A mesterképzésre vonatkozó akkreditációs követelmények és a vonatkozó jogszabályok áttekintése folyamatban van

Partial differential equations 1 2/2/0/v/6

Course coordinator: Barnabás Garay

Other instructors: József Fritz
Laplace–Poisson equation with Dirichlet boundary condition. Classical solutions: uniqueness, continuous dependence, maximum principle, integral representations, example for nonexistence.

Generalized/weak solutions: Sobolev spaces, Dirichlet variational principle, well-posedness, finite elements method. Connections to functional analysis: the justifying facts behind the separation of variables method. Boundary value problems for ordinary differential equations, calculus of variations. Elliptic, parabolic and hyperbolic equations: a comparison.

References:

Jürgen Jost: Partial Differential Equations, Springer, Berlin, 2002

Funkcionálanalízis 4/2/0/v/6
Tárgyfelelős: Petz Dénes

További oktatók: Horváth Miklós, Nagy Béla, Matolcsi Máté

Lineáris terek (lineáris függetlenség és összefüggőség, lineáris leképezések, algebrai duális, lineáris leképezések mátrixa). Lineáris terek tenzorszorzata (szimmetrikus és antiszimmetrikus tenzorszorzat, bázisok, determináns).

Normált terek (példák, Hölder- és Minkowski-egyenlőtlenségek, lineáris leképezések folytonossága és korlátossága, operátor normája). Banach-terek (példák, normált tér teljes burka, abszolút konvergens sorok konvergenciája és átrendezhetősége, az exponenciális függvény, Neumann-sor).

Nevezetes tételek Banach-terekben (nyílt leképezés tétele, egyenletes korlátosság tétele, alkalmazás Fourier-sorokra, zárt gráf tétel)

Duális tér ( terek duálisa, Hahn–Banach-tétel, a folytonos függvények terének duálisa). Hilbert-tér (bázis szerinti kifejtés, példák, Riesz-lemma, projekció tétel, Riesz-féle reprezentációs tétel). Speciális függvények (Hermite-, és Legendre-polinomok, sorfejtések). Hilbert-terek és lineáris operátorok tenzorszorzata.

Az adjungált (korlátos operátor adjungáltja, önadjungált operátorok, unitér operátorok és projekciók, példák).

Topológiák (gyenge topológia a Hilbert-téren, operátorok pontonkénti konvergenciája és pontonkénti gyenge konvergenciája, önadjungált operátorok monoton sorozata, unitérek topologikus csoportja). A Haar-mérték lokálisan kompakt topologikus csoportokon.

Korlátos operátor spektruma (a spektrum osztályozása, spektrál sugár, rezolvens).

Kompakt operátorok (a kompakt operátorok ideálja, Hilbert–Schmidt-féle integráloperátor, Green-függvény, Riesz–Schauder tétel).

A Fourier-transzformáció (az L1-téren, kiterjesztés az L2-tér unitér operátorává, spektruma, a Fourier-transzformált differenciálhatósága, a Schwartz-tér és topológiája, duálisa, disztribúciók). Nemkorlátos operátorok (az adjungált és szimmetrikus operátorok, a Laplace-operátor, példák).

A spektráltétel (projektormértékek, önadjungált operátorok folytonos függvénykalkulusa, a spektráltétel korlátos önadjungált operátora, pont és folytonos spektrum a spektrálmértékből).

Egy-paraméteres unitér csoportok (kétfajta folytonosság, az eltolás csoport, Fourier-traszformált, Stone-tétel).
Irodalom:

Petz Dénes: Lineáris analízis, Akadémiai Könyvkiadó, 2003

Functional analysis 4/2/0/v/6
Course coordinator: Dénes Petz

Other instructors: Miklós Horváth, Béla Nagy, Máté Matolcsi

Vector spaces (linear independence and dependence, linear maps, algebraic dual, matrix of linear maps). The tensor product of linear maps (symmetric and antisymmetric tensor product, bases, determinant).

Normed spaces (examples, Hölder and Minkowski inequalities, continuous and bounded linear maps, the norm of operators).

Banach spaces (examples, completion of normed spaces, absolutely convergent series, the exponential function, spectrum, Neumann series). The theorem of open mapping, uniform boundedness, closed graph theorem, applications.

Dual spaces ( spaces, Hahn–Banach theorem, the dual of the space of continuous functions).

