A mesterképzésre vonatkozó akkreditációs követelmények és a vonatkozó jogszabályok áttekintése folyamatban van

Geometria 4/2/0/v/6

Tárgyfelelős: G. Horváth Ákos

További oktatók: Molnár Emil

Az elemi euklideszi és hiperbolikus sík- és térgeometria axiomatikus felépítésének vázlata. Modellek. Az egybevágósági transzformációk osztályozása tükrözésekkel. Inverzió. Vektorgeometria elemei, vektoriális és vegyes szorzat, elemi terület- és térfogatmérés. Koordinátázás, az egybevágóságok analitikus kezelése. Térelemek analitikus geometriája, homogén koordináták, kollineációk analitikus alakja. Összefüggőség, homeomorfizmus, görbe, felület fogalma. Sokszögek és poliéderek. Euler féle poliédertétel. Szabályos poliéderek, Cauchy poliédertétel. Gömbi geometria és trigonometria. Az n-dimenziós szabályos poliéderek. Másodrendű felületek, másodrendű görbék szintetikus és analitikus kezelése. Bezout tétele, rend fogalma. Az ábrázoló geometria elemei, egyszerű poliéderek síkmetszete, képsíktranszformáció, méretes alapszerkesztések. Egyképsíkos ábrázolások, axonometriák, perspektívák. Centrális vetítés és projektív bővítés. Desargues és Pappus-Pascal tétel. Pascal-Brianchon tétel. A projektív síkgeometria önálló felépítése Gyakorlati tematika: Hamis bizonyítások, részekre osztások síkban és térben, teljes indukció alkalmazása geometriai feladatoknál. Egybevágósági transzformációk síkban és térben. Komplex számok a geometriai feladatokban. Vektorgeometria elemei, osztóviszony, súlypont, skaláris, vektoriális és vegyes szorzat. Egybevágósági transzformációk leírása (ortogonális trafók). Térelemek analitikus geometriája. Homogén koordinátázás és alkalmazásai. Másodrendű görbék és felületek - koordinátarendszer elforgatása, eltolása, főtengelytranszformáció, példák. Ábrázoló geometria - testek ábrázolása, síkmetszete, metrikus alapfeladatok - perspektívikus ábrázolás - axonometria - projektív bővítés - a Pappus-Pascal, Pascal-Brianchon és Desargues tételek alkalmazásai feladatokban. Projektív geometria alaptételének alkalmazásai, fixelemek keresése - lencse leképezés.
Irodalom:

Hajós György: Bevezetés a geometriába

Geometry 4/2/0/v/6
Course coordinator: Ákos G. Horváth

Other instructors: Emil Molnár

Euclidean and hyperbolic plane and space. Models. The classification of congruencies by reflections. Inversion. Vectors, the scalar and cross products, area and volume. Analitic geometry coordinates by homogeneus coordinate systems, the analytic form of collineations. Topological space, homeomorfism, connectivity, the definition of curve and surfaces. Polygons and polyhedra. The theorem of Euler. Regular polyhedra. The theory of Cauchy. Spherical trigonometry. The regular polyhedra of the n-dimensional space. Conics and the second order surfaces. The theorem of Bezout. The elements of the projective geometry. The theorems of Desargues , Pappus-Pascal and Pascal-Brianchon. The projective plane by axiomatic point of view. Practice: Exercises from the elementary geometry. Congruency int he plane and int he space. Complex numbers in geometry. The element of the geometry of vectors. Scalar and cross products, center of mass. Orthogonal transformations, description by analytic manner. The element of the space. Conics and the second order surfaces, transformation of the coordinate systems, exercises. Descriptive geometry, perspectivities – axonometric description – projective plane. Pappus-Pascal’s, Pascal-Brianchon’s and Desargues’s theorems in the practice. The basic theorem of projective mappings, fixed points and the lens mapping
References:

