. II. Vonal menti optimalizálás: Konvergencia-sebesség, Armijo szabály. Fibonacci, aranymetszés, Newton módszer vonal menti optimalizálásra. Görbe illesztéses algoritmusok, pontatlan vonal menti optimalizálás zártsága. III. Feltétel nélküli optimalizálás: Legmélyebb leszállás algoritmusa, Kantorovich egyenlőtlenség, konvergenciasebesség. Newton módszer. Koordinátánkénti minimalizálás, konvergencia és zártság, távolságtartó lépések. Konjugált irányok, kiterjeszkedő alterek. Konjugált gradiens módszer, optimalitása. A részleges konjugált gradiens módszer, konvergenciasebesség. Nem-kvadratikus problémák, Fletcher–Reeves, PARTAN Kvázi-Newton módszerek, legmélyebb leszállás és Newton módszer kombinációja. Legkisebb négyzetek módszere, Gauss–Newton és Levenberg–Marquardt algoritmus IV. Feltételek melletti optimalizálás: Tangens sík, regularitás - feltételek karakterizálása. Elsőrendű szükséges feltételek. Másodrendű szükséges és elégséges feltételek. Primál módszerek, megengedett irányok (Zoutendijk). Aktív halmaz stratégia, munkahalmaz, Langrange szorzók szerepe, érzékenység. Kuhn–Tucker tétel. Gradiensvetítés, lineáris feltételek esetén, nemlineáris feltételek esetén. A redukált gradiens módszer. Büntető és korlát függvények módszerei. Lokális dualitás tétel. Duál és metszősík módszerek. Lineáris komplementaritási feladat. A kvadratikus programozási feladat és a komplementaritási feladat kapcsolata. Belsőpontos algoritmusok.
D.G. Luenberger: Linear and Nonlinear Programming, second edition, Addison Wesley, 1984. M.S Bazaraa, H.D.Sherali, C.M.Shetty: Nonlinear Programming: Theory and Algorithms, John Wiley and Sons, New York, 1993, E.deKlerk, C.Roos, T.Terlaky: Nemlineáris optimalizálás, Operációkutatás sorozat, No. 5., Aula kiadó Nonlinear programming 3/1/0/v/5 Course coordinator: Gergely Mádi-Nagy Other instructors: Boglarka Toth I. Optimality conditions: first-order, second-order conditions (unconstrained optimization). Convexity, convex and concave functions. Point to set mappings, closed mapping, Global Convergence Theorem II. Line search algorithms: order and rate of convergence, Armijo’s rule. Fibonacci, harmonic division, Newton’s method. Curve-fitting algorithms. III. Unconstrained optimization: gradient method, Kantorovich-inequality, order of convergence. Newton’s method. Conjugate gradient method, Fletcher–Reeves, PARTAN, Quasi-Newton methods. Gauss–Newton és Levenberg–Marquardt algorithms IV. Constrained optimization: Constraint qualifications, First and Second Order Optimality Conditions. Primal methods, Zoutendijk’s algorithm. Lagrange multipliers, Kuhn–Tucker theorem. Gradient pojection, reduced gradient method. Penalty, Barrier, and Augmented Lagrangian Methods. Duality. Interior Point Methods. References: D.G. Luenberger: Linear and Nonlinear Programming, second edition, Addison Wesley, 1984 M.S. Bazaraa, H.D. Sherali, C.M. Shetty: Nonlinear Programming: Theory and Algorithms, John Wiley and Sons, New York, 1993 E. de Klerk, C. Roos, T. Terlaky: Nemlineáris optimalizálás, Operációkutatás sorozat, No. 5., Aula kiadó Sztochasztikus programozás 3/1/0/v/5 Tárgyfelelős: Szántai Tamás További oktatók Mádi-Nagy Gergely Statisztikai döntési elvek. Pétervári probléma, Bernoulli-elv és az újságárus probléma, holland gátmagasítási probléma, ‘safety first’ elv, Marschak döntési elv, a Bayes-i döntési elv, Markowitz elv, játékelmélet, Neumann János tétele. Konvexitási tételek. A logkonkáv mértékek elmélete. Általános konvexitási tételek. Valószínűségi eloszlásfüggvények konkávitási és kvázi-konkávitási tételei. Statikus sztochasztikus programozási modellek. Valószínűség maximalizálás. Egyedi, illetve együttes valószínűségi korlátokat tartalmazó sztochasztikus programozási feladatok elmélete és megoldási módszerei. Feltételes várható értéket tartalmazó modellek. Véletlen célfüggvényes modellek. Büntetéses sztochasztikus programozás elmélete és speciális esetekre vonatkozó megoldási módszerei: diszkrét eloszlás, egyenletes eloszlás esete. Dinamikus sztochasztikus programozási modellek. Kétlépcsős sztochasztikus programozási feladat és matematikai tulajdonságai. Diszkrét valószínűségi vektorváltozóra vonatkozó kétlépcsős sztochasztikus programozási feladat megoldása bázis dekompozíciós módszerrel. A Wets-féle , ‘L-shaped’ megoldási módszer. A sztochasztikus dekompozíció és a feltételes sztochasztikus dekompozíció módszere. Sztochasztikus kvázi-gradiens módszerek. Többlépcsős sztochasztikus programozási feladatok. Bázis dekompozíció és ‘L-shaped’ megoldó módszer a többlépcsős sztochasztikus programozási feladatok esetében. A sztochasztikus programozás néhány alkalmazása. Elektromos energia véletlen hatások melletti termelése és kapacitás bővítése. Erőművi megbízhatósági elemzések. Tó vízkészlet szabályozása. Tározók optimális irányítása. A PERT probléma. Pénzügyi modellek.
