G. H. Mead Espíritu, persona y sociedad
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(2) d ( 1 + 2 + . . . + » ' ) =^n •{>, + ]). A partir de lo anterior, es fácil obtener la fórmula general jjara la suma de ima serie aritmética. También podemos obtener "números oblongos", esto es, los números de figuras rectangulares oblongas, la más simple de las cuales es oblonga es un número par, y los números oblongos son las sumas litios números pares. Estas consideraciones fueron extendidas a los sólidos. Por ejemplo, sumando los primeros ni'imeros triangulares, se obtienen los número-^ piramidales. Pero su principal aplicación fue a figuras planas, o iontornos, o "Formas". Se creía que éstas se caracterizaban por su (orrr^- pondiente sucesión de números y, por ende, por las proporciones numéiicas de los números consecutivos de la sucesión. En otras palabras, las "Formas" son números o proporciones numéricas. Por otro lado, no sólo los contornos de las cosas son números, sino también las propiedades abstractas, como la armonía o la "rectitud". De este modo se llegó a la teoría general de que los números son las esencias racionales de todas las cosas. Parece probable que haya influido sobre el ilesarrollo de esta concepción la semejanza de los diagramas de puntos con los diagramas de constelaciones como las del Leión, Escorpión o Virgo. Si xm León es un ordenamiento de puntos, debe tener un número. Así, el pitagorismo parece vinculado con la creencia de cjue los números, o "Formas", son los contornos celestiales de las cosas. 107 Uno de los elementos principales de esta primitiva teoría era el llamado "Cuadro de los Opuestos", basado en la distinción fundamental entre números pares e impares. Este cuadro contiene cosas tales como:
Al leer este extraño cuadro nos hacemos una idea acerca de la mentalidad pitagórica y de por qué eran consideradas en esencia, en nijmeros, no solamente las "Formas" o contornos de las figuras geométricas, sino también las ideas abstractas, como las de Justicia y, claro está, Armonía y Salud, Belleza y Conocimiento. Este cuadro también es interesante porque fue adoptado por Platón, con muy pocos cambios. En verdad, podría describirse, un poco toscamente, la primitiva versión de la famosa teoría de las "Formas" o "Ideas" de Platón como la doctrina de que la parte del Cuadro de los Opuestos en el que figura "Bueno" constituye un Universo (invisible), un Universo de la Realidad Superior, de las "Formas" Inmutables y Determinadas de todas las cosas; y de que sólo puede haber Conocimiento Verdadero y Cierto (episteme = scientia = ciencia) de este Universo Inmutable y Real, mientras que el mundo visible de cambio y flujo en que vivimos y morimos, el mundo de la generación y la destrucción, el mundo de la experiencia, sólo es una especie de reflejo o copia de ese Mundo Real. El segundo sólo es un mundo de la apariencia, del que no puede obtenerse ningún Conocimiento Cierto y Verdadero. Todo lo que puede lograrse en lugar del Conocimiento (episteme) son las opiniones (doxai) plausibles, pero inciertas y prejuiciosas, de los mortales falibles. " En su interpretación del Cuadro 18 La distinción de Platón (episteme frente a doxa) deriva de Jenófane» (verdad frente a conjetura o apariencia) a través de Parménides. Platón com prendió claramente que todo conocimiento del mundo visible, el cambiante mun do de la apariencia, consiste de doxa; que está teñido de incertidumbre aunque utilice al máximo la episteme, el conocimiento de las "Formas" inmutables y de la matemática pura; y aunque interprete el mundo visible con la ayuda de una teoría acerca del mundo invisible. Cf. Cratilo, 439b y sigs.. República, 476d y sigs.; y especialmente Timeo, 29b y sigs., donde se aplica la distinción a esas parces de la teoría platónica que hoy llamamos "física" o "cosmología", o, con mayor generalidad, "ciencia natural". Pertenecen, dice Platón, al ámbito de la doxa (a pesar del hecho de que la ciencia = scientia — episteme; cf. mis observaciones 108