Hilbert spaces (expansion of vectors, Riesz lemma, projection theorem, Riesz representation theorem).

Special functions (Hermite and Legendre polynomials, expansions).

Tensor product of Hilbert spaces and operators.

Adjoint operator. Special operators (self-adjoint, unitary, projections and normal operators).

Topologies (weak topology on Hilbert spaces, pointwise and weak pointwise convergence of operators, monotone sequence of selfadjoint operators, topological group of unitaries).

Haar measure on locally compact topological groups.

Spectrum of a bounded operator (parts of the spectrum, spectral radius, resolvent).

Compact operators (The ideal of compact operators, Hilbert-Schmidt integral operators, Riesz-Schauder theorem, Green functions).

Fourier transformation (on L_1, unitary extension to L_2, spectrum, differentiability of a Fourier transform, the topology of the Schwartz space, its dual, distributions). Unbounded operators (adjoint operator, symmetry, Laplace operator, examples). The spectral theorem (projection-valued measures, functional calculus of selfadjoint operators, the spectral theorem for bounded selfadjoint operators, point spectrum, continuous spectrum from the spectral measure). One-parameter unitary semigroups ( two types of continuity, Fourier transform, Stone theorem).
References:

Petz Dénes: Lineáris analízis, Akadémiai Könyvkiadó, 2003

Numerikus módszerek 1 4/0/2/v/6
Tárgyfelelős: Horváth Miklós

További oktatók: Gyurkovics Éva

MATLAB numerikus szoftver használata. Hibaszámítás. Lineáris egyenletrendszerek direkt es iteratív megoldása: Gauss elimináció, Gauss transzformáció. Mátrixok faktorizációi. Lineáris egyenletrendszerek kondicionáltsága. Jacobi-, Seidel-, SOR iteráció; az iteráció konvergenciája, hibabecslése.

Optimalizációs típusú eljárások lineáris egyenletrendszerek megoldására. Sajátértékek becslése.

Hatványmódszer mátrixok sajátérték-sajátvektor feladatára. Inverz hatvány módszer. Mátrixok speciális alakra való transzformálása. Jacobi módszer sajátértékek és sajátvektorok meghatározására. QR módszer sajátértékek meghatározására. Közönséges interpoláció polinommal. Hermite-féle interpoláció. Interpoláció harmadfokú spline-nal. Közelítés legkisebb négyzetek értelemben polinommal és trigonometrikus polinommal; trigonometrikus interpoláció; a gyors Fourier-transzformáció alapja.

Numerikus integrálás: Newton–Cotes formulák és alkalmazásuk. Gauss-típusú kvadratúrák. Nemlineáris egyenletrendszerek megoldása. Polinomok gyökei. Közönséges differenciálegyenletek kezdetiérték feladatainak numerikus megoldása: egylépéses módszerek alapfogalmai; Runge–Kutta formulák, egylépéses módszerek stabilitása, konvergenciája és hibabecslése. Többlépéses módszerek.

Irodalom:

Stoyan G., Tako G.: Numerikus módszerek I-II, Typotex, Budapest, 1993, 1995

J. Stoer, R. Bulirsch: Introduction to Numerical Analysis, 1980

A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri: Numerical Mathematics, 2000

Numerical methods 1 4/0/2/v/6
Course coordinator: Miklós Horváth

Other instructors: Éva Gyurkovics

Elements of using the software Matlab. Calculus of errors. Direct and iterative methods in solving linear systems of equations: Gaussian elimination, Gauss transform. Factorizations of matrices. Condition numbers of matrices, Jacobi, Seidel and SOR iterations, convergence, error estimates. Optimization methods for linear systems.

Estimating the eigenvalues. The power method to find eigenvalues and eigenvectors. Inverse power method. Transformation of matrices into special forms. Jacobi method. QR method.

Interpolation by polynomials: Lagrange, Hermite, spline interpolation. Least squares in approximating by polynomials or by trigonometric polynomials. Trigonometric interpolation, fast Fourier transform.

Numerical integration: Newton-Cotes formulae, Gaussian quadratures.

Solving nonlinear equations. Roots of polynomials.

Initial value problems for ODE: one-step methods, Runge–Kutta methods, stability, convergence, error estimates. Multistep methods.

