Bütün kompleks ədədlərin çoxluğunu

Eyriler
Bütün kompleks ədədlərin çoxluğunu 𝐶 ilə işarə edəcəyik. Tutaq ki, 𝑎 ∈ 𝐶 nöqtəsi və 𝑟 > 0 həqiqi ədədi verilmişdir. Onda ^|𝑧 − 𝑎^| < 𝑟 şərtini ödəyən bütün 𝑧 ∈ 𝐶 kompleks ədədlərinin çoxluğuna 𝑎 nöqtəsinin 𝑟-ətrafı deyilir. Bu ətrafı biz 𝑈_𝑟(𝑎) kimi işarə edəcəyik. Deməli,
𝑈_𝑟⁽𝑎⁾ ≔ ^{𝑧: 𝑧 ∈ 𝐶, ^|𝑧 − 𝑎^| < 𝑟^}.

𝑟
Həndəsi olaraq, 𝑈_𝑟(𝑎) çoxluğu kompleks müstəvi üzərində mərkəzi 𝑎 nöqtəsində yerləşən və radiusu 𝑟 müsbət ədədinə bərabər olan açıq dairəni göstərir. Bu dairənin çevrəsi dairəyə aid edilmir. 𝑈_𝑟(𝑎) çoxluğundan 𝑎 nöqtəsini atdıqda alınan çoxluğa, yəni 𝑈_𝑟(𝑎)\^{𝑎^} çoxluğuna 𝑎 nöqtəsinin oyulmuş (deşilmiş) 𝑟-ətrafı deyilir. Bu ətrafı biz 𝑈⁰(𝑎) kimi işarə edəcəyik. Deməli,

𝑟
𝑈⁰⁽𝑎⁾ = ^{𝑧: 0 < ^|𝑧 − 𝑎^| < 𝑟^}.
İndi 𝐸 ⊂ 𝐶 çoxluğunu və 𝑎 ∈ 𝐸 nöqtəsini götürək. Əgər 𝑎 nöqtəsi 𝐸 çoxluğuna özünün müəyyən ətrafı ilə birlikdə daxil olarsa, onda 𝑎 nöqtəsinə 𝐸 çoxluğunun daxili nöqtəsi deyilir. Əgər 𝐸 çoxluğunun bütün nöqtələri onun daxili nöqtələridirsə, onda 𝐸-yə açıq çoxluq deyilir.
Əgər 𝐸 ⊂ 𝐶 çoxluğunun ixtiyari iki nöqtəsini tamamilə bu çoxluqda yerləşən sınıq xətt vasitəsilə birləşdirmək mümkündürsə, onda 𝐸 çoxluğuna rabitəli çoxluq deyirlər.
Rabitəli və açıq olan çoxluğa oblast deyilir. Yoxlamaq olar ki, 𝑟 ixtiyari müsbət ədəd olduqda 𝑈_𝑟⁽𝑎⁾ çoxluğu rabitəli və açıq çoxluqdur, yəni oblastdır.
Əgər bizə bir 𝐺 oblastı verilibsə, onda kompleks müstəvinin bütün nöqtələrini bu oblasta nəzərən iki sinfə bölmək olar. Birinci sinfə 𝐺 oblastının nöqtələrini, ikinci sinfə isə 𝐺 oblastına daxil olmayan nöqtələri aid edək. İkinci sinfə aid olan nöqtələri də iki hissəyə ayırmaq olar.
Əgər 𝐺-yə daxil olmayan nöqtənin 𝐺 ilə kəsişməyən ətrafı varsa, onda belə nöqtəyə 𝐺-nin xarici nöqtəsi deyəcəyik. Əgər 𝐺-yə daxil olmayan nöqtənin ixtiyari ətrafında 𝐺-nin elementi varsa, belə nöqtəyə 𝐺-nin sərhəd nöqtəsi deyirlər. 𝐺 oblastının bütün sərhəd nöqtələrinin çoxluğuna bu oblastın sərhədi deyilir.
Sərhədi olmayan yeganə oblast genişlənmiş kompleks müstəvidir.

𝐺 oblastı ilə onun sərhədinin birləşməsinə qapalı oblast deyilir və 𝐺 kimi işarə olunur.
İndi Jordan əyrisi anlayışı ilə tanış olaq. Hesab edək ki, 𝑥(𝑡) və 𝑦(𝑡) verilmiş ^[𝛼, 𝛽^] parçasında təyin olunmuş həqiqi və kəsilməz funksiyalardır. Kompleks müstəvi üzərində yerləşən 𝑧⁽𝑡⁾ = ⁽𝑥⁽𝑡⁾, 𝑦(𝑡)⁾, 𝑡 ∈ ^[𝛼, 𝛽^], nöqtələrinin çoxluğuna kəsilməz əyri deyirlər. Bu halda

{
𝑥 = 𝑥⁽𝑡⁾,
𝑦 = 𝑦⁽𝑡⁾,

𝑡 ∈ ^[𝛼, 𝛽^], (1)

tənliklərinə həmin əyrinin parametrik tənlikləri deyirlər. Bu əyrini 𝐿 ilə işarə etsək, onda 𝐿 = ^{𝑧: 𝑧 = 𝑧⁽𝑡⁾, 𝑡 ∈ ^[𝛼, 𝛽^]} yaza bilərik. 𝑧⁽𝛼⁾ = ⁽𝑥⁽𝛼⁾, 𝑦(𝛼)⁾ və

𝑧⁽𝛽⁾ = ⁽𝑥⁽𝛽⁾, 𝑦(𝛽)⁾ nöqtələrinə 𝐿 əyrisinin uc nöqtələri deyirlər. Əgər 𝑡
parametrinin müxtəlif qiymətlərinə əyrinin müxtəlif 𝑧(𝑡) nöqtələri (𝑧⁽𝛼⁾ və
𝑧⁽𝛽⁾ nöqtələri istisna olmaqla) uyğun olarsa, onda belə əyriyə Jordan əyrisi deyirlər. 𝑧⁽𝛼⁾ nöqtəsinə əyrinin başlanğıc nöqtəsi, 𝑧⁽𝛽⁾-ya isə son nöqtəsi deyilir. 𝑧⁽𝛼⁾ = 𝑧⁽𝛽⁾ olduqda əyriyə qapalı əyri, 𝑧⁽𝛼⁾ ≠ 𝑧⁽𝛽⁾ olduqda isə açıq əyri deyirlər.
Əyrinin Jordan əyrisi olması o deməkdir ki, bu əyrinin öz-özünü kəsmə nöqtəsi yoxdur.
Qeyd edək ki, 𝐿 əyrisinin tənliyini kompleks şəkildə belə də yazmaq olar:
𝑧 = 𝑧⁽𝑡⁾ = ⁽𝑥⁽𝑡⁾, 𝑦(𝑡)⁾ = 𝑥⁽𝑡⁾ + i𝑦(𝑡), 𝑡 ∈ ^[𝛼, 𝛽^].
Əgər 𝐺 oblastının daxilində yerləşən ixtiyari qapalı Jordan əyrisinin əhatə etdiyi oblast 𝐺-yə daxildirsə, onda 𝐺 oblastına birrabitəli oblast deyirlər. Bu şərti ödəməyən oblasta isə çoxrabitəli oblast deyilir..