de los Opuestos, Platón fue influido por Parménides, el pensador cuyo estímulo condujo a la creación de la teoría atómica de Demócrito. VI La teoría pitagórica, con sus diagramas de puntos, contiene indudablemente su sugerencia de un atomismo muy primitivo. Es difícil estimar en qué medida la teoría atómica de Demócrito recibió la influencia del pitagorismo. En cambio, parece seguro que las principales influencias provinieron de la escuela eleática: de Parménides y Zenón. El problema básico de esta escuela y de Demócrito fue el de la interpretación racional del cambio. (En este punto, difiero de la interpretación de Cornford y otros.) Creo que este problema deriva de Heráciito y, por consiguiente, del pensamiento jónico más que del pitagórico**; creo también que sigue siendo el problema fundamental de la Filosofía Natural. Aunque Parménides no fue, quizás, un físico (a diferencia de sus grandes predecesores jónicos), creo que se lo puede considerar como el padre de la física teórica. Elaboró una teoría antifísica ^ (más que a-física, como decía Aristóteles) que, sin embargo, fue el primer sistema hipotético-deductivo. Fue el primero de una larga serie de tales sistemas de teorías físicas, cada uno de los cuales significó un avance con respecto a su predecesor. Por lo general, ese avance fue considerado necesario porque se comprendió que el sistema anterior había sido refutado por ciertos hechos de la experiencia. Esta refutación empírica de las consecuencias de un sistema deductivo estimula los esfuerzos tendientes a su reconstrucción, y, de este modo, a crear una teoría nueva.y mejorada que, por lo común, lleva las huellas de su linaje, de la vieja teoría y de la experiencia refutadora. Como veremos, esas experiencias u observaciones fueron muy toscas al principio, pero se hicieron cada vez más sutiles a medida que
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las teorías se hicieron cada vez más capaces de explicar las observaciones más toscas. En el caso de la teoría de Parménides, el conflicto con la observación era tan obvio que puede parecer fantasioso llamar a esa teoría el primer sistema hipotético-deductivo de la física. Podemos, entonces, llamarla el último sistema deductivo prefísico, cuya refutación dio origen a la primera teoría física de la materia, la teoría atómica de Demócrito. La teoría de Parménides es simple. Halla imposible comprendct el cambio o el movimiento racionalmente, y concluye que, en lealidail. no hay ningiin cambio, o que el cambio es sólo aparente. Pero ante-- de permitirnos sentimientos de superioridad frente a semejante teoría desesperanzada e irreal, debemos comprender que hay aquí un serio problema. Si una cosa X cambia, entonces ya no es más la cosa X. Por otro lado, no podemos decir que X cambia sin afirmar, por implicación, que X persiste durante el cambio, que es la misma cosa X al principio y al final del cambio. De este modo, pareciera que llegamos a una contradicción, y que la idea de que una cosa cambia —y, por lo tanto, la idea misma del cambio— es insostenible. Todo eso suena muy filosófico y abstracto, y lo es. Pero lo cierto es que la dificultad indicada nunca dejó de hacerse sentir en el desarrollo de la física ^i; y un sistema determinista como la teoría del campo de Einstein hasta puede ser considerado como una versión tetradimensional del universo tridimensional inmutable de Parménides. Pues, en cierto sentido, en el compacto universo tetradimensional de Einstein no se produce ningún cambio. Todo está ahí tal como c-», en su locus tetradimensional; el cambio se convierte en una especie de cambio "aparente"; es "sólo" el observador quien se desliza, por decir así, a lo largo de su línea mundial y llega a conocer sucesivamenti los diferentes loci a lo largo de esta línea mundial, es decir, de su medio circundante espacio-temporal... Pero dejemos al nuevo Parménides para volver al viejo padre de la física teórica. Podemos parafrasear su teoría deductiva, aproximadamente, de la siguiente manera: (1) Sólo lo que es, es. (2) Lo que no es no existe. (3) El no-ser, esto es, el vacío, no existe. 