A mesterképzésre vonatkozó akkreditációs követelmények és a vonatkozó jogszabályok áttekintése folyamatban van

Biztosításmatematika 1 2/0/0/f/3

Tárgyfelelős: Barabás Béla

További oktatók:
Biztosítási alaptípusok: Élet, nem élet ág különbözősége.

Életbiztosítási matematikai ismeretek

a) Biztosítási alaptípusok – rizikó, elérési, vegyes, életjáradék, FIB (Family Income Benefit) – két és több életre szóló biztosítások – munkáltatói biztosítások; csoportos biztosítások

b) Halandósági és morbiditási adatok – nyers halandósági és morbiditási adatok, kockázati időtartam (exposed-to-risk) – kiegyenlítési módszerek – halandósági tábla, függvények – szelekciós, aggregált táblák – extra kockázatok – előrejelzés – kommutációs számok, várható élettartam; korfa – többállapotú modellek, többszörös kilépési táblák

c) Díjkalkuláció – technikai kamat, diszkonttényező; ekvivalencia-elv; maradékjogok; nettó díj – költségterv; alfa-, béta-, gamma költségek; bruttó díj – éves, féléves, havi díjfizetés; egyszeri díj; befektetési hozam – díjkalkuláció Cash Flow alapon

d) Tartalékszámítás – nettó díjtartalék – prospektív, retrospektív szemlélet – egyéni és csoportos díjtartalék; maradékjogok; a díjtartalék nem biztosítási évfordulón; kamat-, halandósági, költség- és egyéb nyereség; nyereségrészesedési módszerek; utókalkuláció; közelítő számítások – bruttó díjtartalék; költségfedezet, Zillmer-módszer – szolvencia

e) A biztosító kockázatai és kezelésük – élet-, költség-, befektetési kockázat; haláleseti terhelés, új üzleti teher – infláció – profit-testing

f) Üzletterv

Irodalom:

H. U. Gerber: Life Insurance, Springer1997

Banyár J.: Életbiztosítás, Aula 2003

Krekó B.: Biztosítási matematika, Aula 1993

Insurance mathematics 1 2/0/0/f/3
Course coordinator: Béla Barabás

Other instructors:

Fundamental types of insurance: life and non-life.

a) Standard types of life insurance: pure endowment insurance, whole life and term insurance, annuities, family income benefit, joint-life insurance, etc.

b) Force of mortality, analytical distributions, life tables, probabilities of death for fractions of a year, predictions.

c) Net premiums, technical interest rate, general type of life insurance, annuities, expense-loaded premium, cash flow technics.

d) Net premium reserves, recursive considerations, net premium reserves at fractional durations, technical gain, expense-loaded premium reserves.

e) Risk management, cost, investment, inflation, profit-testing.

References:

H. U. Gerber: Life Insurance, Springer 1997

Banyár J.: Életbiztosítás, Aula 2003

Krekó B.: Biztosítási matematika, Aula 1993

Elméleti alapozás: Sztochasztika blokk

Theoretical foundations: Block of stochastics

Valószínűségszámítás 1 2/2/0/v/4
Tárgyfelelős: Tóth Bálint

További oktatók: Balázs Márton, Szász Domokos

Alapfogalmak. Eseménytér, események algebrája, valószínűség. Kombinatorikus megfontolások, szitaformula, urna-modellek. Geometriai példák (Buffon, Bertrand). Valószínűségi mező általános fogalma. Feltételes valószínűség, teljes valószínűség tétele, Bayes-tétel, feltételes valószínűségek szorzási szabálya. Sztochasztikus függetlenség. Diszkrét valószínűségi változók: indikátor, binomiális, hipergeometrikus, Poisson, geometriai, negatív binomiális. Poisson-approximáció. Geometriai eloszlás örökifjúsága. Valószínűség változó általános fogalma. Eloszlás-függvények, abszolút folytonosság, sűrűség-függvények. Eloszlások transzformációja. Nevezetes eloszlások: egyenletes, exponenciális, normális, Cauchy, log-normális. Eloszlások numerikus jellemzői: várható érték, szórásnégyzet, medián, kvantilisek, momentumok. Várható érték és szórásnégyzet néhány kombinatorikai alkalmazása. Steiner-tétel. Együttes eloszlás, peremeloszlások, feltételes eloszlás, feltételes sűrűség-függvény. Várható érték vektor, kovariancia mátrix. Schwarz-egyenlőtlenség. Több dimenziós normális eloszlás. Bernoulli nagy számok törvénye. Markov- és Csebisev-egyenlőtlenség. Nagy számok gyenge törvénye. Alkalmazás: Weierstrass approximációs tétele. A normális fluktuációk nagyságrendje. Stirling-formula. De Moivre-Laplace-tétel, alkalmazások.
Irodalom:

Rényi Alfréd: Valószínűségszámítás, Tankönyvkiadó, Bp. 1972

William Feller: Bevezetés a valószínűségszámításba, Műszaki Könyvkiadó, Bp.