Hajós György: Bevezetés a geometriába

Differenciálgeometria 1 2/1/0/f/3
Tárgyfelelős: Molnár Emil

További oktatók: Szenes András

Görbék differenciálgeometriája euklideszi térben: parametrizált görbék, ívhossz szerinti paraméterezés, görbület, torzió, kísérő triéder, Frenet-formulák. Görbületével és torziójával adott görbe meghatározása. Evolvens, evoluta. Görbékre vonatkozó globális tételek (négy csúcspont tétele, izoperimetrikus egyenlőtlenség). A görbeelmélet alaptétele. Felületek differenciálgeometriája: reguláris felületek, paramétertranszformációk, első-, második alapmennyiségek, felületek irányíthatósága, a felszín fogalma, Meusnier, Rodrigues tétele, a Gauss leképezés, konform leképezések, Theorema Egregium, kompatibilitási egyenletek, Bonnet tétele.
Irodalom:

B. Dubrovin, S. Novikov, A. Fomenko: Modern Geometry, Springer

Differential geometry 1. 2/1/0/f/3
Course coordinator: Emil Molnár

Other instructors: András Szenes

Differential geometry of curves: regular curves, arc length, local theory of curves, curvature, torsion, Frenet formulas, fundamental theorem of the local theory of curves, global properties of plane curves (four-vertex theorem, isoperimetric inequality). Differential geometry of surfaces: regular surfaces, change of parameters, the first and the second fundamental forms, area, orientation of surfaces, Meusnier's theorem, Rodrigues' theorem, Gauss map, conformal maps, Theorema Egregium, equations of compatibility, Bonnet's theorem.
References:

B. Dubrovin, S. Novikov, A. Fomenko: Modern Geometry, Springer

Differenciálgeometria 2. 2/2/0/v/4
Tárgyfelelős: Szenes András

További oktatók: Szabó Szilárd

A topológia alapfogalmainak bevezetése, differenciáltopológia, differenciálható sokaságok, érintő tér, sokaságok topológiája, Riemann metrika, geodetikusok, Gauss-Bonnet tétel, görbületi tenzor, konstans görbületű terek, Lie csoportok, Morse elmélet
Irodalom:

B. Dubrovin, S. Novikov, A. Fomenko: Modern Geometry, Springer

Differential Geometry 2. 2/2/0/v/4
Course coordinator: Szenes András

Other instructors: Szabó Szilárd

Foundations of topology, differential topology, differentiable manifolds, tangent space, topology of manifolds, Riemannian metric, geodesics, Gauss-Bonnet theorem, curvature tensor, spaces of constant curvature, Lie groups, Morse theorem.
References:

B. Dubrovin, S. Novikov, A. Fomenko: Modern Geometry, Springer

Elméleti alapozás: Operációkutatás és gazdasági matematika blokk

Theoretical foundations: Block of operations research and mathematics in economy

Operációkutatás 2/2/0/f/4
Tárgyfelelős: Szántai Tamás

További oktatók: Hujter Mihály

Lineáris optimalizálás: Lineáris algebra, poliéderek, kúpok, egyenlet- és egyenlőtlenségrendszerek. Az LP alapfeladata, példák (táplálási és termék összetételi feladat). A szimplex módszer (táblázat, algoritmus) részletei és használata. A szimplex tábla transzformálása, kétfázisú szimplex módszer. Geometriai szemléltetés, alkalmazások, numerikus példák. Dualitás, dualitási tételek – kiegészítő eltérések tételei. Játékelmélet, Lagrange-féle dualitás.

Szállitási feladat, hozzárendelési feladat. Szimplex a szállítási feladatra: megoldó algoritmus.

Nemlineáris optimalizálás: Nemlineáris programozás, feltétel nélküli és feltételes optimalizálás. Az optimalitás első és másodrendű feltételei. Lagrange dualitás tétele feltételes optimalizálási feladatra. Optimalizálás egy egyenes mentén. Legmélyebb leszállás algoritmusa. A Newton módszer és változatai. SUMT módszerek: feltételes optimalizálási algoritmusok. Kuhn–Tucker tétel. Konvex és nemkonvex optimalizálás. Belső pontos algoritmusok lineáris feltételű feladatokra. Egész értékű programozás, hátizsák-feladat, Gomory metszősík algoritmusa.

