Geometriyadan misol va masalalar



Yüklə 0,85 Mb.
səhifə4/61
tarix18.02.2022
ölçüsü0,85 Mb.
#114569
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   61
Analitik geometriyadan misol va masalalarO\'quv qo\'llanma

1.2.1-chizma


7





Tekislikda hosil bo‘lgan Д1С1ВС2 to‘g‘ri to‘rtburchakni qaraylik. Undagi Д1С1В to‘g‘ri burchakli uchburchakdan Pifagor teoremasiga asosan,

|XB|2 = |XC1|2 + |С1В|2 (1.1)

bundan, |С1В| = |Л1В1| = |x2 — x1|,

|АС1| = И2В2| = |у2-у1|. (1.2)



|ЛВ | = d belgilash kiritamiz. U holda (1.1) va (1.2) lardan:

d2 = |ЛВ|2 = (%2 — X1)2 + (У2 — У1)2 yoki

d = V(*2 - *1)2 + (У2 - У1)2 (1.3)

(1.3) formula ikki nuqta orasidagi masofani(kesma uzunligini) topish formulasidir. Bu formula umumiy formula bo ‘lib, A va В nuqtaning tekislikdagi har qanday holatida ham quyidagicha bo‘ladi:

|ЯС2| = |С1В| = |x2 -X1| va

|ЛС1| = |С2В| = |у2-у1|. (1.4)

Agar ikki nuqtadan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq absissa yoki ordinata o‘qlaridan biriga paralel bo‘lsa, masalan Ox o‘qqa paralel bo‘lsa,

|ЛВ| = |Л1В1| = |X2 - X1| (1.5)



dan iborat bo‘ladi. Bunda y2 - y1 = 0, chunki y2 = y1 .

У'

A _

в

•

1 1

1

1 1

1 1

1 1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1 1

A °

03

X 1


  1. chizma

Agar Л(х1,у1) nuqta O(0; 0) nuqta (koordinatalar boshi) bilan ustma-ust tushsa, (1.1) formulani quyidagicha yozish mumkin:

d = V (%2 - *1)2 + (У2 - У1)2 = V(*2 - 0)2 + (У2 - 0)2 =



= V^+y^2,


8



bundan


d = 7x22 +У22 (1-6)

  1. misol. M(4;-1) va N(-2; 5) nuqtalar berilgan bo‘lsa MN

kesmaninig uzunligini toping.

Yechish. Berilganlarga ko‘ra: x1 = 4, y1 = -1, x2 = -2, y2 = 5. Bu qiymatlarni (1-3) formulaga qo‘ysak:

d = |MN| = J(-2 - 4)2 + (5 - (-1))2 = 736 + 36 = 772 =

= 672

Demak, MN kesmaning uzunligi 672 o‘lchov birligiga teng ekan.


  1. misol. M(5; 3) va N(2; -1) nuqtalar orasidagi masofani toping.

Yechish. Shartga ko‘ra: x1 = 5, y1 = 3, x2 = 2, y2 = -1. Bu qiymatlarni (1-3) formulaga qo‘ysak:

MN = 7(2 - 5)2 + (-1 - 3)2 = 79 + 16 = 725 = 5 bo‘ladi.



  1. Kesmani berilgan nisbatda bo‘lish

Uchlari Л(х1,у1) va B(x2,y2) nuqtalardan iborat AB kesma berilgan bo‘lsin. Shu kesmada yotgan hamda uni ixtiyoriy nisbatda bo‘luvchi biror К (x, y) nuqtaning koordinatalarini topish talab qilinsin.

Koordinatalari izlangan nuqtani AB kesmaning ixtiyoriy nuqtasiga joylashtiramiz. Natijada, j^y nisbat hosil bo‘ladi. Bu nisbatni Л bilan belgilasak, ÿ^ÿ = Л bo‘ladi. Bunda Л > 0. Agar К nuqta AB kesmadan tashqarida yotsa Л < 0 bo‘lar edi.





