Bu vazifalarni amalga oshirishda biz asrlar mobaynida shakllangan milliy an’analarimizga, ajdodlarimizning boy merosiga tayanamiz

1.4.Teskari trigonametrik funksiyalar va ularning xossalari.

Quyidagi oddiy tenglamalarni ko‘ramiz:

arcsinx = m arccosx = m
arctgx = m arcctgx = m
Bu tenglamalardan biri arcsinx = m tenglamani batafsil ko‘rib o‘taylik.
Arksinusning qiymatlar sohasi  dan iborat bo‘lgani uchun bu tenglama
 bo‘lganda yechimga ega bo‘ladi. Bu shartga amal qilgan holda yagona yechim x = sinm bo‘ladi.
 shuningdek qolgan tenglamalar ham ko‘riladi.
Agar 0 bo‘lsa, arccosx = m tenglama yagona x = cosm yechimga ega.
Agar m oraliqqa tegishli bo‘lmasa, yechim mavjud emas.
Agar m oraliqqa tegishli bo‘lsa, arctgx = m tenglama yagona x = tgm yechimga ega.
Agar m oraliqqa tegishli bo‘lsa, arcctgx = m tenglama yagona x = ctgm yechimga ega.
f(arcsinx) = 0 tenglamani yechimi (f funksiya ostida boshqa arkfunksiya ham bo‘lishi mumkin) o‘rniga qo‘yish orqali quyidagi aralash sistemani yechimga keltiriladi:

f(arcsinx,arccosx)=0 tenglamani yechish arccosx =  – arcsinx ayniyatdan foydalanib yuqoridagi tenglamani yechishga keltiriladi.
Xuddi shu aytilgan fikrlar f(arctgx,arcctgx) = 0 tenglamalar uchun ham o‘rinli. Teskari trigonometrik funksiyalar qatnashgan tenglamalarni yechishning eng ommalashgan usullaridan biri berilgan tenglamaning har ikki tomonida biror trigonometrik operasiyani bajarishdir. Yechishning bu usuli berilgan tenglamaga ekvivalent tenglama hosil qiladi. Masalan,
f(x) = g(x) (1)
tenglamani ko‘raylik. sin f(x) = sin g(x) (2)
(2) tenglama (1) tenglamaning natijasidir, teskarisi o‘rinli emas. (2) tenglama o‘z navbatida
f(x)=(-1)ⁿ g(x)+ n (3)
tenglamaga ekvivalent.
(3) ning har qanday n 0 bo‘lgandagi yechimi (1) tenglama uchun chet ildizdir.
(1) tenglama xuddi shuningdek, tgf(x)=tgg(x) (3) tenglamaga ekvivalent.
f(x)=g(x)+ n (4)
tenglama n 0 dagi har qanday yechimi (3) tenglamaning yechimi bo‘ladi, ammo (1) tenglamaning yechimi bo‘lmaydi.
Shunday qilib (1) tenglamadan (4) tenglamaga o‘tganimizda ildizlarning yo‘qolib qolishi yoki chet ildizlarning paydo bo‘lishi mumkin.
Masalan, x =  -x (1) tenglama yagona x =  yechimga ega.
tg(x) = tg( -x) (2) tenglama x = k yechimga ega. (1) tenglamadan (2) ga o‘tishda chet ildizlar x = k hosil bo‘ladi, x =  yechim yo‘qoladi.
Ko‘p hollarda arkfunksiyalar qatnashgan tenglamaning har ikki tomonida biror trigonometrik operatsiyani bajarganimizda algebraik tenglama hosil bo‘ladi. Har qanday bunday hollarda berilgan tenglamaning hamma ildizlari algebraik tenglama ildizlari orasida bo‘ladi, yana shunday hollar bo‘lishi mumkinki, (1) tenglamadan (4) tenglamaga o‘tganimizda ba’zi bir ildizlar yo‘qolib qolishi mumkin.Natijada berilgan tenglamaning yechish uchun algebraik tenglamaning haqiqiy sonlar maydonidagi hamma ildizlarini topib, ularni berilgan tenglama o‘rniga qo‘yib tekshirish yetarli.
Berilgan arkfunksiyalar qatnashgan tenglamaning har ikki tomonida biror trigonometrik operatsiya bajarganilgandan so‘ng hosil bo‘lgan algebraik tenglama irratsionaldir. Algebraik tenglama hosil qilishi uchun irratsional tenglamani radikallardan qutqarish zarur, bunda o‘z navbatida chet ildizlar paydo bo‘lishi mumkin.Chet ildizlar paydo bo‘lishining manbalaridan yana biri ayniy shakl almashtirishlardir.
Masalan, arcsin f(x) = arcsin g(x) tenglamada noma’lumning qabul qilishi mumkin bo‘lgan qiymatlari to‘plami 2 ta shart orqali aniqlanadi x ning qiymati f(x) va g(x) larning aniqlanish sohasiga tegishli bo‘lishi kerak.
1. Quyidagi  ,  tengsizliklar bajarilishi kerak.
f(x) = g(x) tenglamaga o‘tganimizda (agar bu oxirgi tenglama berilgan tenglama bilan bog’lanmagan holda qaralsa) 2-shart tushib qoladi.
Noma’lumning qabul qilishi mumkin bo‘lgan qiymatlari to‘plamining o‘zgarishi quyidagi ayniy almashtirishlar bilan asoslanadi:
sin(arcsinf(x)) = f(x)
sin(arcsing(x)) = g(x)
Misollar.
1-misol. 3arcsin –  = 0 tenglamani yeching.
Yechish: arcsin =  ;  =  ; x =  .
2-misol. 4arctg( -3x+3)- = 0 tenglamani yeching.
Yechish. arctg( -3x+3) = 
 -3x+3 = 1
x₁=1 x₂=2
3-misol. 2arcsinx = 8 tenglamani yeching.
Yechish: Tenglama yechimga ega emas, chunki arcsinx = u bo‘lib u  .
4-misol. -arcsinx = arccosx (1) tenglamani yeching.
Yechish:
sin( -arcsinx) = sin(arccosx)
sin(arcsinx) = sin(arccosx)
x =  (2)
2 = 1; x = 
- (2) irratsional tenglamaning ildizi emas. Bu (2) ning har 2 tomonini kvadratga ko‘targanimizda hosil bo‘lgan chet ildizdir.
x =  irratsional tenglama (2) ning yechimi bo‘lib, berilgan (1) tenglamaning yechimi bo‘lmaydi. Demak, (1) tenglama yechimga ega emas, aks holda
arcsinx+arccosx = 
ayniyatga ziddiyat kelib chiqadi.
x =  boshqa arcsinx = arccosx tenglamani qanoatlantiradi.