21 Se lo puede ver a través de la lectura del libro de Emile Meyersoii Ideulilc et Réalilé, uno de los estudios filosóficos más interesantes que se han escrito acerca del desarrollo de las teorías físicas. Hegel (siguiendo a Heráclito, o i;i exposición que hace Aristóteles de sus doctrinas) consideró que el cambio (que para él es contradictorio) demuestra la existencia de contradicciones en el mundo y, por lo tanto, refuta el "principio de contradicción"; es decir, el principio de que nuestras teorías • deben evitar las contradicciones a toda costa. Hegel y sus seguidores (especialmente Engels, Lenin y otros marxistas) comenzaron a ver "contradicciones" en todas partes y atacaron a todas las filosofías que defienden el principio de contradicción por considerarlas "metafísicas", término que ellos usan para significar que estas filosofías ignoran el hecho de que el mundo cambia. Ver el cap. 15. 110
(4) El mundo es pleno. (5) El mundo no tiene partes; es un enorme bloque (porque es pleno). (6) El movimiento es imposible (puesto que no hay espacio vacío hacia c) cual pueda moverse algo). Las conclusiones (5) y (6) eran, obviamente, contradichas por los hechos. Por ello, de la falsedad de la conclusión, Demócrito intirió la falsedad de las premisas: (6') Hay movimiento (luego, el movimiento es posible). (5') El mundo tiene partes: no es uno, sino múltiple. (4') Luego, el mundo no puede ser pleno. ^ (3') El vacío (o el no-ser) existe. Hasta este punto, la teoría tuvo que ser modificada. Con respecto al ser, o a las muchas cosas existentes (en oposición al vacío), Demócrito adoptó la teoría de Parménides de que ellas no tienen partes. Son indivisibles (átomos) , porque son plenas, porque no tienen vacío en su interior. El aspecto principal de esta teoría es que ofrece una explicación racional del cambio. El mundo está formado por espacio vacío (el vacío), con átomos cíentro cíe éí. Los átomos no cambian; son universos compactos indivisibles, al estilo de Parménides, en miniatura. ^ Todo cambio se debe al reordenamiento de los átomos en el espacio. De acuerdo con esto, todo cambio es molimiento. Puesto que el único tipo de novedad que puede surgir, según esta concepción, es la del reordenamiento ^^, es posible, en principio, predecir todos los cambios
todos los átomos (o, en la jerga moderna, de todas las masas puntuales). La teoría del cambio de Demócrito fue de enorme importancia para el desarrollo de la física. Fue parcialmente aceptada por Platón, quien conservó mucho del atomismo, aunque explicó el cambio, no sólo mediante átomos inalterables pero en movimiento, sino también mediante otras "formas" no sujetas al cambio ni al movimiento. Pero fue condenada por Aristóteles, quie«-sostuvo, en su lugar ^", que todo 22 La inferencia de la existencia del vacío a partir de la existencia del moví miento no es válida porque la inferencia de Parménides de la imposibilidad del movimiento a partir de la plenitud del mundo tampoco lo es. Platón parece haber sido el primero en compiender, aunque oscuramente, que en un mundo pleno es posible el movimiento circular o en forma de torbellino, siempre que en el mundo haya un medio liquido (las hojas del té se mueven en la taza junto con el movimiento circular del té). Esta idea, expuesta con reticencias en el Timeo (donde el espacio está "Heno", .^2e) , se convirtió en la base del cartesianismo y de la teoría del "éter luminífero" que fue sostenida hasta 1905. (Véase también la nota 44 de este capítulo.) 23 La teoría de Demócrito también admitía átomos-bloques grandes, pero la gran mayoría de sus átomos eran invisiblemente pequeños. 2* Cf. The Poverty of Historicism, sección 3. 25 Inspirándose en el Timeo, 55, donde se explican las potencialidades de los elementos por las propiedades geométricas (y las formas corpóreas) de los sólidos correspondientes. 