1.3.1-chizma


9



AB kesma absissa yoki ordinata o‘qlaridan hech biriga parallel
bo‘lmagan holni qaraymiz. A, tf, B nuqtalardan Ox va Oy o‘qlarga ular
bilan kesishguncha perpendikulyar to‘g‘ri chiziqlar o‘tkazamiz.
Kesishish nuqtalarini mos ravishda X1, K1f B1, X2, ^2 va B2 harflar bilan
belgilaymiz. U holda Fales teoremasiga asosan:

W _ Mifr| _



|KB| IK1B1I

Bundan |X1^11 = x — x1 va |^1B1|
qo‘ysak quyidagi tenglama hosil bo‘ladi:

_ X1+2.X2


|A|. (1.7)

= x2 — x. Bularni (1.7) ga

X-Xi

= A yoki

X2-X


... (L8>

1+Z

(1.8) — izlanayotgan K nuqtaning absissasini topish formulasidir.

Shuningdek, K ning ordinatasi quyidagi formula yordamida topiladi:

y = (1.9)

1+Z

Demak, kesmani berilgan nuqtada bo‘luvchi ixtiyoriy nuqtaning koordinatalari


,z/ri+AX2 . yi+^2A M im

( 1+2 ; 1+2 ) ( . )



formula orqali topiladi. BundaA ^ —1.

Agar A = 1 bo‘lsa (1.10) dagi K nuqtaning koordinatalari quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi:

^(^2.^) (1.11)



bunda K nuqta AB kesmaning o‘rtasida yotadi.

  1. misol. Tekislikda A(5; 3) va B(2; 1) nuqtalar berilgan. AB kesmani ^ = A = 0,2 nisbatda bo‘luvchi C(x,y) nuqtaning koordinatlarini toping.

Yechish. Shartga ko‘ra x1 = 5, y1 = 3, x2 = 2, y2 = 1, A = 0,2 (1.4) formulaga asosan:

_jq + Xx2_ 5 + 0,2• 2_5,4_54_27_9

X ~ 1 + 2 " 1 + 0,2 " 1,2 - 12 - 6 - 2,

_ y + Xy2 _ 3 + 0,2•^ 3,^3^ 8

y ~ 1 + 2 ~ 1 + 0,2 - 1,2 - 12 - 3


10



Shunday qilib, C(4,5;|) bo‘ladi.

4-misol. Uchlari A(0; 0), B(12;5) va C(4;-3) nuqtalarda yotgan uchburchak berilgan. A burchagidan chiqqan bissektrisa va shu burchak qarshisidagi tomonnning kesishish nuqtasi D(x,y) ning koordinatalarini toping.

Yechish. Berilgan nuqtalarning koordinatalari yordamida ABC uchburchakni yasaymiz.

Ma’lumki, D(x,y) nuqta BC tomonni Л > 0, л = И nisbatda bo‘ladi. Buni quyidagicha ham yozish mumkin:

lDDl = Ia D = л cd \aC\





  1. chizma

Ma’lumki, D(x,y) nuqta BC tomonni Л > 0, л = jDD nisbatda bo‘ladi. Buni quyidagicha ham yozish mumkin:

DD = Ia D = л
CD\ \AC\

AB va AC kesmalarning uzunliklarini topamiz.

|AD| = у1122 + 52 = л/1б9 = 13 va |AC| = у142 + 32 =y¡25 = 5.

Bulardan л =13,

5


13 13

12 +13 • 4 _ 5 +13 • (-3) _

5 z- 2 5 7

=-Jt=69 va y=-^=-9

55


11



demak, izlanayotgan nuqtaning koordinatalari d(6^;-7) dan iborat bo‘ladi.