Sheldon Ross: A first course of probability.

Probability theory 1 2/2/0/v/4
Course coordinator: Bálint Tóth

Other instructors: Márton Balázs, Domokos Szász

Basic concepts. Sample space, algebra of events, probability. Combinatorial reasoning, the sieve formula, urn models. Geometric examples (Buffon, Bertrand). General concept of probability space. Conditional probability, theorem of complete probabilities, Bayes theorem, multiplication of conditional probabilities. Stochastic independence. Discrete random variables: indicator, binomial, hypergeometric, Poisson, geometric, negative binomial. Poisson approximation. „Ever freshness” of geometric distribution. General concept of random variable. Distribution functions, absolute continuity, density functions. Transformation of distributions. Some particularly important distributions: uniform, exponential, normal, log-normal. Numerical characteristics of distributions? Expectation, variance, median, quantiles, moments. Some applications of expectation and variance in combinatorics. Steiner’s theorem. Joint distributions, marginal distributions, conditional distributions, conditional densities. Expectation vector, covariance matrix. Schwarz’s inequality. Multi-dimensional normal distribution. Bernulli’s law of large numbers. Markov’s and Chebyshev’s inequalities. Weak law of large numbers. Application: Weierstrass’s approximation theorem. Order of magnitude of normal fluctuations. Stirling’s formula. De Moivre-Laplace theorem, applications.
References:

Rényi Alfréd: Valószínűségszámítás, Tankönyvkiadó, Bp. 1972

William Feller: Bevezetés a valószínűségszámításba, Műszaki Könyvkiadó, Bp.

Sheldon Ross: A first course of probability.

Valószínűségszámítás 2 1/1/0/f/2
Tárgyfelelős: Tóth Bálint

További oktatók: Balázs Márton, Szász Domokos

A konvolúció. Nevezetes eloszlások konvolúciói. A generátor függvény. Konvolúció, keverék eloszlás, véletlen tagszámú összeg generátor függvénye. Alkalmazások: elágazó folyamatok elemzése, bolyongások visszatérési és elérési ideje. 1d bolyongás rekurrenciája, tranzienciája.

Nagy számok törvényei. Markov- és Csebisev-egyenlőtlenség, nagy számok gyenge törvénye. Borel–Cantelli lemma. Nagy számok erős törvénye, bizonyítás negyedik momentummal.

Karakterisztikus függvények elemei. Rekonstrukciós és kontinuitási tétel (vázlatos bizonyítás). Centrális határeloszlás-tétel bizonyítása karakterisztikus függvények módszerével.

Véges állapotterű Markov-láncok elemei. Sztochasztikus mátrixok lineáris algebraja. Állapotok osztályozása. Irreducibilis Markov-láncok stacionárius eloszlása, ergodikus viselkedése.

Irodalom:

Rényi Alfréd: Valószínűségszámítás, Tankönyvkiadó, Bp. 1972

William Feller: Bevezetés a valószínűségszámításba, Műszaki Könyvkiadó, Bp.

John Lamperti: Probability – the Mathematical Theory
Probability theory 2 1/1/0/f/2
Course coordinator: Bálint Tóth

Other instructors: Márton Balázs, Domokos Szász

The convolution. Convolution of remarkable distributions. The generating function. Generating functions of convolutions, mixed distributions, sums with random number of summands. Applications to branching processes and 1d random walks. Recurrence and transience of 1d random walk.

Laws of large numbers. Markov’s and Chebyshev’s inequalities. Weak law of large numbers. Borel-Cantelli lemma and strong law of large numbers with fourth moment.

The characteristic function: basic properties. Reconstruction and continuity theorem (sketchy proof). The central limit theorem proved with the method of characteristic functions.