A. Prékopa: Stochasztic Programming, Kluwer Academic Publishers, Budapest, 1995 Stochastic programming 3/1/0/v/5 Course coordinator: Tamás Szántai Other instructors: Gergely Madi-Nagy Statistical decision principles. Petersburg's problem. Bernoulli-principle and the newsboy's problem, Dutch dike heightening problem, ‘safety first’ principle, Marschak's decision principle, the Bayesian decision principle, Markowitz's principle, game theory, Neumann's theorem. Convexity theorems. The theory of logconcave measures. General convexity theorems. Concavity and logconcavity of multivariate probability distribution functions. Statical stochastic programming models. Maximalizing the probability. Single and joint probabilistic constraints in the stochastic programming problems, solution methods. Models containing conditional expected values. Models with random objective functions. Penalty models of stochastic programming and their solution techniques: cases of discrete and uniform probability distributions. Dynamical stochastic programming models. Two stage stochastic programming problem and its mathematical properties. Basis decomposition technique for the solution of two stage stochastic problems with discrete probability distributions. ‘L-shaped’ solution method by Wets. Stochastic decomposition and conditional stochastic decomposition. Stochastic quasigradient methods. Multi stage stochastic programming problems. The basis decomposition and the ‘L-shaped’ method in the case of multi stage stochastic programming problems. Some applications of stochastic programming. Production of electrical energy with random effects, capacity expanding. Reliability analysis of power-plants. Water level regulation of a lake. Optimal control of water reservoirs. The PERT problem. Financial models.
A. Prékopa: Stochasztic Programming, Kluwer Academic Publishers, Budapest, 1995 Differenciált szakmai ismeretek : Számelmélet blokk Courses of specialization: Block of number theory Algebrai számelmélet 2/0/0/v/3 Tárgyfelelős: Wettl Ferenc További oktatók: Ivanyos Gábor Ízelítő: Gauss-egészek és Lagrange tétele, valós kvadratikus testek és Pell-egyenletek. Algebrai számok, algebrai egészek. Algebrai számtestek, nyom és norma. Rácsok, rendek, egész-zártság, törtideálok. Dedekind-gyűrűk és ezek tulajdonságai, ideálok faktorizációja, faktorizáció bővítésekben. Bevezetés az értékeléselméletbe; algebrai számtestek értékelései. A Dirichlet-féle log-leképezés, Dirichlet egységtétele, Pell-egyenletek. Minkowski tétele rácsokra. Ideálok normája. Az osztálycsoport végessége. Körosztási testek egészeiről, a Fermat-tétel reguláris prím kitevőre. A Hasse-elv kvadratikus alakokra. Betekintés az osztálytest elméletbe. Irodalom: Lang S.: Algebraic Number Theory, Springer, 2000 Niven I., Zuckerman H.S., Montgomery H.L.: An Introduction to the Theory of Numbers, Wiley, 1991 Freud R., Gyarmati E.: Számelmélet, Nemzeti Tankönyvkiadó, 2000 Ireland K., Rosen M.: A Classical Introduction to Modern Number Theory, Springer, 1998 Algebraic number theory 2/0/0/v/3 Course coordinator: Ferenc Wettl Other instructors: Gábor Ivanyos Motivation: Gaussian integers and Lagrange's theorem; real quadratic fields and the Pell equation. Algebraic numbers, algebraic integers, number fields, trace and norm. Lattices, orders, integral closure, fractional ideals. Dedekind rings, their basic properties, factorization of ideals, factorization in extensions. Introduction to the theory of valuations, valuations in number fields. The log map of Dirichlet, the unit theorem, Pell equations. Minkowski's theorem for lattices. Norm of ideals, finiteness of the class group. Integers in cyclotomic fields, Fermat's last theorem for regular prime exponents. The Hasse principle for quadratic forms. A glimpse into class field theory. References: Lang S.: Algebraic Number Theory, Springer, 2000 Niven I., Zuckerman H.S., Montgomery H.L.: An Introduction to the Theory of Numbers, Wiley, 1991 Freud