Mustahkamlash uchun topshiriqlar

  1. Ikki nuqta orasidagi masofaga doir misollar

  1. Quyidаgi hollarning hаr biridа A, B nuqtаlаr orаsidаgi d mаsofа topilsin:

  1. X(4; 3), B(7; 7) 3) X(12; -1), B(0; 4)

  2. X(3; 1), B(-2; 4) 4) X(3; 5), B(4; 6)

  1. Koordinаtаlаr boshidаn quyidаgi nuqtаlаrgаchа bo‘lgan mаsofаlаr topilsin:

  1. X(11;4) 3) X(-11;0)

  2. X(-3;-4) 4) X(5;12)

  1. Koordinаtа tekisligida X(1; 1) va B(3; 7) nuqtаlаrdаn teng uzoqlikdа yotgan C (2; y) joylаshgаn nuqtаlаr topilsin.

  2. Koordinаtа tekisligida X(-2;2) va B(4; 8) nuqtаlаrdаn tcng uzoqlikdа yotgan C(3; y) joylаshgаn nuqtаlаr topilsin.

  3. Koordinаtа tekisligida X(-3;2) va B(9; 3) nuqtаlаrdаn tcng uzoqlikdа yotgan C(x; 6) joylаshgаn nuqtаlаr topilsin.

  4. Ordinata o‘qidan shunday nuqtani topingki koordinata boshidan va X(-8; -4) nuqtаdаn teng uzoqlikda bo‘lsin.

  5. Ordinata o‘qidan shunday nuqtani topingki koordinata boshidan va B(6; 4) nuqtаdаn teng uzoqlikda bo‘lsin.

  6. Absissa o‘qidan shunday nuqtani topingki koordinata boshidan va C(-3; 1) nuqtаdаn teng uzoqlikda bo‘lsin.

  7. Absissa o‘qidan shunday nuqtani topingki koordinata boshidan va £(5; 8) nuqtаdаn teng uzoqlikda bo‘lsin.

  8. X(4; 5) va B(3; 2) nuqtalardan teng uzoqlikda yotgan C(5;y) nuqtani toping.

  9. ABC uchburchak uchlarining koordinаtаlаri bcrilgаn: X(3; 1), B(7; 5), C(5;-1). U o‘tkir burchaklimi, to‘g‘ri burchаklimi yoki o‘tmas burchaklimi?


12



  1. Koordinata o‘qlarida X(-5;9) nuqtadan 15 birlik uzoqlikda joylashgan nuqtalar topilsin.

  2. Koordinata o‘qlarida B(-2; 11) nuqtadan 10 birlik uzoqlikda joylashgan nuqtalar topilsin.

  3. Markazi C(6; 7) nuqtada va radiusi r = 5 bo‘lgan aylana berilgan. A(7; 14) nuqtadan bu aylanaga urinmalar o‘tkazilgan. A nuqtadan urinish nuqtalargacha bo‘lgan masofalar topilsin.

  4. Radiusi r = 10 bo‘lgan aylana markazi C(-4; -6) nuqtada. Koordinata burchaklar bissektrisalari bilan aylananing kesishish nuqtalari topilsin.

  5. ABC uchburchak uchlari berilgan: X(2; -3), B(1; 3), C(-6; -4). X(2; -3) nuqtaga BC tomonga nisbatan simmetrik bo‘lgan M nuqta topilsin.

  6. Uchlari X(2; 2), B(-5; 1), C(3; -5) nuqtalarda bo‘lgan ABC uchburchakka tashqi chizilgan aylana markazi va radiusi topilsin.

  7. Rombning ikkita qarama-qarshi uchi X(8; -3), C(10; 11) berilgan. AB tomon 10 ga teng. Qolgan uchlarining koordinatalari topilsin.

  8. X(-4; 2) nuqtadan o‘tib Ox o‘qiga B(2; 0) nuqtada urinadigan aylana markazi topilsin.

  9. X(2; -1) nuqtadan o‘tgan va ikkala koordinata o‘qlariga urinadigan aylana tenglamasi tuzilsin.

  10. B(3; 1) nuqtadan o‘tgan va ikkala koordinata o‘qlariga urinadigan aylana tenglamasi tuzilsin.

  11. Koordinatalar boshidan X(-3; 4) nuqtagacha bo‘lgan masofani toping.

  12. Koordinatalar boshidan A(2; -5) nuqtagacha bo‘lgan masofani toping.

  13. Uchlari X(4; 3), B(0; 0) va C(10; 5) nuqtalarda bo‘lgan

uchburchakning perimetrini toping.