Elements of finite Markov chains. Basic notions and examples. Classification of states. Elements of linear algebra of stochastic matrices. Stationary distribution and ergodic behaviour of irreducible Markov chains.

References:

Rényi Alfréd: Valószínűségszámítás. Tankönyvkiadó, Bp. 1972

William Feller: Bevezetés a valószínűségszámításba. Műszaki Könyvkiadó, Bp.

John Lamperti: Probability – the Mathematical Theory

Valószínűségszámítás 3 1/1/0/f/2
Tárgyfelelős: Tóth Bálint

További oktatók: Balázs Márton, Szász Domokos

Nagy számok erős törvénye. Borel-Cantelli lemma (ismétlés). Kolmogorov egyenlőtlenség. Kolmogorov-féle nagy számok erős törvénye. Null-egy-törvény.

Karakterisztikus függvény. Általanos tulajdonsagai (ismétlés). Momentumok, momentum-probléma. Fourier-analízis elemei: Bochner tétel, rekonstrukciós-tétel.

Valószínűségi eloszlások gyenge konvergenciája. Feszesség és Helly (Prohorov) tétel. Eloszlások gyenge konvergenciája és a karakterisztikus függvény pontonkénti konvergenciája: a kontinuitási tétel. Centrális határeloszlás-tétel bizonyítása karakterisztikus függvények módszerével.

Nagy eltérések. Bernstein-egyenlőtlenség, Cramer-tétel.

Irodalom:

Rényi Alfréd: Valószínűségszámítás. Tankönyvkiadó, Bp. 1972

William Feller: Bevezetés a valószínűségszámításba. Műszaki Könyvkiadó, Bp.

William Feller: Introduction to Probability Theory and its Applications vol. 1 & 2.

Richard Durrett: Probability Theory with Examples

John Lamperti: Probability

Probability theory 3 1/1/0/f/2
Course coordinator: Bálint Tóth

Other instructors: Márton Balázs, Domokos Szász

Strong law of large numbers. Borel-Cantelli lemmas (repetition). Kolmogorov’s inequality. Kolmogorov’s strong law of large numbers in full generality; Kolmogorov’s zero-one law.

The characteristic function: generalities (repetition); elements of Fourier analysis: Fourier inversaion, Bochner’s theorem. The central limit theorem: Weak convergence of distributions in metric spaces; tightness and Helly’s (Prohorov’s) theorem; pointwise convergence of characteristic functions and weak convergence of distributions; the continuity theorem; weak convergence proved with the method of characteristic functions; the central limit theorem.

Large deviations: Bernstein’s inequality, Cramer’s theorem.
References:

Rényi Alfréd: Valószínűségszámítás. Tankönyvkiadó, Bp. 1972

William Feller: Bevezetés a valószínűségszámításba. Műszaki Könyvkiadó, Bp.

William Feller: Introduction to Probability Theory and its Applications vol. 1 & 2.

Richard Durrett: Probability Theory with Examples

John Lamperti: Probability

Matematikai statisztika 2/2/0/v/4
Tárgyfelelős: Bolla Marianna

További oktatók: Sándor Csaba

Statisztikai alpfogalmak: Alapstatisztikák, empirikus eloszlás- és sűrűségfüggvény.

Kolmogorov–Szmirnov tételkör. Elégségesség, teljesség, exponenciális eloszláscsalád.

Mintavételi eljárások; másodlagos mintavétel, szekvenciális módszer, mintavétel véges sokaságból, jackknife, bootstrap.

Becsléselmélet: Pontbecslések, torzítatlanság, hatásosság, konzisztencia, Cramér–Rao egyenlőtlenség, Rao–Blackwell–Kolmogorov tétel. Becslési módszerek.

Általánosított likelihood-hányados próba, cenzorált minta. Intervallumbecslések, konfidenciaintervallum konstruálása.

Hipotézisvizsgálat: Próbák konstrukciója a Neyman–Pearson tétel alapján. Paraméteres és nemparaméteres próbák.

Irodalom:

Bolla, M., Krámli, A.: Statisztikai következtetések elmélete (II-IV. fejezet), Typotex, 2005

Mathematical statistics 2/2/0/v/4
Course coordinator: Marianna Bolla

Other instructors: Csaba Sándor

Basic notions: sample statistics, empirical distribution and densityfunctions, Kolmogorov–Smirnov theorems. Sufficiency, completness,exponential family.

