Bu vazifalarni amalga oshirishda biz asrlar mobaynida shakllangan milliy an’analarimizga, ajdodlarimizning boy merosiga tayanamiz

1.2.Trigonametrik ayniyatlar.

I. Asosiy trigonometrik ayniyatlar:

II. Bu ayniyatlardan kelib chiqadigan formulalar quyidagilardir:

III. Ikki burchak yig’indisi va ayirmasining trigonometrik funksiyalari.

Keltirish formulalari:

IV. Ikkilangan va uchlangan burchakning trigonometrik funksiyalari:

1. 
   
   

V. Yarim argumentning trigonometrik funksiyalari

VI. Trigonometrik funksiyalar ko’paytmasini yig’indiga keltirish formulalari:

VII. Trigonometrik funksiyalar yig’indisi va ayirmasining formulalari:

2. 
   
   

1.3.Daraja pasaytirishning umumiy fo’rmulasi.


R cos tenglamaning chap qismi trigonometrik funksiyalarga nisbatan ratsionaldir. Agar R ifoda uchun ratsionallashtiradigan o‘rniga qo‘yish ma’lum bo‘lsa, unga kiruvchi hamma trigonometrik funksiyalar biror qo‘shishga bog’liq ratsional tenglama bo‘ladi. Trigonometrik tenglamalarni ratsionallashtiradigan asosiy o‘rniga qo‘yishlarga keltiramiz. Universial o‘rniga qo‘yish har qanday ga bog’liq tenglamani ratsionallashtiradi. R (R) tenglama argumentli trigonometrik funksiyalarga nisbatan ratsionaldir. (R) tenglamaning har qanday (haqiqiy) yechimi
bo‘ladi
Universial almashtirish orqali (R) tenglamaning yechimi topiladi, bunda
ko‘rinishdagi yechimlarini chiqarib tashlaymiz.(bu holda mavjud emas). Bu ko‘rinishdagi mavjud yoki mavjud bo‘lmagan yechimlar tekshirish orqali aniqlanadi.
1 Kosinus va sinusga nisbatan chiziqli bo‘lgan
(1) (
tenglamaga universial almashtirishlarni qo‘llaymiz.
deb belgilab

tenglamani hosil qilamiz. ga qisqartirib
(2) kvadrat tenglama hosil qilamiz ko‘rinishidagi sonlar da berilgan tenglamani qanoatlantiradi.
Shuning uchun tekshirish 2 ta holga ajratiladi.
Agar bo‘lsa (2) kvadrat tenglama haqiqiy ildizga ega emas, berilgan (1) tenglama yechimga ega emas.
Agar bo‘lsa (2) kvadrat tenglama haqiqiy ildizlari
formuladan topiladi. Tenglamaning umumiy yechimi

Agar bo‘lsa, (1) tenglama yechimga ega emas.
. Bu holda berilgan tenglama yechimga ega, natijada (2) tenglama 1-darajali tenglamaga aylanadi, bundan
ni topamiz.
2. R kosinus (yoki sinus)ga bog’liq tenglama juft darajalarda
almashtirish orqali ratsionallashtiriladi.
3. tenglama bir jinsli trigonometrik tenglama deyiladi.
(1) tenglamaning har ikki tomonini ga ko‘paytirib
(2)
tenglamani hosil qilamiz bo‘lgani uchun chet ildizlar paydo bo‘lmaydi. (2) tenglamaning aniqlanish sohasi (1) tenglamaning aniqlanish sohasiga tegishli. (2) tenglamaning chap qismi da ma’noga ega emas, (1) tenglamaning chap tomoni ning ixtiyoriy qiymatida ma’noga ega. sonlardan hech biri (1) to‘plamni qanoatlantirmaydi. (1) ga ni qo‘yib ziddiyatli natija
ni hosil qilamiz. Natijada ildizlarni yo‘qotish ro‘y bermaydi, shuning uchun (1) va (2) tenglamalar ekvivalentdir.
(1) tengalamaning dastlabki bir nechta koeffisienti 0 ga teng bo‘lsin.

Bu holda tenglama
ko‘rinishiga keladi. Bu 2 ta va
tenglamalar birlashmasiga teng kuchlidir. 1-tenglama oddiy bo‘lib, 2-tenglama holdagi kabi yechiladi. Bir jinsli tenglamaga keltiriladigan ba’zi bir trigonometrik tenglamalarni ko‘rsatamiz.
tenglamaning o‘ng tomonini
ga almashtirib 2-darajali bir jinsli tenglama hosil qilamiz.

Tenglamaning o‘ng tomonini ga almashtirib 4-darajali bir jinsli tenglama hosil qilamiz.

larni ikkilangan burchak formulasi bo‘yicha yoyib yoki
ga almashtirib 2 bir jinsli tenglama hosil qilamiz.
Misollar.
1-misol. tenglamani yeching.
Yechish: Universial va shakl almashtirishdan so‘ng bundan (suratni ko‘paytuvchilarga ajratamiz.)
.
Bu tenglamaning haqiqiy ildizlari .Bundan berilgan tenglama (2k+1) ko‘rinishdagi yechimlarga ega bo‘lmaydi, shuning uchun topilgan yechim umumiy yechim bo‘ladi.
2-misol.
tenglamani yeching.
Yechish. almashtirish bajaramiz.
ifoda orqali ratsional ifodaga keladi
.
Bundan
. Bundan va
3-misol. tenglamani yeching.
Yechish. orqali ratsional ifodalanadi.

almashtirish bajaramiz.