Dış lastik bak lastik

diferansiyel denklem, bir ya da daha çok türevi, yanisürekli olarak değişen niceliklerin değişme oranları arasındaki ilişkiyi gösteren matematiksel ifade. Temel bilimler, mühendislik, ekonomi gibi niceliklerle ilgilenen pek çok alanda diferansiyel denklemlerden yararlanılır.

Türev, sürekli bir değişkenin bir başka değişkene göre değişimini ifade eder. Örneğin, t zamanı ve x konumu (alınan yolu) gösterirse, x'in t'ye göre birinci türevi olan x' (t)=dx/dt ifadesi hızı, ikinci türevi olan x" (t) = d¹x/dt¹ ifadesi ise hızın zamana göre değişimi olan ivmeyi verir. Kütle m ve kuvvet F olarak gösterilirse, F = mdrx/dt² diferansiyel denklemi, Newton'un hareket yasasının matematiksel gösterimidir. Bir başka örnek nüfus artışı probleminde görülür. Bir topluluktaki birey sayısı olan n, istatistiksel anlamda sürekli bir değişken olarak düşünülebilir; örneğin, «=3,87 gibi bir ifade istatistiksel olarak anlamlıdır. Topluluğun büyüme hızının yalnızca topluluktaki birey sayısıyla doğru orantılı olduğu kabul edilirse,bu model dn/dt=andiferansiyel denklemiyle özetlenebilir. Burada t zaman, a ise orantı katsayısıdır.

Bir diferansiyel denklem, nicelikler arasındaki ilişkileri kapalı olarak belirler. New- ton'un hareket yasası, hareketi belirleyen kuraldır ama hareketi açık olarak tanımlamaz. Matematikte türev, eğrinin eğimini verdiğinden y'= 2x diferansiyel denklemi, y=y(x) eğrisinin geometrik özelliğini tanımlar ama eğrinin kendisinin ne olduğunu açık olarak belirtmez. Bu bilgi denklemde saklıdır ve ancak denklemin çözümüyle ortaya çıkar. Diferansiyel denklemi gerçekleyen bir fonksiyona denklemin çözümü denir. y = x^; fonksiyonu y'= 2x denkleminin bir çözümüdür.

Diferansiyel denklemler kuramının temel amacı çözümleri bulmaktır. Ancak açık çözüm bulma yöntemleri oldukça kısıtlıdır ve yalnız özel tip denklemlere uygulanabilir. Bu nedenle diferansiyel denklemler konusundaki çalışmaların önemli bir bölümü, çözüm için açık ifadeler bulmak yerine çözümün özelliklerinin dolaylı yoldan irdelenmesi yönündedir.

Diferansiyel denklemler incelemeyi kolaylaştırmak için çeşitli biçimlerde sınıflandın-lir. Denklemin en büyük türevinin basamağına, o denklemin basamağı denir. Genel olarak basamak büyüdükçe diferansiyel denklem karmaşıklaşır. Denklem, fonksiyonun ve onun türevlerinin bir çokterimlisi (polinomu) biçimindeyse, çokterimlinin derecesine denklemin derecesi denir. Özel olarak birinci dereceden denklemlere doğrusal denklemler adı verilir. Uygulama ve kuramda önemli bir yer tutan doğrusal denklemler, doğrusal cebir yöntemlerinin uygulanabilirliği açısından da büyük önem taşır.

Bir başka temel sınıflandırma da, diferansiyel denklemdeki bağımsız değişkenlerin sayısına göre yapılır. Türevleri yalnız tek bir değişkene göre alınan denklemler, adi diferansiyel denklem olarak tanımlanır. Türevleri birden çok bağımsız değişkene göre alınan denklemlere ise kısmi diferansiyel denklem denir. Örneğin, Nevvton'un hareket yasası, ikinci basamaktan doğrusal bir adi diferansiyel denklemdir (F=md²x/dt²). Buna karşılık, (Sulfix)² = du/dy³ denklemi iki bağımsız değişkenli ikinci dereceden üçüncü basamak bir kısmi diferansiyel denklemdir. Kısmi diferansiyel denklemlerde değişken sayısının çokluğu adi diferansiyel denklemlerden farklı sorunlar yaratır ve ayrı yaklaşımlar gerektirir. Bu nedenle bu iki sınıf birbiriyle ilişkili halde, ama ayrı öğretiler olarak ele alınır.

Diferansiyel denklemlerde birden çok fonksiyon içeren ve birkaç denklemden oluşan, adi ya da kısmi diferansiyel denklem sistemleri de ele alınır. Örneğin, kedi ve fare gibi iki değişik türden oluşan bir toplum modeli incelendiğinde, kediler farelerle besleneceğinden daha önceki örnekte- kine ek olarak kedi sayısındaki artış fare sayısıyla da orantılı olur. Öte yandan kedi sayısının artışı fare sayısını azaltacaktır. Bu ilişkilerin doğru orantılı olduğu ve toplulukların büyümesini etkileyecek başka hiçbir etmenin bulunmadığı kabul edilirse, nüfus artışları dk/dt= ak + lif, df/dt= yf- S k diferansiyel denklem sistemiyle ifade edilir. Burada k kedi, / fare sayısı, t zaman, a, P, y, 8 orantı katsayılarıdır. k{t) ve f(t) fonksiyonlarının çözümüyle modelin yorumu yapılabilir.