Dış lastik bak lastik

Diferansiyel denklemlerin tarihçesi. Diferansiyel denklemler üzerine ilk çalışmalar, 17. yüzyılda diferansiyel ve integral hesabın bulunmasıyla başladı. 1680'lerde Nevvton, bazı adi diferansiyel denklem türlerini sınıflandırarak, bunlara sonsuz seri teknikleriyle çözüm buldu. Ama konuyu ele aldığı yapıtı ancak 1736'da basıldığından, Nevvton'un bulguları ilk gelişmelerde fazlaca etkili olmadı.

Öte yandan 1690'larda, birbiriyle yazışmakta olan Alman filozof ve matematikçi Gottfried Wilmhelm Leibniz ile İsviçreli Jacob ve Johann Bernoulli kardeşler kuramın ilk yapıtaşlarını kurarak, bazı fizik problemlerini bu yöntemle çözmeye başladılar. 1730'lara gelinceye değin, İtalyan Iacopo Francesco Riccati, Bernouilli ler, Fransız Alexis-Claude Clairaut gibi önemli matematikçilerin de katkılarıyla, birinci basamaktan adi diferansiyel denklemlerin günümüzde de kullanılan hemen hemen tüm çözüm teknikleri geliştirildi. Bu yöntemler, fizik problemlerinin yanı sıra, eğriliği verilmiş düzlem eğrisinin ve verilen bir eğri ailesine dik eğrilerin bulunması gibi çeşitli geometri problemlerine uygulandı.

1728'den başlayarak diferansiyel denklemlerde, İsviçreli matematikçi Leonhard Eu- ler'in etkisi görülür. Euler, matematiğin hemen her dalında olduğu gibi, diferansiyel denklemlere de belirgin katkılarda bulundu. Doğrusal adi diferansiyel denklemler kuramı ve seri çözümleri üzerine yöntemler, Euler'in en önemli bulguları arasında sayılabilir. Gene Euler'in bulduğu ilginç bir diferansiyel denklem örneği, 1820'lerde Norveçli matematikçi Niels Henrik Abel ile Alman matematikçi Kari Gustav Jacob Jacobi'nin geliştirecekleri eliptik fonksiyonlar kuramına giden yolu açtı. Kısmi diferansiyel denklemlere ilgi ise fizik bilimindeki gelişmeler sonucu ortaya çıktı. Önceleri dağınık bazı sonuçlar gözlen- diyse de ilk sistemli çalışmalar 18. yüzyılda başladı. Euler ve Fransız matematikçi Jean le Rond d'Alembert dalga hareketini, Fransız matematikçi ve astronom Pierre-Simon Laplace potansiyel kuramını, Fransız matematikçi Jean-Baptiste-Joseph Fourier ısı iletimini ve Alman matematikçi Cari Fried- rich Gauss potansiyel ve elektromagnetizma kuramlarını incelerken, bazı kısmi diferansiyel denklemlerle karşılaştılar. Konunun temel örneklerini oluşturan bu denklemlerde- ki çalışmalar, günümüzde de sürmekte olan gelişmeler zincirinin ilk halkalarını oluşturdu.

Adi ve kısmi diferansiyel denklemler alanlarındaki ilk çalışmalar, çözüm teknikleri geliştirme ve çözüm gösterimleri bulma doğrultusundaydı. Elde edilen sonuçlar ve karşılaşılan sorunlar matematikçileri temel kavramlara yöneltti. 1820'lerde Abel ve Fransız matematikçi Augustin-Louis Ca- uchy'nin fonksiyon kavramı üzerine temel araştırmaları ile Cauchy'nin analizdeki bulguları diferansiyel denklemlerde yeni ufuklar açtı. Matematikçiler daha genel ve daha temel sorunlara yanıt aramaya başladılar. Çözümün varlığı, varsa tekliği, genel nitelikleri gibi sorular önem kazandı. Cauchy, adi diferansiyel denklemlerde çözümün varlığını savunan ilk varlık kuramını kanıtladı. Cauchy'nin kanıtı genel bir denklemin çözümü için bir formül içermiyorsa da çözüm için önemli yaklaşımlar getiren bir yöntemi kapsıyordu. Sonraları matematiğin öteki dallarındaki gelişmeler oldukça soyut yöntemlerin de kullanılmasına yol açtı. Her ne kadar soyut bir yöntem diferansiyel denklemi çözmek için açık bir teknik getirmese de, elde edilen sonuç çözümün nasıl olacağının belirlenmesinde önemli bilgiler içerebili- yordu.

