Хосмас интеграллар. Чегаралари чексиз хосмас интеграллар. Чегараланмаган функцияларнинг хосмас интеграллари. Хосмас интегралларнинг яқинлашиш аломатлари

5.2. II tur xosmas integrallar. Endi chegaralanmagan funksiyalar uchun aniq integral tushunchasini umumlashtiramiz. Berilgan y=f(x) funksiya (a,b] yarim oraliqda chegaralanmagan, ammo ixtiyoriy uchun bu funksiya [a+ε,b] kesmada chegaralangan va integrallanuvchi bo‘lsin. Bu holda


funksiyani qarash mumkin.


5-TA’RIF: F(ε) funksiyaning ε→0+0 holdagi o‘ng limiti berilgan f(x) funksiyaning [a,b] kesma bo‘yicha II tur xosmas integrali deb ataladi.
Berilgan f(x) funksiyaning [a,b] kesma bo‘yicha II tur xosmas integrali quyidagicha belgilanadi va aniqlanadi:


(8)
limitga aytiladi.


6-TA’RIF: Agar (8) limit mavjud va chekli bo‘lsa, u holda II tur xosmas integral yaqinlashuvchi deyiladi. Aks holda bu xosmas integral uzoqlashuvchi dеb ataladi.
Misol sifatida ushbu II tur xosmas integralni ko‘ramiz:


. (9)
Bu yerda uch holni qaraymiz.

1. 
   
   Dastlab 0<α
   

.
Demak, bu holda (9) II tur xosmas integral yaqinlashuvchi va uning qiymati b^1–α .


2) Endi α=1 holni o‘rganamiz:

.
Demak, bu holda (9) II tur xosmas integral uzoqlashuvchi bo‘ladi.


3) α>1 holni qaraymiz:

.
Demak, bu holda ham (9) II tur xosmas integral uzoqlashuvchi bo‘ladi.

Shunday qilib, (9) xosmas integral 0<αy=1/x^α , x=0, x=b>0, y=0 chiziqlar bilan chegaralangan cheksiz geometrik shaklning S yuzasi 0<αS= b^1–α (keyingi betdagi 85-rasmga qarang), α≥1 holda esa bu shakl yuzasi cheksiz bo‘lar ekan.

y=f(x) funksiya [a,b) yarim oraliqda chegaralanmagan, ammo ixtiyoriy uchun bu funksiya [a,b–ε] kesmada chegaralangan va integrallanuvchi bo‘lsin. Bu holda f(x) funksiyaning II tur xosmas integrali quyidagicha kiritiladi:

.
Bu yerda ham tenglikning o‘ng tomonidagi limit mavjud va chekli bo‘lsa xosmas integral yaqinlashuvchi, aks holda – uzoqlashuvchi deyiladi.

Masalan,

.
Demak, bu II tur xosmas integral yaqinlashuvchi.


.
Demak, bu II tur xosmas integral uzoqlashuvchi.
Agar y=f(x) funksiya [a,b] kesmaning biror ichki x=c nuqtasida chegaralanmagan bo‘lsa, bu holda II tur xosmas integral

(10)
tenglik orqali kiritiladi. Bu xosmas integralning yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi bo‘lishi 4-ta’rif singari aniqlanadi.
II tur xosmas integrallarning yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi ekanligini yetarli shartlari oldin I tur xosmas integrallar uchun ifodalangan 1-3 teoremalarga o‘xshash ifodalanadi.