  1. X(5; 4) nuqta va AB kesmaning o‘rtasi C(0; 3) berilgan. Kesmaning ikkinchi B(x; y) uchini toping.


13



  1. Uchlari 4(3; 4), B(7; 7) va C(4; 3) nuqtalarda bo‘lgan uchburchakning teng yonli ekanligini ko‘rsating.

  2. A(2; 8) va B(6; -4) nuqtalar bilan chegaralangan AB kesma C, D,E nuqtalar bilan 4 ta teng bo‘laklarga bo‘lingan. C,D va E nuqtalarni toping.

  3. AB kesma C(-1;-2) va D(2; 0) nuqtalar orqali teng uch bo‘laklarga bo‘lingan. A va B nuqtalarni toping.

  4. Uchlari 4(2; 5), B(6; 3) va C(4; 0) nuqtalarda bo‘lgan

uchburchakning yuzi hisoblansin.

  1. Uchlari 4(3; 1), B(4; 6), C(6; 3) va D(5;-2) nuqtalarda bo‘lgan to‘rtburchakning yuzi hisoblansin.

  1. Kеsmаni beri^n nisbаtdа bo‘lishga doir misollar

  1. 4(-3;8), B(4; -6) nuqtаlаr bihn chеgаrаlаngаn AB kеsmаni Л = 3 nisbаtgа bo‘luvchi C nuqtаning koordinаtаlаri topilsin.

  2. M(-1; 3), N(4; -7) nuqtаlаr bihn chеgаrаlаngаn AB kеsmаni Л = 2 nisbаtgа bo‘luvchi P nuqtаning koordinаtаlаri topilsin.

  3. A(4; -5), B(-2; 7) nuqtаlаr bihn chеgаrаlаngаn AB kеsmаni Л = 1 nisbаtgа bo‘luvchi C nuqtаning koordinаtаlаri topilsin.

  4. M(1; -4), N(-7; 12) nuqtаlаr bihn chеgаrаlаngаn AB kеsmаni Л = 3 nisbаtgа bo‘luvchi P nuqtаning koordinаtаlаri topilsin.

  5. 4(-2; -3), B(3; 7) nuqtаlаr bihn chеgаrаlаngаn AB kеsmаni Л = 3 nisbаtgа bo‘luvchi C nuqtаning koordinаtаlаri topilsin.

  6. Quyidаgi hollnming hаr biridа AB kеsmа o^sining koordinаtаlаri topilsin:

  1. 4(2; 3), B(-4;7);

  2. 4(-2;4), B(2;-4);

  3. 4(0; 0), B(1;1).

  1. 4(3; 4) va B(2;-1) nuqtаlаr bеrilgаn. AB to‘g‘ri chiziqning koordinаtа o^hri bihn kеsishish nuqtаlаri topilsin.


14



  1. Uchhri A(x1,y1), B(x2,y2), С(х3,у3) nuqtаlаrdа joylаshgаn uchburchаkning og‘ irlik mаrkаzi topilsin.

  2. Uchbur^k tomon^^ng o^lori M1(2;4), M2(—3;0), M3 (2; 1) bеrilgаn. Uning uchhri topilsin.

  3. U^bur^^ing uchhri A(1; 1), B(7; 1), С(1; 7) bеrilgаn. Uchburchаk tomonkirining o^lnri topilsin.

  4. AB kеsmаning bir uchi A(2; 3) nuqtаdа joy^hg^. M(1; —2) nuqtа uning oTIisí. ^sm^ing ikkinchi uchi topilsin.

  5. MN kеsmаning bir uchi К(—2; 1) nuqtаdа joy^hg^. M(2; 5) nuqtа uning oTIisí. ^sm^ing ikkinchi uchi topilsin.

  6. AB kеsmаning bir uchi A(—4; 2) nuqtаdаjoy^hg^. M(4; —1) nuqtа uning oTIisí. ^sm^ing ikkinchi uchi topilsin.

  7. Pаrаllеlogrаmmning qo‘shni uchUn A(—4; —7), B(2; 6) vi diаgonаllаri kеsishgаn M(3; 1) nuqtа bеrilgаn. Uning qolgrn ikki uchining koordinаtаlаri topilsin.