References:

A. Quarteroni, R. Sacco and F. Saleri: Numerical Mathematics, New York, Springer 2000

J. Stoer and R. Bulirsch: Introduction to Numerical Analysis, New York, Springer 2002

Stoyan Gisbert: Takó Galina Numerikus Módszerek I-II., ELTE Typotex, 1993, 1995

Elméleti alapozás: Diszkrét matematika és számítástudomány blokk

Theoretical foundations: Block of discrete mathematics and computer science

Kombinatorika és gráfelmélet 1 2/1/0/v/4
Tárgyfelelős: Recski András

További oktatók: Simonyi Gábor

Leszámlálások (permutációk, variációk, kombinációk, binomiális tétel, binomiális együtthatókra vonatkozó tételek). Nevezetes leszámlálási módszerek, skatulya-elv, szita-módszer. Rekurziók és generátorfüggvények. Fibonacci-számok, állandó együtthatós homogén lineáris rekurziók általában, Catalan-számok.

Gráfelméleti alapfogalmak, pont, él, fokszám, izomorfia, út, kör, összefüggőség. Fák, Cayley-tétel, Prüfer-kód. Páros gráfok, jellemzésük. Párosítások, König-Hall-Frobenius tétel. König tételei, Tutte tétele, Gallai tételei.

Hálózati folyamok, Ford-Fulkerson tétel, Edmonds-Karp tétel. Kiterjesztések. Menger-tételek. Magasabb összefüggőség, Dirac-tétel, Petersen-tétel. Euler-körök és utak. Euler tétele. Hamilton-körök és utak. Hamilton-kör létezésének szükséges feltétele. Elégséges feltételek: Dirac és Ore tételei.
Irodalom:

Katona - Recski - Szabó, A számítástudomány alapjai, Typotex, Budapest, 2002

Combinatorics and graph theory 1 2/1/0/v/4
Course coordinator: András Recski

Other instructors: Gábor Simonyi

Enumerations (permutations, variations, combinations, binomial theorem, theorems concerning binomial coefficients). Methods of enumeration, pigeonhole-principle, sieve method. Recursions and generating functions. Fibonacci numbers, homogeneous linear recursions with constant coefficients in general, Catalan numbers.

Basic notions of graph theory, vertex, edge, degree, isomorphy, path, circle, connectedness. Trees, Cayley’s theorem, Prüfer code. Bipartite graphs and their characterization. Matchings, König-Hall-Frobenius theorem, König’s theorems, Tutte’s theorem, Gallai’s theorem.

Networks and flows, Ford-Fulkerson theorem, Edmonds-Karp theorem. Extensions. Menger’s theorems. Higher order connectivity, Dirac’s theorem, Petersen’s theoem. Euler circles and paths. Euler’s theorem. Hamilton circles and paths. Necessary condition for existence of Hamilton circle. Sufficient conditions: Dirac’s and Ore’s theorems.

References:

Katona - Recski - Szabó, A számítástudomány alapjai, Typotex, Budapest, 2002


Kombinatorika és gráfelmélet 2 2/1/0/f/3
Tárgyfelelős: Recski András

További oktatók:Simonyi Gábor

Síkbarajzolhatóság, viszonya a gömb és a tórusz felszínére való rajzolhatósághoz, sztereografikus projekció, Euler-formula. Kuratowski-tétel, Fáry-Wagner tétel Geometriai és absztrakt dualitás, 2-izomorfia, Whitney tételei. Pont- és élszínezési alapfogalmak, Mycielsky-konstrukció. Brooks-tétel. Ötszíntétel. Vizing-tétel. Élszínezés kapcsolata teljes párosításokkal, Petersen-tétel. Dinitz-probléma, lista-színezés, Galvin tétele. Perfekt gráfok. Intervallumgráfok. Perfekt gráf tétel. Ramsey-tétel, Erdős-Szekeres tétel, Erdős-féle alsó becslés, pár szó a valószínűségi módszerről. Turán-tétel. Erdős-Stone tétel, Erdős-Simonovits tétel. Hipergráfok. Erdős - Ko - Rado tétel, Sperner-tétel, LYM-egyenlőtlenség. De Bruijn - Erdős tétel. Véges síkok, konstrukciójuk véges testből, differencia-halmazból. Bruck - Ryser tétel.
Irodalom:

Katona - Recski - Szabó, A számítástudomány alapjai, Typotex, Budapest, 2002

Combinatorics and graph theory 2 2/1/0/f/3
Course coordinator: András Recski

Other instructors: Gábor Simonyi

Planarity and its relation to embeddibility into the surface of the sphere and torus, stereographic projection, Euler’s formula. Kuratowski’s theorem, Fáry-Wagner theorem. Geometric and abstract duality, 2-isomorphy. Whitney’s theorems. Basic notions of vertex and edge colouring, Mycielsky’s construction. Brooks’ theorem. Five colours theorem. Vizing’s theorem. Relations of edge colouring with perfect matchings, Petersen’s theorem. Dinitz problem, list colouring, Galvin’s theorem. Perfect graphs. Interval graphs. Perfect graph theorem. Ramsey’s theorem, Erdős-Szekeres theorem, Erdős’s lower bound, probabililstic methods in graph theory. Turán’s theorem, Erdős-Stone theorem, Erdős-Simonovits theorem. Hypergraphs. Erdős - Ko – Rado theorem, Sperner’s theorem, LYM inequality. De Bruijn – Erdőstheorem. Finita planes, their construction from finite fields and from difference sets. Bruck/Ryser theorem.
References:

Katona - Recski - Szabó, A számítástudomány alapjai, Typotex, Budapest, 2002

Algoritmuselmélet 2/2/0/f/4
Tárgyfelelős: Friedl Katalin

További oktatók: Ivanyos Gábor, Rónyai Lajos

Kereső algoritmusok. Alapvető adatszerkezetek: keresőfa, kiegyensúlyozott keresőfa (AVL-fa), B-fa, Hash-tábla, kupac. Rendező algoritmusok: buborék rendezés, beszúrásos rendezés, összefésülés, kupacos rendezés, gyorsrendezés, ládarendezés, radix; alsó becslés az összehasonlító rendezéseknél a lépésszámra.

Alapvető gráfalgoritmusok: mélységi, szélességi bejárás és alkalmazásaik (összefüggő és erősen összefüggő komponensek meghatározása, maximális párosítás páros gráfokban); legrövidebb utak keresése (Dijkstra, Bellman-Ford, Floyd algoritmusa); minimális költségű feszítőfa keresése (Prim módszere, Kruskal algoritmusa unió-holvan adatszerkezettel).

Általános algoritmustervezési módszerek (elágazás és korlátozás, dinamikus programozás).

Közelítő algoritmusok. A bonyolultságelmélet elemei: NP, NP-teljesség.

Irodalom:

Rónyai Lajos, Ivanyos Gábor, Szabó Réka: Algoritmusok, Typotex, Budapest

Feladatgyűjtemény: a tanszéki honlapról elérhető


Theory of algorithms 2/2/0/f/4
Course coordinator: Katalin Friedl

Other instructors: Gábor Ivanyos, Lajos Rónyai

Searching methods, fundamental data structures: search trees, balanced search trees (AVL-trees), B-trees, hash tables, heaps. Sorting methods: bubblesort, insertion sort, merge sort, heapsort, quicksort, binsort, radix sort. Lower bound for the comparison based algorithms.

Fundamental graph algorithms: depth-first search, breadth-first search, their applications (connected and strongly connected components, maximal matching in bipartite graphs); shortest path algorithms (Dijkstra, Bellman-Ford, Floyd); algorithms for minimum weight spanning trees (Prim, Kruskal) union-find data structure.

General algorithm design techniques (branch and bound, dynamic programming, greedy methods). Approximation algorithms. The elements of complexity theory, NP, NP completeness.
References:

Rónyai Lajos, Ivanyos Gábor, Szabó Réka: Algoritmusok, Typotex, Budapest

Problems and excercises are on the webpage of the department

Kriptográfia és kódelmélet 3/0/0/v/3
Tárgyfelelős: Rónyai Lajos

További oktatók: Wettl Ferenc, Ivanyos Gábor

Klasszikus kriptográfia elemei. A modern kriptográfia alapjai: a bonyolultságelmélet, számelmélet, valószínűségszámítás kriptográfiában felhasznált fogalmainak rövid áttekintése.

Kiszámíthatóság - egyirányú függvények (diszkrét logaritmus, RSA-függvény, Rabin négyzetre emelés

függvénye, prím faktorizációval való kapcsolatuk). Álvéletlen generátorok, álvéletelen függvények. Nemfeltáró bizonyítások, és létezésük NP-problémákra.