Hálózati folyamok, Ford-Fulkerson, címkézési technika és optimalizálás.

Szimuláció – véletlenszám generálás, statisztikai próbák. Integrálás Monte-Carlo módszerekkel egyszerű függvényekre. Sztochasztikus programozás: Sztochasztikus optimalizálás alapjai, konvexitás, kvázikonvexitás. Sztochasztikus optimalizálás: valószínűséggel korlátozott modellek. Logkonkávitás, megengedett irányok módszere. A pótló függvény és kétlépcsős feladatok.
Irodalom:

Deák I.: Bevezetés a sztochasztikus programozásba, Aula, 2003

Deák I.: Random number generators and simulation, Akadémiai Kiadó, 1990

Hammersley, J.M., Handscomb, D.C.: Monte Carlo methods, Methuen, 1964

Luenberger, D.: Linear and nonlinear programming, Addison Wesley, 1974

Prékopa A.: Lineáris programozás, Bolyai, 1968

Operation research 2/2/0/f/4
Course coordinator: Tamás Szántai

Other instructors: Mihaly Hujter

The LP problem, examples (diet problem, production planning). Details of the simplex method (simplex tableau, algorithm) and its application. Ttransformation formulae of the simplex tableau, two phase simplex method. Geometric interpretation, applications, numerical examples. Dual simplex method. Duality, duality theorem, game theory.

Transportation problem, assignment problem. The simplex algorithm for the transportation problem: stepping stone solution algorithm. Nonlinear programming, unconditional and conditional extremal points. First and second order conditions of the optimality. Kuhn–Tucker theorem. Convex optimization.

Integer programming. Knapsack problem. Gomory’s cutting plane algorithm. Network flows, Ford-Fulkerson theorem, labeling techniques and optimization.

Bases of stochastic optimization, convexity, quasi-convexity. Stochastic optimization: probabilistic constrained problem, Recourse function and two-stage decision models.

References:

Wayne L. Winston: Operations Research, Applications and algorithms 3rd edition, Vols. I-II., Wadsworth Inc., 1994

Prékopa A.: Stochastic Programming, Akadémia Kiadó, Budapest, 1995

Optimalizálási modellek 0/0/2/f/2
Tárgyfelelős: Szántai Tamás

További oktatók: Tóth Boglárka

Matematikai programozási feladatok, ezek osztályozása. A számítógépes megoldás lépései. Modell leírási technikák, fájlformátumok, modellezési nyelvek. Solverek. Az AMPL modellező nyelv.

Bevezetés a CPLEX solver hasznalatába. A megoldási algoritmusok sajátosságai, kiválasztásuk.

Paraméterek beállításai. A megoldás értelmezése. A Neos server használatának ismertetése.

Általános és speciális lineáris programozási, egészértekű, nem lineáris és sztochasztikus modellek és megoldásuk.

Irodalom:

Prékopa András: Lineáris programozás, 2005

Wayne L. Winston: Operációkutatás, Módszerek és alkalmazások, I-II. kötet, Aula, Budapest, 2003

Mokhtar S. Bazaraa and C.M. Shetty: Nonlinear Programming, Theory and Algorithms, Wiley and Sons, New York, 1979

A. Prékopa: Stochastic Programming, Akadémia Kiadó, Budapest, 1995

H.P. Williams: Model Building in Mathematical Programming, Wiley and Sons, New York, 1985

http://www.ampl.com/

http://www.ilog.com/products/cplex/

http://www-neos.mcs.anl.gov/neos/
Optimization models 0/0/2/f/2
Course coordinator: Tamás Szántai