Sampling methods; secondary sampling, sequantial methods, sampling from finite lots, jackknife, bootstrap.

Theory of statistical estimation: point estimates, unbiased, efficient,and consistent estimates, Cramer–Rao inequality, Rao–Blackwell–Kolmogorov theorem. Methods of parameter estimation. Interval estimates, constructingconfidence intervals. Generalized likelihood ratio test, non-response in sampling process,

Testing statistical hypotheses: constructing likelihood ratio tests by means of the Neyman–Pearson theorem. Parametric and nonparametric tests.

Reference:

Bolla, M., Krámli, A.: Theory of Statistical Inference, in Hungarian (Chapters II-IV.), Typotex, Budapest, 2005

Statisztikai programcsomagok 1 0/0/2/f/2
Tárgyfelelős: Bolla Marianna

További oktatók: Sándor Csaba, Vetier András

Adatkezelés: az Excel nyújtotta statisztikai lehetőségek. Az SPSS (Statistical Package for Social Sciences) programcsomag táblázatkezelése, kapcsolata az Excellel.

Változók definiálása, transzformálása, grafika. Programcsomagok nyújtotta statisztikai lehetőségek: elsősorban az SPSS Statisztika menüágának ismertetése. Gyakoriságok, leíró statisztikák, kontingenciatáblák. Csoportátlagok összehasonlítása, egyszempontos varianciaanalízis. Általános lineáris modell: egy- és többszempontos varianciaanalízis, többváltozós lineáris modell. Korreláció, regresszió. Osztályozási módszerek: klaszteranalízis, diszkriminanciaanalízis. Dimenziócsökkentés: faktoranalízis, korrespondanciaanalízis, többdimenziós skálázás.

Nemparaméteres próbák. Túlélési analízis: Kaplan–Meier becslések, Cox-féle regresszió, küszöbmodellek. S-PLUSZ programcsomag rövid áttekintése.

Valódi adatrendszerek feldolgozásának szempontjai: megfelelő módszer(ek) kiválasztása, output(ok) értelmezése, paraméterek változtatása, ill. a módszerek kombinálása a felhasználó igényének megfelelően.

Irodalom:

Bolla, M., Krámli, A., Statisztikai következtetések elmélete (VI-VIII. fejezet), Typotex, 2005

SPSS kézikönyv (a programcsomaggal együtt letölthető).
Statistical program packages 1 0/0/2/f/2
Course coordinator: Marianna Bolla

Other instructors: Csaba Sándor, András Vetier

Data management: basic statistics in Excel. Editing data files in the SPSS (Statistical Package for the Social Sciences), relations to the Excel.

Defining variables, transformations, graphs. Surveying statistical programsof program packages, mainly those available in menu Analyze of the SPSS.

Frequencies, descriptives, contingency tables. Comparing means, one-way analysis of variance. General linear model: two-way analysis of variance, multivariate regression. Correlation, multiple correlation. Methods ofclassification: cluster analysis, discriminant analysis. Data reduction: factor analysis, correspondence analysis, multidimensional scaling.

Nonparametric tests. Survival analysis: Kaplan–Meier estimates, Cox-regression, threshold models. Brief review of the S+ Program Package.

Main points of processing real world data: finding the appropriate methods,interpretation of the output results, setting the parameters, combining methods according to the user's requirements.
References:

Bolla, M., Krámli, A.: Theory of Statistical Inference, in Hungarian (Chapters VI-VIII), Typotex, Budapest, 2005

Ketskeméty, L., Izsó, L.: Introduction to the SPSS Program Package, in Hungarian, ELTE Publishers, Budapest, 2005
Sztochasztikus folyamatok 2/2/0/f/6
Tárgyfelelős: Tóth Bálint

További oktatók: Balázs Márton, Szász Domokos, Vetier András

Alapfogalmak: véges dimenziós peremeloszlások; Kolmogorov alaptétel; erősen és gyengén stacionárius, stacionárius növekmenyű, független növekményű folyamatok.

Diszkrét állapotterű Markov-láncok: sztochaszikus mátrixok lineáris algebrája; állapotok osztályozása.

Véges Markov-láncok: stacionárius mértékek és ergodikus viselkedés. Reverzibilitás; bolyongások véges gráfokon. Urnamodellek.