Kódolás és hitelesítés módszerei (privát kulcsú rendszerek, szimmetrikus titkosítási sémák, nyilvános kulcsú rendszerek: RSA-, Rabin-, hátizsák rendszerek, digitális aláírás), kulcs csere (Diffie-Hellman). Kriptográfiai protokollok: két résztvevős protokollok (oblivious transzfer, bit rábízás, ...), több résztvevős protokollok, titokmegosztás, elektronikus választás, digitális pénz.

Alapvető kommunikációs-és hibamodellek. A bináris szimmetrikus csatorna. Kódolás, dekódolás, Hamming-távolság. A (blokk)kódok alapvető paraméterei. Ismétlés: véges testek aritmetikájának rövid áttekintése, létezés, bázisok, primitív elemek, polinomok véges testek felett, számolás véges testekben. Lineáris kódok, generátormátrix, paritás-ellenőrző mátrix. Szindrómákon alapuló dekódolás. A Hamming-kód. Ciklikus kódok, generátor-polinom, ellenőrző polinom. Ciklikus kódok és ideálok. BCH-kódok. Korlát hibajavító képességükre. Berlekamp-Massey-algoritmus. Reed-Solomon- és Justensen-kódok. Az MDS-korlát, optimális kódok. Golay-kódok, perfekt kódok. Korlátok a kódparaméterekre: Varshamov-Gilbert, Delsarte, gömbkitöltési. Reed-Muller-kódok. Kapcsolatuk a Boole-függvényekkel. Goppa-kódok, nem lineáris kódok, konvolúciós kódok.
Irodalom:

R. Lidl, H. Niederreiter: Introduction to finite fields and their applications. Cambridge University Press, 1986.

Madhu Sudan : Algorithmic Introduction to Coding Theory. elektronikus jegyzet, MIT

Buttyán L. Vajda I. Kriptográfia és alkalmazásai. Typotex, 2004.

Cryptography and coding theory 3/0/0/v/3
Course coordinator: Lajos Rónyai

Other instructors: Ferenc Wettl, Gábor Ivanyos

Elements of classical cryptography. The foundations of modern cryptography: review of number theory, complexity, probability techniques relevant here.

Computability, one way functions(RSA, discrete log, Rabin squaring, prime factorization). Pseudo-random generators, zero knowledge proofs, their

existence for problems in NP.

Encryption and authentication methods (private keys, symmetric schemes, public key systems, digital signatures, key exchange).

Cryptographic protocols, secret sharing, digital cash.

Communication and error models, coding, decoding, Hamming space.

Block codes, linear codes. Generator and parity check matrices, syndromes.Hamming codes. Cyclic codes, their basic properties. BCH-codes and their decoding (Berlekamp-Massey). Reed-Solomon codes, Justesen codes, MDS-codes.

Golay codes and perfect codes. Bounds for the parameters of a code (Varshamov-Gilbert, sphere packing, Delsarte). Reed-Muller codes. Goppa codes, nonlinear codes, convolution codes.

References:

R. Lidl, H. Niederreiter: Introduction to finite fields and their applications. Cambridge University Press, 1986.

Madhu Sudan : Algorithmic Introduction to Coding Theory. elektronikus jegyzet, MIT

Buttyán L. Vajda I. Kriptográfia és alkalmazásai. Typotex, 2004.

Informatika 2. 1/0/1/f/2
Tárgyfelelős: Tóth János

További oktatók: Wettl Ferenc

A tárgy célja a komputer algebra programrendszerek megismerése és azok programozásának elsajátítása. A félév végén a hallgatók egy néhány oldalas tanulmányt írnak valamely maguk választotta témából, melynek megoldásához komputer algebra rendszert használnak. Tematika: A komputer algebra rendszerek nyelvi sajátosságai. A legismertebb pogramrendszerek (Maple és a Mathematica) részletes ismertetése. A komputer algebra rendszerekben megvalósított programozási paradigmák (szabály alapú, funkcionális, logikai programozás) áttekintése.
Irodalom:

Molnárka Győző, Gergó Lajos, Wettl Ferenc, Horváth András,

Kallós Gábor: A Maple V és alkalmazásai. Springer-Verlag, 1996.