Diferansiyel geometri, gerçek ve karmaşık analiz ve daha sonraları fonksiyonel analizdeki gelişmeler, diferansiyel denklemler kuramına da yansıdı. Günümüzde diferansiyel denklemler matematiğin hemen her dalıyla ilişki içindedir. Diferansiyel denklemler yoluyla elde edilen sonuçlar yalnızca uygulamalı bilimlerde değil, matematiğin pek çok alanında da kullanılır. Diferansiyel denklemler kuramı aynı zamanda, birçok sorunun ve yeni konuların ortaya çıkmasına yol açmıştır.

Adi diferansiyel denklem, y' = 2x adi diferansiyel denkleminin çözümleri, integral hesabın yardımıyla y=x²+c olarak bulunur. Burada c herhangi bir sabit sayı olabilir. Genelde bir diferansiyel denklemin sonsuz sayıda farklı çözümü vardır. Tüm çözümleri kapsayan bir ifadeye denklemin genel çözümü denir. y+x²=c genel çözümünde görüldüğü gibi genel çözüm, belirlenmemiş sabitlere bağlı bir fonksiyonlar ailesidir. Öte yandan uygulamada, birçok diferansiyel denklemin yanında, bazı ek koşullar da bulunur. Örneğin Newton'un hareket yasasında, hareketi belirleyebilmek için başlangıçta konumunun ve vo hızının bilinmesi gerekir. Matematiksel olarak bu, md²xl dt²=F, x(0)=xo, x'(0)=vo, başlangıç değer problemiyle gösterilir. Burada istenen hem diferansiyel denklemi hem de ek koşulları sağlayan çözümün bulunmasıdır.

Adi diferansiyel denklemlerde en sık rastlanan iki ek koşullu problem türü, başlangıç

137 diferansiyel denklem

değer ve sınır değer problemleridir, n'inci basamaktan bir adi diferansiyel denklem için başlangıç değer probleminde, çözüm ve ilk n-1 türevinin başlangıç noktasındaki değerleri önceden verilir. Sınır değer problemlerinde ise, durum farklıdır; örneğin a ve b gibi iki nokta alınır. Diferansiyel denklemin (a, b) aralığında sağlanmasıyla birlikte, x=a ve x=b noktalarında da çözümün ve türevlerinin verilen bağıntıları sağlaması istenir.

Başlangıç değer problemi için genel varlık ve tekillik kuramları kanıtlanmıştır. Bu kuramlar uygun koşullarda bir başlangıç değer probleminin tek bir çözümü olması gerektiğini ortaya koyar. Sınır değer problemlerinde ise durum farklıdır; bu tür bir problemin hiçbir çözümü olmadığı gibi çok sayıda çözümü de olabilir. Çelişkili gibi görünse de sınır değer problemlerindeki bu belirsizlik, uygulamada önemli sonuçlar doğurur. Örneğin, bir kemanın çıkartacağı sesleri, uygun bir sınır değer probleminin çözümü olmadığı ya da birden fazla çözümü olduğu durumlar belirler. »Adi diferansiyel denklemlerde, özellikle birinci basamaktan denklemler için çeşitli çözüm yöntemleri geliştirilmiştir. Gene de bu yöntemlerin uygulanamadığı birçok durumda dolaylı yöntemlerden yararlanmak gerekir. Yüksek basamaklı denklemler için açık çözüm teknikleri oldukça sınırlıdır. Doğrusal denklemlerde ise durum daha farklıdır, n'inci basamaktan doğrusal bir adi diferansiyel denklemin çözümleri, n boyutlu bir vektör uzayı oluşturur. Doğrusal cebir sonuçlarının uygulanabilirliği, bu tür denklemlerin sistemli olarak incelenebilmesine olanak tanır. Doğrusal olmayan denklemler için genel kapsamlı çok az şey söylenebilir. Bu tür denklemlerin incelenmesinde en sık başvurulan yöntem, doğrusal olmayan denklem yerine ona benzeyen başka bir doğrusal denklemi incelemek ve sonuçtan giderek çözümü belirlemektir.

Bilgisayarların da yardımıyla diferansiyel denklemlere yaklaşık sayısal çözümler bulmak en sık başvurulan yöntemlerden biridir. Sayısal (dijital) çözümleme yöntemleriyle yaklaşık çözümler bulmak, hem uygulamalı hem de kuramsal matematiğin güncel konuları arasındadır. Sayısal yöntemlere bir örnek olarak sonlu fark yöntemi verilebilir. Bu yöntemde önce yaklaşık değerlerin bulunacağı sonlu sayıda, x\, -*2-••, Xk gibi noktalar seçilir. Sonra bu noktalardaki y' türevi değerleri