Other instructors: Boglárka Tóth

Problems and their classification in mathematical programming. Steps of the solution by computers. Description of the models, file formats, modelling languages. Solvers. The AMPL modelling language. Introduction of using CPLEX solver. Specialities of the solution algorithms and choosing them. Parameter settings. The analysis of the solution. How to use NEOS server. General and special linear programming, discrete, nonlinear and stochastic models and their solution.
References:

Prékopa András: Lineáris programozás, 2005

Wayne L. Winston, Operációkutatás, Módszerek és alkalmazások, I-II. kötet, Aula, Budapest, 2003

Mokhtar S. Bazaraa and C.M. Shetty: Nonlinear Programming, Theory and Algorithms, Wiley and Sons, New York, 1979

A. Prékopa: Stochastic Programming, Akadémia Kiadó, Budapest, 1995

H.P. Williams: Model Building in Mathematical Programming, Wiley and Sons, New York, 1985

http://www.ampl.com/

http://www.ilog.com/products/cplex/

http://www-neos.mcs.anl.gov/neos/

Bevezetés a mikróökonómiába 2/0/0/f/2
Tárgyfelelős: Simonovits András

További oktatók: Meyer Dietmar

A mikroökonómia a fogyasztó és a vállalat viselkedését vizsgálja. Alapkérdései: Hogyan függ a fogyasztás az egyének jövedelmétől és a piaci áraktól? Hogyan függ a termelés a költségektől? Hogyan függ az egyensúlyi ár (amely mellett a kereslet és a kínálat egyensúlyban van) a piaci szerkezettől (monopólium, oligopólium, szabad verseny)? A tárgy egyaránt foglalkozik az elmélettel és a gyakorlattal. Megmutatja, hogyan használható a differenciálszámítás és a nemlineáris programozás a mikroközgazdasági elemzésben. Gyakorlati példákat ismertet, amelyekből kiderül, hogy mi az árrugalmasság mértéke, hol húzódik a határ az oligopólium és a szabadverseny között.
Irodalom:

Varian, H., Mikroökonómia középfokon, Közgazdsági és Jogi Könyvkiadó, Budapest, 1992  

Introduction to the microeconomics 2/0/0/f/2
Course coordinator: András Simonovits

Other instructors: Dietmar Meyer

Microeconomics analyzes the behavior of individuals and firms. Basic questions: How does the consumption depend on the individual’s income and the market prices? How does the output depend on the cost of production? How does the equilibrium price (at which the supply and demand are equal) depend on the market structure (monopoly, oligopoly, free competition)? The course covers theory as well as practice. It demonstrates the applicability of the calculus and nonlinear programming in microeconomic analysis. Our practical examples cover elasticity of prices, the limit between oligopoly and free competition, etc.
Reference:

Varian, H.: Mikroökonómia középfokon, Közgazdsági és Jogi Könyvkiadó, Budapest, 1992 

Bevezetés a makróökonómiába 2/0/0/f/2
Tárgyfelelős: Simonovits András

További oktatók: Meyer Dietmar

A makroökonómia a gazdaság egészét vizsgálja. Fő kérdései: Mitől függ a gazdaság növekedési üteme? Hogyan függ össze az infláció és a munkanélküliség rövid és hosszú távon? Miben különbözik egy zárt és egy nyitott gazdaság? A tárgy egyaránt foglalkozik az elmélettel és a gyakorlattal. Megmutatja, hogyan használhatók a statikus és dinamikus modellek a makroközgazdasági elemzésben. Gyakorlati példákat hoz, amelyek hely és idő függvényében megvilágítják a makroösszefüggéseket: mennyibe kerül az infláció, mi az oka, hogy Ny-Európában a reálbérek nőnek, s a foglalkoztatottság stagnál, míg az USÁ-ban fordítva.
Irodalom:

Hall, R. és Taylor, J.: Makroökonómia, Közgazdsági és Jogi Könyvkiadó, Budapest, 1997