111 cambio es la manifestación de potencialidades inherentes a substancias esencialmente inmutables. La teoría aristotélica de las substancias como sujetos del cambio llegó a predominar, pero resultó estéril ^*, y la teoría metafísica de Demócrito, según la cual todo cambio debe ser explicado por el movimiento, se convirtió en el programa de trabajo tácitamente aceptado en la física hasta nuestros días. Aún forma parte de la filosofía de la física, a pesar de que la física misma la ha superado (para no hablar de las ciencias biológicas y sociales). Con Newton, además de las masas puntuales en movimiento, aparecen las fuerzas, de intensidad (y dirección) cambiante. Es cierto que los cambios de las fuerzas newtonianas pueden explicarse como debidos al movimiento o como dependientes de él, es decir, de la posición cambiante de las partículas. Pero, con todo, no son idénticos a los cambios en la posición de las partículas; esa dependencia, debido a la ley de proporcionabilidad inversa al cuadrado de la distancia, ni siquiera es lineal. Y con Faraday y Maxwell, los campos cambiantes de fuerzas adquirieron tanta importancia como las partículas atómicas materiales. Es de menor importancia el hecho de que nuestros átomos modernos sean partículas compuestas; desde el punto de vista de Demócrito, los átomos reales serian, no nuestros átomos, sino más bien nuestras partículas elementales, a menos que también éstas resulten hallarse sujetas al cambio. Así, se plantea una situación muy interesante. Una filosofía del cambio, destinada a salvar la dificultad de comprender racionalmente el cambio, sirve a la ciencia durante miles de años, pero, finalmente, es superada por el desarrollo de la ciencia misma; y este hecho pasa prácticamente inadvertido para filósofos que están muy afanados negando la existencia de problemas filosóficos. La teoría de Demócrito fue una maravillosa conquista. Suministró un esquema teórico para la explicación de la mayoría de las propiedades de la materia conocidas empíricamente (y ya discutidas por los jonios), como la compresibilidad, los grados de dureza y elasticidad, la rarefacción y condensación, la coherencia, la desintegración, la combustión y muchas otras. Pero la teoría no solamente era importante como explicación de los fenómenos de la experiencia. En primer lugar, estableció el principio metodológico de que una teoría o explicación deductiva debe "salvar las apariencias" ^', esto es, debe estar de acuerdo con la experiencia. En segundo lugar, mostró que una teoría puede ser especulativa y basarse en el principio (de Parménides) fundaa*
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mental de que el mundo, puesto que debe ser comprendido por el pensamiento discursivo, es diferente del mundo de la experiencia prima facie, del mundo que vemos, oímos, olemos, gustamos y tocamos ^'', y que, sin embargo, tal teoría esjjeculativa puede aceptar el "criterio" empirista de que es lo visible lo que decide la aceptación o el rechazo de una teoría de lo invisible ^^ (como los átomos). Esta filosofía ha mantenido su fundamental importancia para todo el desarrollo de la física y ha estado siempre en conflicto con todas las. tendencias filosóficas "relativistas" y "positivistas". ••"' Además, la teoría de Demócrito condujo a los primeros éxitos del método de exhaución (el precursor del cálculo integral), puesto que el mismo Arquímedes reconocía que Demócrito había sido el primero en formular la teoría de los volúmenes de conos y pirámides. '^ Pero quizás el elemento más fascinante de la teoría de Demócrito es su doctrina de la cuantificación del espacio y del tiempo. Me refiero a la doctrina, en la actualidad intensamente discutida ^=^, de que hay una distancia mínima y un intewalo de tiempo mínimo; es decir, que Jiay distancias en el espacio y el tiempo (elementos de longitud y de: tiempo, lo ameres de Demócrito *^ a diferencia de sus átomos) tales. que.no son posibles otras más pequeñas. 2* Cf. Demócrito, Diels, fragm. 11 (cf. Anaxágoras, Diels, fragm. 21; véase también fragm. 7). 29 Cf. Sexto Empírico, Adv. mathem. (Bekker), VII, 140, pág. 221, 23b. 3" "Relativista" en el sentido del relativismo filosófico, es decir, de la doctrina del homo mensura de Protagoras. Desgraciadamente, todavía es necesario
"Positivistas" como eran las tendencias de Bacon; cojno la teoría (pero afortunadamente no como la ppictica) de la antigua Royal Society; y como son, en nuestro tiempo, Mach (que se opuso a la teoría atómica) y los teóricos de los datos sensoriales.