Megszámlálható Markov-láncok: tranziencia, null-rekurrencia, pozitív rekurrencia. Bolyongások Z^d-n: Polya-tétel. Bolyongások megszámlálható gráfokon, elágazó folyamatok, diszkrét idejű sorbanállási problémák és születési-halálozási folyamatok.

Bolyongások -en: tükrözési elv és a maximum határeloszlása; differenciaegyenletek.

Folytonos idejű, diszkrét állapotterű Markov-folyamatok: a Poisson folyamat; ugrási ráták, exponenciális órák. Sztochasztikus félcsoport: Kolmogorov–Chapman egyenlet, infinitezimális generátor.

Mértékelméleti kiegészítések: filtrációk, adaptált folyamatok, természetes filtráció; feltételes valószínűség: létezés és egyértelműség (Kolmogorov tétele), alaptulajdonságok.

Diszkrét idejű martingálok: szub/szuper/martingál, megállási idő, megállított martingál. Opcionális megállási tétel; Wald-azonosság, martingál konvergencia tétel; szubmatringál egyenlőtlenség; Azuma–Hoffding egyenlőtlenség, alkalmazások.

A Brown mozgás: definiáló tulajdonságok; kovarianciastruktúra; P. Levy konstrukciójának vázlata; alaptulajdonságok. Néhány alkalmazás.
Irodalom:

Rényi Alfréd: Valószínűségszámítás. Tankönyvkiadó, Bp. 1972

William Feller: Bevezetés a valószínűségszámításba. Műszaki Könyvkiadó, Bp.

William Feller: Introduction to Probability Theory and its Applications vol. 1 & 2.

David Williams: Probability with Martingales. Cambridge University Press, 1991

John Lamperti: Stochastic Processes. Springer

Stochastic processes 2/2/0/f/6
Course coordinator: Bálint Tóth

Other instructors: Márton Balázs, Domokos Szász, András Vetier

Basic notions: finite dimensional marginals, Kolmogorovás fundamental theorem, strongly and weakly stationary processes, processes with stationary and/or independent increments.

Discrete Markov chains: linear algebra of stochastic matrices, classification of states.

Finite Markov chains: stationary measures and ergodic behaviour. Reversibility, random walk on graphs. Urn models.

Countable Markov chains: transience, null-recurrence, positive-recurrence. Random wwalks on Z^d: Polya’s theorem. Random walks on countable graphs, branching processes, discrete time birth-and-death processes, queuing problems.

random walks on Z^1: the reflection principle and limit distribution of the maximum, difference equations.

Continuous time, discrete space Markov processes: the Poisson process, jump rates, exponential clocks. Stochastic semigroup: Kolmogorov-Chapman equations, infinitesimal generator.

Complements of measure theory: filtrations, adapted processes, natural filtration. The general notion of conditional expectation (Kolmogorov’s theorem), fundamental properties.

Discrete time martingales: sub/super/martingales, stopping times, stopped martingales. Optional stopping theorem, Wald identity, martingale convergence theorem, submartingale inequality, maximal inequality. Azuma-Hoffding inequality, applications.

The Brownian motion: defining properties, covariances. Sketch of Paul Levy’s construction, basic analytic properties. Applications.
References:

Rényi Alfréd: Valószínűségszámítás. Tankönyvkiadó, Bp. 1972

William Feller: Bevezetés a valószínűségszámításba. Műszaki Könyvkiadó, Bp.

William Feller: Introduction to Probability Theory and its Applications vol. 1 & 2.

David Williams: Probability with Martingales. Cambridge University Press, 1991

John Lamperti: Stochastic Processes. Springer

Elméleti alapozás: Biomatematika blokk

Theoretical foundations: Block of biomathematics

Sztochasztikus modellek a bioinformatikában 2/0/0/v/3
Tárgyfelelős: Miklós István

További oktatók:

Statisztikai bevezető: A likelihood függvény, ML becslés, Bayes statisztika, az EM algoritmus. Sztochasztikus generatív nyelvtanok: Rejtett Markov-modellek, sztochasztikus reguláris és környezetfüggetlen nyelvtanok. Algoritmusok nyelvtanokon: Forward-backward, Viterbi, Inside-outside, CYK, Baum-Welch tréning, poszterior valószínűségek számolása. Biológiai alkalmazások: mintázatfelismerés biológiai szekvenciákban, protein másodlagos térszerkezet-predikció, RNS térszerkezet-predikció.