R., Gyarmati E.: Számelmélet, Nemzeti Tankönyvkiadó, 2000 Ireland K., Rosen M.: A Classical Introduction to Modern Number Theory, Springer, 1998 Analitikus számelmélet 2/0/0/f/2 Tárgyfelelős: Sándor Csaba További oktatók: A tárgy célja, hogy a matematika egy klasszikus fejezetének módszereivel, eredményeivel megismertesse a hallgatókat. Partíciók, additív problémák, reprezentációfüggvények. A generátorfüggvény-módszer. Additív reprezentációfüggvények átlagának közelítése: Erdős–Fuchs tétel. Háromtagú számtani sorozatot nem tartalmazó sorozatok sűrűsége. Hardy–Ramanujan-féle partíció-tétel. Waring-probléma. Dirichlet-sorok; L-függvények és gyökeik. A Prímszámtétel bizonyítása. Irodalom: Donald J. Newman, Analytic Number Theory, Springer, 2000 Analytic Number Theory 2/0/0/f/2 Course coordinator: Csaba Sándor Other instructors: The aim of the course is to present some of the most important results and methods in this area. Topics included are: Partitions, additive problems, representation functions. The method of generating functions. Average of additive representation functions: Erdős–Fuchs Theorem. The density of sequences without 3-term arithmetic progressions. The Hardy–Ramanujan Partition Theorem. The Waring problem. Dirichlet series. L-series and their zeroes. Proof of Prime Number Theorem. Reference: Donald J. Newman, Analytic Number Theory, Springer, 2000 Algebrai és aritmetikai algoritmusok 3/1/0/f/5 Tárgyfelelős: Nagy Attila További oktatók: Horváth Erzsébet, Wettl Ferenc, Ivanyos Gábor Alapvető módszerek: műveletek egész számokkal, polinomokkal, mátrixokkal. A véges Fourier-transzformáció és alkalmazásai, a bilineáris bonyolultság elemei. Kínai maradéktétel, moduláris aritmetika. Prímtesztelés. Algoritmusok egész számok felbontására és a diszkrét logaritmus-feladatra. Kriptográfiai alkalmazások. Polinomok hatékony felbontása véges testek és algebrai számtestek felett. Elliptikus görbék, alapvető algoritmusok, ezek alkalmazásai. Moduláris algoritmusok és interpoláció. Hermite, Cauchy, Padé approximáció. Gröbner bázisok. Irodalom: Iványi Antal: Informatikai algoritmusok (Algebra, Komputer algebra, Számelmélet fejezetek)
Other instructors: Erzsébet Horváth, Ferenc Wettl, Gábor Ivanyos Fundamental methods: operations with integers, polynomials, matrices. Fast Fourier transformation and applications. Elements of bilinear complexity. Chinese remainder theorem, modular arithmetic. Primality testing. Algorithms for factoring integers, and for discrete logarithms. Applications to cryptography. Efficient decomposition of polynomials over finite fields and algebraic number fields. Elliptic curves, their basic algorithms, applications. Modular algorithms and interpolation. Hermite, Cauchy, Padé approximation. Gröbner bases. Reference: Antal Iványi: Informatics algorithms (Sections: Algebra, Comuter algebra, Number theory) Differenciált szakmai ismeretek : Sztochasztika blokk Courses of specialization: Block of stochastics Markov-folyamatok és martingálok 3/1/0/v/5 Tárgyfelelős: Balázs Márton További oktatók: Fritz József, Tóth Bálint 1. Martingálok: Ismétlés (Feltételes várható érték és toronyszabály, valószínűségi konvergenciatípusok és kapcsolataik, martingálok, megállított martingálok, Doob dekompozíció, kvadratikus variáció, maximál-egyenlőtlenségek, martingál konvergencia tételek, opcionális megállítás tétel, lokális martingálok.). Martingálok konvergenciahalmazai, a négyzetesen integrálható eset. Alkalmazások (pl. Gambler's ruin, urnamodellek, szerencsejáték, Wald-azonosságok, exponenciális martingál). Martingál CHT, alkalmazások. Höffding–Azuma egyenlőtlenség és alkalmazásai (pl. utazó ügynök probléma) 2. Markov láncok: Ismétlés (definíciók, állapotok osztályozása, stacionárius eloszlás, reverzibilitás, tranziencia-(null-)rekurrencia). Elnyelési valószínűségek. Martingálok alkalmazásai, Markov-lánc CHT. Markov-láncok és dinamikai rendszerek; ergodtételek Markov-láncokra. Bolyongások és elektromos áramkörök. 