32 Cf. .\.. Mach, Natur und Erkenntnis, Viena, 1948, pág. 193 y sig. ••'•' Cf. S. Luria, op. cit., especialmente págs. 148 y sigs., 172 y sigs. A. T. Nicols, en •'Indivisibles Lines" (Class. Quarterly, XXX, 1936, 120 y sig.), arguye que "dos pasajes, uno de Plutarco y el otro de Simplicio" indican por qué Demócrito "no podía creer en lineas indivisibles"; pero no discute las ideas antagónicas expuestas poi Luria en 1932 y que considero mucho más convincentes, en especial si recordamo! que Demócrito trató de responder a Zenón (ver la nota siguiente). Pero cualesquiera que hayan sido las ideas de Demócrito acerca de las distancias invisibles o atómicas. Platón parece haber pensado que el atvmismo de Demócrito requería una revisión a la luz del descubrimiento de los irracionales. Sin embargo. Heath (Greek Mathematics, I, 1921, pág. 181, refiriéndose a Simplicio y a Aristóteles) también cree que Demócrito no sostuvo la existencia de líneas indivisibles. 113
vil Demócriio desarrolló y expuso su atomismo como una réplica punto por punto 3* a los detallados argumentos de sus predecesores eleáticos, Parménides y su discípulo Zenón. En particular, la teoría de Demócrito de las distancias atómicas y de los intervalos de tiempo es el resultado directo de los argumentos de Zenón o, más precisamente, del rechazo de las conclusiones de Zenón. Pero en lo que conocemos de Zenón, en ninguna parte hay una alusión al descubrimiento de los irracionales, que es de importancia decisiva para nuestra historia. No conocemos las fechas en que se probó la irracionalidad de la raí/ cuadrada de dos ni la fecha en la que el descubrimiento se dio ;i conocer públicamente. Aunque existía una tradición que atribuía ese descubrimiento a Pitágoras (siglo VI a.C.) y aunque algunos autores ^ la llaman el "teorema de Pitágoras", no puede haber dudn de que no fue realizado —y, ciertamente, no se lo dio a conocer públicamente— antes del 450 a.C., y probablemente no antes del 420. No es seguro que Demócrito lo lia)a conocido. Actualmente, me siento inclinado a creer que no, y t]iic d liuilo de los dos libros perdidos de Demócrito, Peri alogoii grammon kai naston, debe ser traducido
por vez primera como democritiano por I. Hammer Jensen en 1950 y minuciosamen te analizado por Luria, quien dice (op. cit., iS.'i) de Parménides y Zenón: "Demócrito loma de ellos sus argumentos tleductivos, pero Ucga a !a conclusión opuesta." 35 Cf. G. H. Hardy y E. M. Wright, Introduction to the Theory of Numbers, 19S8, pAgs. 39 y 42, donde se encontrará una olwervación histórica muy interesante sobre la prueba de Teodoro, tal como la trasmite Platón en el Teeteto. Ver también el articulo de A. Wasserstein. "Theaetetus and the History of the Theory of Numbers", Classical Quartely, 8, N.S., 1958, pAgs. 16.5-79, que es la mejor discusión del tema que conozco. 3* Mejor que Acerca de las líneas irracionales y los átomos, como lo traduje en la nota 9 del cap. 6 de mi Sociedad Abierta (segunda edición). I.a intención probable del título (considerando el pasaje de Platón mencionado en la nota siguiente) qui zas quede mejor de manifiesto si se lo traduce por "Sobre las lineas alocadas y los átomos". C£. H. Vogt, Bibl. Math., 1910, 10, 147 (contra el cual discute Heath, op. cit., 156 y sigs., aunque creo que sin éxito) y S. Luria, op. cit., 168 sigs., donde se sugiere convincentemente que De irísec. Un., 968b y 17 (Arist.) y De comm. notit'., 38, 2, pág. 1078 y sig., de Plutarco, contienen vestipos de la obra de Demócrito. Según estas fuentes, el argumento de Demócrito era el siguiente. Si las lineas son infinitamente