Introduction to the macroeconomomics 2/0/0/f/2
Course coordinator: András Simonovits

Other instructors: Dietmar Meyer

Macroeconomics analyzes the whole economy. Its main questions are as follows: How do inflation and unemployment interact in the short and the long run? What is the difference between a closed and an open economy? The course considers both theory and practice. It shows the applicability of static and dynamic models in the macroeconomic analysis. It gives practical examples, which demonstrate the macrorelations as a function of time and space: what is the cost of inflation, what is the cause that in the EU real wages grow, while employment stagnates, while in the US, it is the other way around.
Reference:

Hall, R. és Taylor, J.: Makroökonómia, Közgazdsági és Jogi Könyvkiadó, Budapest, 1997

Közgazdasági és pénzügyi matematika 2/2/0/v/6
Tárgyfelelős: Simonovits András

További oktatók: Meyer Dietmar

A közgazdaságtan a társadalom gazdasági folyamatait elemzi. Egy bevezetésben célszerű a részletek mellőzésével az egész közgazdaságtant áttekinteni. A közgazdaságtan magva a mikroökonómia, amely a fogyasztók és a vállalatok döntéseit adott gazdasági keretek mellett vizsgálja. Bemutatja, hogy a profitmaximalizáló vállalatok és a hasznosságmaximalizáló egyének összjátékából hogyan alakul ki a piaci egyensúly, amely bizonyos értelemben optimális. Vannak olyan gazdasági kérdések (például a gazdasági növekedés, az infláció vagy a munkanélküliség), amelyeket nem lehet egyszerűen mikroökonómiai alapon levezetni. Ezek vizsgálatával a makroökonómia foglalkozik. A hagyományos közgazdaságtan elsősorban a tökéletes verseny, vagy a tökéletes monopólium esetét vizsgálja, vannak azonban fontos köztes esetek, amikor egynél több szereplő hat egymásra, de olyan kevesen vannak, hogy nem lehet elhanyagolni egymásra hatásukat: játékelmélet. A gazdasági szereplők tényleges viselkedését matematikai statisztika eszközeivel is vizsgálhatjuk: ökönometria. Bár a közgazdaságtan alapmodelljei általában statikusak, egyre inkább előtérbe kerülnek a dinamikus elemzések is (pl. a már említett gazdasági növekedés mellett a ciklusoké). Végül nem lehet figyelmen kívül hagyni a pénzügyi matematikát sem, amely a nagy matematikai tudást igénylő sztochasztikus folyamatokra épül.
Irodalom:

Varian, H.: Mikroökonómia középfokon, Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó, Budapest, 2001 Hall, R. és Taylor, J.: Makroökonómia, Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó, Budapest, 1997

Economics and finance 2/2/0/v/6
Course coordinator: András Simonovits

Other instructors: Meyer Dietmar

Economics analyzes the economic processes of the society. In an introduction, it is suitable to survey the whole economics without going into details. Microeconomics is the core of the economics, describing the decisions of individuals and firms within the given framework of the economy. It explains the emergence of the market equilibrium from the interaction of profit maximizing firms and utility maximizing individuals and the optimality of this equilibrium. There are economic issues (e.g. economic growth, inflation and unemployment) which cannot be simply derived from microeconomics. These questions are answered by macroeconomics. The traditional economics concentrates on the cases of perfect competition and monopoly, but there are important interim cases, where the number of actors is larger than 1 but there are so few actors that their interaction cannot be neglected: game theory. The actual behavior of the economic actors can also be examined by the tools of mathematical statistics, this field is called econometrics. Though the economic models are generally static, the examination of dynamic issues have become more and more important (e.g. in addition to growth, the cycles). Finally, we cannot neglect finance (or mathematical finance) which relies on the mathematically sophisticated theory of stochastic processes.
References:

Varian, H.: Intermediate Microeconomics

Hall, R and Taylor, J.: Macroeconomics, 1991