3. Felújítási folyamatok: Laplace transzformált, konvolúció. Felújítási folyamat, felújítási egyenlet. Felújítási tételek, regeneratív folyamatok. Stacionárius felújítás, felújítási paradoxon. Sorbanállási alkalmazások 4. Pontfolyamatok: Pontfolyamatok definíciója. Poisson pontfolyamat egy és több dimenzióban. Poisson folyamat transzformációi (jelölés és ritkítás, transzformálás függvénnyel, alkalmazások). Poisson pontfolyamatból származtatott pontfolyamatok 5. Diszkrét állapotterű Markov-folyamatok: Ismétlés (generátor, kapcsolat Markov-láncokkal, Kolmogorov előre és hátra egyenlet, állapotok osztályozása, tranziencia-(null-)rekurrencia, stacionárius eloszlás). Reverzibilitás, MCMC. Abszorbciós valószínűségek és elérési idők. Martingálok alkalmazásai (pl. ugró folyamatok kompenzátora). Markov-folyamatok és dinamikai rendszerek; ergodtételek Markov-folyamatokra. Lokálisan diszkrét állapotterű Markov-folyamatok: generátor tesztfüggvényeken Irodalom: Karlin, S.; Taylor, H. M.: Sztochasztikus folyamatok. Gondolat Kiadó, 1985 Budapest Lindvall, T.: Lectures on the Coupling Method. Dover Publications, Inc., Mineola, NY, 2002. Norris, J. R.: Markov chains. Cambridge University Press, Cambridge, 1998. Resnick, S.: Adventures in Stochastic Processes. Birkhäuser Boston, 1992. Rosenblatt, M.: Markov processes. Structure and Asymptotic Behavior. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1971. Williams, D.: Probability with Martingales. Cambridge University Press, 1991.
Other instructors: József Fritz, Bálint Tóth 1. Martingales: Review (conditional expectations and tower rule, types of probabilistic convergences and their connections, martingales, stopped martingales, Doob decomposition, quadratic variation, maximal inequalities, martingale convergence theorems, optional stopping theorem, local martingales). Sets of convergence of martingales, the quadratic integrable case. Applications (e.g. Gambler's ruin, urn models, gambling, Wald identities, exponential martingales). Martingale CLT. Azuma-Höffding inequality and applications (e.g. travelling salesman problem) 2. Markov chains: Review (definitions, characterization of states, stationary distribution, reversibility, transience-(null-)recurrence). Absorbtion probabilites. Applications of martingales, Markov chain CLT. Markov chains and dynamical systems; ergodic theorems for Markov chains. Random walks and electric networks 3. Renewal processes: Laplace transform, convolution. Renewal processes, renewal equation. Renewal theorems, regenerative processes. Stationary renewal processes, renewal paradox. Examples: Poisson process, applications in queueing 4. Point processes: Definition of point processes. The Poisson point process in one and more dimensions. Transformations of the Poisson point process (marking and thinning, transforming by a function, applications). Point processes derived from the Poisson point process. 5. Discrete state Markov processes: Review (infinitesimal generator, connection to Markov chains, Kolmogorov forward and backward equations, characterization of states, transience-(null-)recurrence, stationary distribution). Reversibility, MCMC. Absorption probabilities and hitting times. Applications of martingales (e.g. compensators of jump processes). Markov processes and dynamical systems; ergodic theorems for Markov processes. Markov chains with locally discrete state space: infinitesimal generator on test functions References: Karlin, S.; Taylor, H. M.: Sztochasztikus folyamatok. Gondolat Kiadó, 1985 Budapest Lindvall, T.: Lectures on the Coupling Method. Dover Publications, Inc., Mineola, NY, 2002. Norris, J. R.: Markov chains. Cambridge University Press, Cambridge, 1998. Resnick, S.: Adventures in Stochastic Processes. Birkhäuser Boston, 1992. Rosenblatt, M.: Markov processes. Structure and Asymptotic Behavior. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1971. Williams, D.: Probability with Martingales. Cambridge University Press, 1991.