  8. Ox, Oy o‘qlаrigа mos rаvishdа OA = 8, OB = 4 kеsmаlаr joy^hg^. Koordinаtаlаr boshidrn AB to‘g‘ri chiziqqа pеrpеndikulyar tushirilgrn. Pеrpеndikulyar isosí AB kеsmаni qаndаy nisbаtdа bo‘lаdi?(Dеkаrt koordinаtаlаr sistеmаsi).

  9. X(—3; 1), B(2;—3) nuqtаlаr orqHli (Olgui to‘g‘ri chiziqqа shundаy M nuqtа topOsn^, AM = 3AB tеnglik bаjаrilsin.

  10. Trаpеtsiyaning иеЫа kеtmа-kеt joy^hg^ A(—2; —3), B(1; 4), С(3; 1) uchUn bеrilgаn. Аgаr AD isosí BС аsosidаn 5 mаrtа kаttа bo‘ls3, trаpеtsiyaning to‘rtinchi D uchi topilsin.

  11. X(—4; 2) va B (8; —7) nuqtаlаr bеrilgаn. AB kеsmаni иеЫа tеng bo‘lаkkа bo‘luvchi С, D nuqtаlаr topilsin.

  12. A(3; 4) va B(—6; 11) nuqtаlаr bеrilgаn. AB kеsmаni иеЫа tеng bo‘lаkkа bo‘luvchi С, D nuqtаlаr topilsin.

  13. С(2; 2), D(1; 5) nuqtаlаr AB kеsmаni иеЫа tеng bo‘lаkkа bo‘ls3, uning A, B uchUn topilsin.

  14. С(—2;4), D(1; 8) nuqtаlаr AB kеsmаni иеЫа tеng bo‘lаkkа bo‘ls3, uning A, B uchUn topilsin.


15



  1. Д(2; 4) nuqtа bеrilgаn. AB to‘g‘ri chiziq ordinаtа o‘qini C nuqtаdа, аbssissа o‘qini D nuqtаdа kеsib o^di. C nuqtа AB kеsmаni 2 nisbаtdа vа D nuqtа - 3 nisbаtdа bo‘lishini bilgim holdH B nuqtаning koordinаtаlаri topilsin.

  2. Kesmaning uchlari M(3; -2) va N(10; -9) nuqtalarda yotadi. C nuqta kesmani x = | nisbatda bo‘lsa, shu nuqtaning koordinatalarini toping.

  3. B(-3;4) nuqta AC kesmanix = | nisbatda bo‘lsa, X(1; 2) ni bilgan holda C(x; y)ni koordinatalarini toping.

  4. C(-5; 4) nuqtа AB kеsmаni 3 nisbаtdа, D(6; -5) nuqtа esа 2 bo^s^ A, B nuqtаlаrning koordinаtаlаri topilsin.

  5. Uchhri Д(5;-4), B(-1;2), C(5; 1) nuqtаlаrdа bo‘lgаn uchburchаkning AD mеdiаnаsining uzunligini topilsin.

  6. (4; 2), (0; -1) nuqtаlаrdаn o‘tаdigаn to‘g‘ri chiziqdа (-4; -4) nuqtаdаn 5 birlik mаsofаdа joylаshgаn nuqtаlаr topilsin.

  7. (4; 8), (-1; -4) nuqtаlаrdаn o‘tаdigаn to‘g‘ri chiziqdа (-1; -4) nuqtаdаn 4 birlik mаsofаdа joylаshgаn nuqtаlаr topilsin.

  8. ABC: A(4;1), B(7;5), C(-4;7) u^bur^^ing AD

bissеktrisаsining uzunligi hisobknsin.

  1. Trаpеtsiyaning ие111а kеtmа-kеt Д(-1;-2),B(1; 3), C(9; 9) uchhri bеrilgаn. Trаpеtsiyaning hsosí AD = 15 bo‘ls3, uning to‘rtinchi D uchi topilsin.


16




  1. Yüklə 0,85 Mb.

    Dostları ilə paylaş:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   61



Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©muhaz.org 2024
rəhbərliyinə müraciət
gir | qeydiyyatdan keç
    Ana səhifə
Dərs
Dərslik
Guide
Kompozisiya
Mücərrəd
Mühazirə
Qaydalar
Referat
Report
Request
Review

yükləyin