Szili László, Tóth János: Matematika és Mathematica. Eötvös Kiadó. 1996.

Online Maple, Mathematica és GAP könyvek.

Informatics 2 1/0/1/f/2
Course coordinator: János Tóth

Other instructors: Ferenc Wettl

The objective of the course is to introduce the students to the use and programming of computer algebra systems. At the end of the course, the students are expected to solve a complex problem with the aid of computer algebra tools, and write a short paper about that.

Topics: characteristics of symbolic computational languages. Maple, Mathematica, and other known platforms. Programming paradigms relevant in this setting (rule based, functional. logic based programming).

References:
Molnárka Győző, Gergó Lajos, Wettl Ferenc, Horváth András, Kallós Gábor: A Maple V és alkalmazásai. Springer-Verlag, 1996.

Szili László, Tóth János: Matematika és Mathematica. Eötvös Kiadó. 1996.

Online Mathematica, Maple and GAP tutorials and reference works

Informatika 4 0/0/4/f/4
Tárgyfelelős: Pröhle Péter

További oktatók: Wettl Ferenc

ALCÍM: Egy nagyteljesítményű programozási rendszer megismerése, és a szoftverfejlesztés alapjai

A CÉL egy, a természettudományos és nagy gyakorlati problémák kezelésére gyakran használt nyelv (pl.: C++) megismerése, és segítségével egy összetettebb feladat megoldása.

RÉSZLETES TEMATIKA:

A nyelv haladó szintű megismerése, konstruálás orientált interfészek (flex, bison, XML parzerek, …), választás orientált interfészek (portábilis GUI, C++ esetén pl.: wxWidgets, Qt, ...).

Nagy projektek és programok részekre bontása. Programrészek kommunikációs felületei, interfészek, absztrakt osztályok, szerializáció. Eseményvezérlet programozás. Grafikus és web-es felhasználói felület, XML web-szolgáltatások. Modell-view-kontroller architektúra. Integrált fejlesztő rendszerek (pl.: GNU-Emacs, KDevelop, Eclipse).

Felhasználóbarát szoftverfejlesztés. Szoftvertesztelés, szoftver minősége (regressziós teszt, fordítási figyelmeztetések, típusosság, futási idejű memóriahasználat ellenőrzés, futási idejű nyomkövetés). Modell alapú szoftverfejlesztés (Petri háló, UML).

Irodalom:

Online dokumentációk nagy választékban és a három klasszikus könyv:

Brian W. Kernighan, Dennis M. Ritchie: A C programozási nyelv, Műszaki, 2004

Brian W. Kernighan, Rob Pike: A Unix operációs rendszer, Műszaki, 1999

Stroustrup, Bjarne: A C++ programozási nyelv, Budapest, Kiskapu, 2001

Informatics 4 0/0/4/f/4
Course coordinator: Péter Pröhle

Other instructors: Ferenc Wettl

SUBTITLE: A programming language of high performance and the basics of software development.

THE GOAL is to study a programming language (e.g.: C++) frequently used for handling scientific calculations and huge practical problems, and to solve a more complex problem as a case study.

DETAILED SYLLABUS:

Advanced study of the language in question, construction oriented interfaces (flex, bison, XML parsers, …), selection oriented interfaces (portable GUI, in case of C++: wxWidgets, Qt, ...).

Reducing the huge programs and projects to a structure of modules. Structural interfaces and communication protocols between the modules, abstract classes, serialisation, event driven flow control. Graphical and WEB-oriented user interfaces, XML. Model-view-controller architecture. Integrated develepment environments (e.g.: GNU-Emacs, KDevelop, Eclipse).

User friendly software development. Testing, evaluating and the quality of softwares (regression test, compiler warnings, type checking, run time check of memory usage and flow control). Modell based software development (Petri nets, UML).

References:

The wast amount of online documentations and the a three classical books:

Brian W. Kernighan, Dennis M. Ritchie: The C Programming Language, (Hungarian: Műszaki, 2004)

Brian W. Kernighan, Rob Pike: The Unix Programming Environment, (Hungarian: Műszaki, 1999)

Stroustrup, Bjarne: The C++ Programming Language, (Hungarian: Kiskapu, 2001)
Elméleti alapozás: Geometria blokk

Theoretical foundations: Block of geometry