További oktatók: Fritz Jószef, Szabados Tamás, Tóth Bálint Bevezetés, ismétlés: Ito-integrál Wiener-folyamat szerint, integrálás folytonos martingál szerint, többdimenziós sztochasztikus integrál. Lokális idő: Egydimenziós bolyongás lokális ideje, inverz lokális idő, diszkrét Ray–Knight-tétel. Egydimenziós Brown-mozgás lokális ideje és a folytonos Ray–Knight-tétel. Tanaka-formula és alkalmazásai. Szkorohod-tükrözés, tükrözött Brown-mozgás, P. Lévy egy tétele. Sztochasztikus differenciálegyenletek: A diffúziós alappéldák (Ornstein–Uhlenbeck, Bessel, Bessel-squared, exponenciális Brown) SDE-i. Transzformált diffúzió SDE-je. Gyenge és erős megoldások, létezés, egyértelműség, nem-egyértelműség. Peremfeltételek és az infinitezimális generátor pontos értelmezése. Sztochasztikus differenciálegyenletek alkalmazásai fizikában, populáció dinamikában, gazdaságtudományban. Diffúziók: Alappéldák: Ornstein–Uhlenbeck-, Bessel-, Bessel-squared-folyamatok, geometriai Brown-mozgás. Diffúziók mint sztochaszikus integrálok és mint Markov-folyamatok. Infinitezimális generátor, sztochasztikus félcsoport. A martingál-probléma. Kapcsolat parabolikus és elliptikus parciális differenciálegyenletekkel. Feynman–Kac-formula. Idő-csere és Cameron–Martin–Girszanov-formula. Egydimenziós diffúziók sajátosságai: Skála-függvény és sebesség-mérték. Peremfeltételek egy pontban. Idő-megfordítás. Alkalmazások konkrét folyamatokra. Speciális kiegészítő fejezetek: Brownian excursion, kétdimenziós Brown-mozgás, SLE, Markov-folyamatok additív funkcionáljai. Irodalom: K.L. Chung, R. Williams: Introduction to stochastic integration. Second edition. Birkauser, 1989 N. Ikeda, S. Watanabe: Stochastic differential equations and diffusion processes. Second edition. North Holland, 1989 K. Ito, H.P. McKean: Diffusion processes and their sample paths. Springer, 1965 J. Jacod, S.N. Shiryaev: Limit theorems for stochastic processes. Springer, 1987 S. Karlin, H.M. Taylor: A second course in stochastic processes. Academic, 1981 D. Revuz, M. Yor: Continuous martingales and Brownian motion. Third edition. Springer, 1999 válogatott cikkek, előadó jegyzetei Stochastic differential equations 3/1/0/v/5 Course coordinator: Balázs Székely Other instructors: Jószef Fritz, Tamás Szabados, Bálint Tóth Introduction. Itô integral with respect to the Wiener process and continuous martingale, multi-dimensional stochastic integral. Local time. Local time of random walks on the line. Inverse local time, discrete Ray–Knight theorem. Local time of Brownian motion and Ray–Knight theorem. Tanaka formula and its applications. Skorohod reflection, reflected Brownian motion, a theorem by P. Lévy. Stochastic differential equations. SDEs of diffusions: Ornstein–Uhlenbeck, Bessel, Bessel-squared, exponential Brownian motion. SDE of transformed diffusions. Weak and strong solutions, existence and uniqueness. SDE with boundary conditions. Interpretation of the infinitesimal generator. Applications to physics, population dynamics, and finance. Duffusions. Basic examples: Ornstein–Uhlenbeck, Bessel, Bessel-squared, geometrical Brownian motion. Interpretation as stochastic integrals, and Markov processes. Infinitesimal generator, stochastic semi-groups. Martingale problem. Connection with parabolic and elliptic partial differential equations. Feyman–Kac formula. Time-change. Cameron–Martin–Girsanov formula. One-dimensional diffusions. Scale function and speed measure. Boundary conditions. Time-inversion. Application to special processes. Special selected topics. Brownian excursion. Two-dimensional Brownian motion, Brownian sheet. SLE. Additive functionals of Markov processes. References: K.L. Chung, R. Williams: Introduction to stochastic integration. Second edition. Birkauser, 1989 N. Ikeda, S. Watanabe: Stochastic differential equations and diffusion processes. Second edition. North Holland, 1989 K. Ito, H.P. McKean: Diffusion processes and their sample paths. Springer, 1965 J. Jacod, S.N. Shiryaev: Limit theorems for stochastic processes. Springer, 1987 S. Karlin, H.M. Taylor: A second course in stochastic processes. Academic, 1981 D. Revuz, M. Yor: Continuous martingales and Brownian motion. Third edition. Springer, 1999 selected papers, lecture notes Határeloszlás- és nagy eltérés tételek 3/1/0/v/5 Tárgyfelelős: Tóth Bálint További oktatók: Balázs Márton, Fritz József, Szász Domokos I. rész: Határeloszlás-tételek: Valószínűségi mértékek és eloszlások gyenge konvergenciája Feszesség: Helly-Prohorov-tétel. Határeloszlás-tételek puszta kézzel: Tükrözési elv alkalmazása bolyongásra: Paul Lévy arcussinus tételei, maximum, lokális idő és első elérések határeloszlása. Független és azonos eloszlású valószínűségi változók maximumának határeloszlása, extremális eloszlások. Határeloszlás-tétel a szelvénygyüjtő (coupon collector) problémájára. Határeloszlás-tétel bizonyítása momentum-módszerrel. Határeloszlás-tétel bizonyítása karakterisztikus függvény módszerével. Lindeberg-tétel alkalmazásai. Erdős–Kac-tétel: CHT a prímosztók számára. Stabilis eloszlások. Szimmetrikus stabilis eloszlások karakterisztikus függvényeinek jellemzése. Konvergencia szimmetrikus stabilishoz. Alkalmazások. Általános (nem szimmetrikus) stabilis eloszlás karakterisztikus függvényének jellemzése, ferdeség. Határeloszlás-tétel nem szimmetrikus esetben. Korlátlanul osztható eloszlások: Lévy–Hincsin-formula, Lévy-mérték. Poisson pont folyamatok és kapcsolatuk korlátlanul osztható eloszlásokkal. Korlátlanul osztható eloszlások mint széria-sorozatok határeloszlása. Alkalmazások. Lévy-folyamatok – bevezetés: Lévy–Hincsin formula és a folyamatok felbontása. Pozitív (növekvő, szubordinátor) és korlátos változású Lévy-folyamatok. Stabilis folyamatok. Példák és alkalmazások. II. rész: Nagy eltérés tételek: Bevezetés: Ritka események és nagy eltérések, nagy eltérés elv (LDP), nagy eltérések számolása puszta kézzel (Stirling-formulával). Kombinatorikus módszerek: Típusok módszere, Szanov-tétel véges abc-re. Nagy eltérés tételek véges dimenzióban: Bernstein-egyenlőtlenség, Chernov-korlát. Cramer-tétel. Konvex analízis elemei, konvex konjugálás véges dimenzióban, Cramer tétel R^d-ben. Gartner–Ellis-tétel. Alkalmazások: nagy eltérés tételek bolyongásokra, véges állapotterű Markov-láncok trajektóriájának empirikus eloszlására, statisztikai alkalmazások. Általános elmélet: Nagy eltérés elvek általában. Kontrakciós elv és Varadhan-lemma. Nagy eltérések topologikus vektorterekben, függvényterekben, absztrakt konvex analízis. Alkalmazások: Schilder-tétel, Gibbs feltételes mérték és statisztikus fizika elemei.
A. Dembo, O. Zeitouni: Large deviation techniques and application. Springer, 1998 R. Durrett: Probability: theory and examples. Second edition. Duxbury, 1996 B.V. Gnedenko, A.N. Kolmogorov: Független valószínűségi változók összegeinek határeloszlásai W. Feller: An introduction to probability theory and its applications. Vol.2. Wiley, 1970 D.W. Stroock: An introduction to the theory of large deviations. Springer, 1984 S.R.S. Varadhan: Large deviations and applications. SIAM Publications, 1984 D. Williams: Probability with martingales. Cambridge UP, 1990 Cikkek, előadók jegyzetei
Other instructors: Márton Balázs, József Fritz, Domokos Szász Yüklə 2,73 Mb. Dostları ilə paylaş:
|
-ban (k>1) különböző kezdőpontból indított független Brown mozgások trajektóriái lehetséges metszetének vizsgálata.