2.5.Sonli tengsizliklardan fodalanish. Trigonometrik tenglamalarni yechishda vektorlarning skalyar ko‘paytmasidan foydalanish. Sonli tengsizliklardan fodalanish. Ba’zi hollarda biror sonli tengsizlikni tenglamaning biror qismiga qо‘llab, tenglamani teng kuchli sistemaga almashtirish mumkin. Bunday tengsizliklarga misol qilib ikkita musbat va sonlarning о‘rta arifmetigi va о‘rta geometrigi orasidagi bog‘lanishni olamiz, tenglik belgisi da о‘rinli.
Kо‘p hollarda quyidagi tengsizliklarning natijasidan foydalanish qulay a>0 da , a=1 da , a 0 da , a=-1 da .
14-misol. (23) tenglamani yeching.
Yechish: Ixtiyoriy musbat va sonlari uchun (23) tengsizlik о‘rinli ekanini isbotlaymiz. Avval va sonlari uchun, keyin va sonlari uchun о‘rta arifmetik va о‘rta geometrik orasidagi tengsizlikni qо‘llab va ni hosil qilamiz.
Bundan .
(26) tenglamaning aniqlanish sohasida bо‘lgani uchun
(24) tengsizlikni qо‘llab (23) tenglamaning chap qismi 4 dan kichik emasligini kо‘ramiz. Shu bilan birga (23) tenglamaning aniqlanish sohasida .
Natijada (26) tenglama quyidagi tenglamalar sistemasiga teng kuchli.
(25)
(28) sistemaning 2-tenglamasining yechimi va . Bularni (25) sistemaning birinchi tenglamasiga qо‘yib, tenglamaning yechimi ekanini kо‘ramiz. Demak, va lar berilgan tenglamaning yechimlari bо‘ladi.
J: va .
Trigonometrik tenglamalarni yechishda vektorlarning skalyar ko‘paytmasidan foydalanish. Ma’lumki, 2 ta vektorning skalyar ko‘paytmasi ularning uzunliklari va ular orasidagi burchak kosinusi ko‘paytmasiga teng. .
, bo‘lgani uchun .
Agar vektorlar koordinatalari bilan berilgan bo‘lsa, yaэni va bo‘lsa, .
1-misol. tenglamani yeching.
Yechish: va vektorlarni kiritamiz.
U holda
.
Demak,
.
Berilgan tenglamani ko‘rinishda yozish mumkin. Bu tenglik vektorlar orasidagi burchak bo‘lganda bajariladi. Demak, vektorlar parallel, parallel vektorlar mos kordinatalari proporsional
Dastlabki tenglamaga ko‘ra va .
ekangligi aniq.
Javob:
2-misol. tenglamani yeching.
Yechish: va vektorlarni kiritamiz.
Tenglamani ko‘rinishda yozish mumkin ekanligi ravshan.
va vektorlar yo‘nalishdosh shartini qo‘llab, ularning koordinatalari proporsional bo‘lishi kerakligini aniqlaymiz. U holda
(*)