Szubsztitúciók időfolytonos Markov-modellekkel történő leírása. Klasszikus nukleinsav és aminosav szubsztitúciós modellek. Statisztikus szekvenciaillesztés: Beszúrás-törlés (indel) modellek. Indel modellek, mint többszörös rejtett Markov-modellek.

Evolúciós fák. A Kingman koaleszcens. A Markov-lánc Monte-Carlo (MCMC) módszer alapjai. Evolúciós fák vizsgálata Bayesian MCMC-vel. Genomátrendeződések vizsgálata.
Irodalom:

Durbin-Eddy-Krogh-Mitchison: Biological sequence analysis. Cambridge University Press. 1998

Lunter, G.A., Drummond, A., Miklós, I., & Hein, J.: Statistical aligment: recent progress, new applications and challenges in: Nielsen (editor): Statistical Methods in Molecular Evolution. Springer series in Statistics for Biology and Health. Springer Verlag, 2005

Miklós István: Bioinformatikai algoritmusok. In: Iványi Antal (szerkesztő): Informatikai algoritmusok. Eötvös kiadó, 2004

Stochastic models in bioinformatics 2/0/0/v/3
Course coordinator: István Miklós

Other instructors:

Introduction to the statistical methods: The likelihood function, ML estimation, Bayesian statistics, EM algorithm.

Stochastic transformational grammars: Hidden Markov Models, stochastic regular grammars, SCFGs. Algorithms on grammars: Forward, Backward, Viterbi; Inside, Outside, CYK. Baum-Welch training, posterior probabilities, posterior decoding. Biological applications: pattern recognition in sequences, protein structure prediction, RNA structure prediction.

Modelling substitutions with time-continuous Markov models. Classical models for substitutions in nucleic acid and protein sequences. Statistical alignment: modelling insertions and deletions as birth-death processes. Transforming statistical alignment models into pair and multiple HMMs.

Evolutionary trees. The Kingman coalescent. Markov chain Monte Carlo methods for inferring the Bayesian distribution of evolutionary trees.

References:

Durbin-Eddy-Krogh-Mitchison: Biological sequence analysis. Cambridge University Press. 1998

Lunter, G.A., Drummond, A., Miklós, I., & Hein, J.: Statistical aligment: recent progress, new applications and challenges in: Nielsen (editor): Statistical Methods in Molecular Evolution. Springer series in Statistics for Biology and Health. Springer Verlag, 2005

István Miklós: Algorithms in bioinformatics, In: Antal Iványi (editor): Algorithms of Informatics. Mondat kiadó, 2007

Dinamikai modellek a biológiában 2/0/0/v/3
Tárgyfelelős: Garay Barna

További oktatók:

Populációdinamika. Diszkrét idejű modellek, diszkrét generációk, Leslie mátrix, korstruktúra. Folytonos idejű modellek. Kétdimenziós modellek. Rosenzweig–MacArthur grafikus kritérium. Táplálékláncok. Kompetitív és kooperatív rendszerek. n-dimenziós Lotka–Volterra és Kolmogorov rendszerek, osztályozás. Ökológiai nichek átfedése, a versengő kizárás elve. r-stratéga és K-stratéga versenye. Korstruktúrával rendelkező populációk. Térben elhelyezkedő ökológiai rendszerek dinamikája, migráció. Mintázatképződés és populációs hullámok. A stabilitás és komplexitás viszonya ökológiai rendszerekben. Járványterjedés. SIR modellek és ezek gyakorlati alkalmazásai, a járványküszöb meghatározása.

Járvány terjedése térben, haladó hullám a járványmentes térben. A populációmentes védősáv becslése. Nemi úton terjedő betegségek. Párképződés modellezése, a „házasodási függvény”. Nemi betegségek terjedése több csoportra osztható populációban. Kortól függő járványterjedési modellek. Evolúcióelmélet és populációgenetika. A szelekció, a rekombináció és a mutáció modellezése. A Fisher egyenlet, a természetes kiválasztás alaptétele. A Kimura-féle maximumelv, Shahshahani metrika. Epistasis. A hiperciklus, a DNS és az RNS autokatalízisének kialakulása. Játékelméleti modellek, az ivaros szaporodás kialakulása, altruizmus.

Irodalom:

Farkas M.: Dynamical models in biology. Academic Press, 2001

Svirezhev, Logofet: Stability of biological communitics, MIR, 1983

Murray: Mathematical biology. Springer-Verlag, 1989