y están todas, por lo tanto, relacionadas como <» : oo es decir, son tcxias "no comparables" (no hay proporción). En verdad, si se consideran las líneas como clases de puntos, el "número" (la potencia) cardinal de los puntos de una línea es, s e ^n las concepciones modernas, igual para todas las lineas, sean finitas o infinitas. Este hecho ha sido considerado "paradójico" (por Bolzano, |X)r ejemplo) y bien puede haber sido descripto como "alocado" por Demócrito. Cabe observar que, según Brouwer, hasta la teoría clásica de la medida de Lebesgue de un continuo conduce, fundamentalmente, a los mismos resultados; pues Brouwer afirma que todos los continuos clásicos tienen medida cero, de modo que la ausencia de una razón es 114 dos libros no contenían referencia alguna al descubrimiento de los números irracionales. *^ Mi creencia de que Demócrito no conocía los problemas de los irracionales se basa en el hecho de que no hay rastros de alguna defensa de su teoría contra el golpe que recibió con ese descubrimiento. Pero el golpe fue tan fatal para el atomismo como para el pitagorismo. Ambas teorías se basaban en la doctrina de que toda medición consiste, en última instancia, en contar unidades naturales, de modo que toda medición debe ser reducible a números puros. La distancia entre dos puntos atómicos, por lo tanto, debe consistir en un cierto número de distancias atómicas; así, todas las distancias son conmensurables. Pero esto resultó ser imposible, aun en el simple caso de las distancias entre los vértices de un cuadrado, debido a la inconmensurabilidad de su diagonal d con su lado a. El término castellano "inconmensurable" es un tanto infortunado. Lo que aquí queremos expresar es la inexistencia de una razón de
de la diagonal del cuadrado cuyo lado es igual a la unidad es que no existen dos números naturales, n- y m, cuya razón, n/tn, sea igual a la diagonal del cuadrado unidad. Así "inconmensurabilidad" no significa incomparabilidad por métodos geométricos, o por medición, sino incomparabilidad por métodos aritméticos de contar, o por ni'imeros naturales, inclusive el característico método pitagórico de comparar
de unidades de longitud (o de "medidas"). Examinemos un poco las características de este método de los
fue fructífero desde el punto de vista del desarrollo de las ideas científicas. Esto es lo que se expresa a menudo de una manera un poco vaga al decir que los pitagóricos iniciaron la medición numérica científica. Ahora bien, lo que trato de destacar es que, para los pitagóricos, todo esto era contar y no medir. Era contar números, esencias invisibles, o "naturalezas", que eran los Números de pequeños puntos. Ellos sabían que no podemos contar esos pequeños puntos directamente, puesto que son invisibles, y que en realidad no contamos los Números o Unidades Naturales, sino que medimos, es decir, contamos unidades visibles arbitrarias. Pero ellos interpretaban la signilitaLión de las mediciones como si revelaran, indirectamente, las verdaderas Razones de las Unidades Naturales o de los Números Naturales. expresada por 0 : 0 . El resultado da Demócrito (y su teoría de lo ameres) parece inevitable en tanto la geometría se base en el método aritmético pitagórico, es decir, en la enumeración de puntos. 37 Esto está de acuerdo con el hecho, ya mencionado en la nota citada de Open
en el sentido de "irracional", y de que ^íatón^—que alude (República 534d) al título de Demócrito— usa "alogos" en el sentido de "alocado"; nunca lo usa como sinónimo de "arrhetos", que yo sepa. 115 Así, los métodos de Euclides para demostrar el llamado "teorema de Pitágoras" (Euclides, 1, 47), de ¡acuerdo con los cuales si a es el lado de un triángulo opuesto al ángulo recto determinado por b y r, entonces eran extraños al espíritu de la matemática pitagórica. Se acepta ahora que los babilonios conocían el problema y lo habían demostrado geométricamente. Sin embargo, ni Pitágoras ni Platón parecen haber conocido la prueba geométrica de Euclides (que usa triángulos diferentes de la misma base y altura), pues el problema para el cual ofrecieron soluciones, el problema aritmético de hallar soluciones enteras para los lados de triángulos rectángulos, si se conoce (1), puede ser resuelto fácilmente mediante las fórmulas: 2) a = m= -|- n=; h = 2mn; c=.m- — n'-, donde m y n son números naturales y m > n. Pero, al parecer, la fórmula (2) era desconocida por Pitágoras y hasta por Platón. Esto se desprende de la tradición 3» según la cual Pitágoras propuso la fórmula (que se obtiene de (2) haciendo Yüklə 5,03 Mb. Dostları ilə paylaş:
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