Matematica în gimnaziu

MATEMATICA ÎN GIMNAZIU

PROBLEME, EXERCIŢII, TESTE
MANUAL PENTRU PROFESORI
2014

MOROZOVSCHI VALENTINA

GIMNAZIUL CORNEŞTI

01.01.2014

Argument
,, Un elev nu este un vas pe care trebuie să-l umpli,

ci o flacără pe care trebuie să o aprinzi...”

Societatea prezentului, dar mai ales a viitorului, se circumscrie unui timp al informaţiei, al complexităţii. De aceea, investiţia în inteligenţa, creativitatea şi capacitatea de inovare a indivizilor, a grupurilor, va fi extrem de rentabilă în viitor.

Copilul este un proiect “aruncat” în lume, aflat într-o stare de “facere”, pentru ca apoi, devenit adult, să se formeze continuu de-a lungul vieţii.

Rolul învăţătorului în procesul de modelare a omului este poate cel mai important. Punându-şi elevii în situaţii variate de instruire, el transformă şcoala “într-un templu şi un laborator” (M. Eliade ).

Şcoala nu trebuie înţeleasă ca fiind locul unde profesorul predă şi elevii ascultă. Învăţarea devine eficientă doar atunci, când elevii participă în mod activ la procesul de învăţare.

Matematica este obiectul care generează la marea majoritate a elevilor eşecul şcolar. De aceea profesorul de matematică trebuie să creeze un climat instituţional favorabil folosind diverse metode moderne care să-l determine pe elev să se implice activ în procesul instructiv - educativ.

Toate situaţiile şi nu numai metodele active propriu-zise în care elevii sunt puşi şi care îi scot pe aceştia din ipostaza de obiect al formării şi-i transformă în subiecţi activi, coparticipanţi la propria formare, reprezintă forme de învăţare activă.

"Achiziţia unei formaţii matematice - spunea academician Nicolae Teodorescu - trebuie să fie, în mod integral un rezultat al activităţii elevilor. Este nepedagogic confruntarea dintre elev şi o matematică gata făcută şi trebuie aplaudată ideea fundamentării învăţământului matematicii pe activitatea spontană a elevului. Dar, pentru aceasta, elevul trebuie învăţat să analizeze situaţii reale şi să construiască modele care derivă din acestea, pentru a le matematiza. Plecând de la realitate şi străbătând el însuşi, ca explorator, toate etapele, elevul poate ajunge să aplice matematica la realitate."

"Tot ce este gândire corectă este sau matematică, sau susceptibilă de matematizare." 
( Grigore Moisil )

Obiective

• 
  Promovarea strategiilor ce asigură stimularea creativităţii în şcolile din Republica Moldova şi sporirea interesului pentru disciplina Matematică;
  
• 
  Diseminarea practicilor pozitive în utilizarea strategiilor didactice interactive, dezvoltarea unui învăţământ centrat pe elev şi orientat spre formarea capacitatilor cognitive, creative şi acţionale;
  
• 
  Încurajarea cadrelor didactice în utilizarea unor strategii didactice inovative, pentru a răspunde nevoilor elevilor şi societăţii;
  
• 
  Promovarea bunelor practici privind integrarea tehnologiilor multimedia în şcoală;
  
• 
  Inovaţii în educaţie, auxiliare didactice, soft-uri educaţionale proprii, reviste şcolare;
  
• 
  Încurajarea şi evidenţierea caracterului formativ al actului didactic;
  
• 
  Deprinderea elevilor cu munca de cercetare;
  
• 
  Familiarizarea elevilor cu munca de selectare a materialului pentru realizarea unei lucrări ştiinţifice;
  
• 
  Coordonarea elevilor pentru întocmirea unei lucrări ştiinţifice;
  
• 
  Formarea deprinderii de muncă individuală a elevilor;
  
• 
  Sporirea creativităţii prin munca individuală;
  
• 
  Prezentarea unei lucrări ştiinţifice;
  
• 
  Dobândirea deprinderii de a se prezenta în faţa unui public.
  

Scopul manualului:
"Învătând matematică, înveţi să gândeşti." 

(Grigore Moisil)

• 
  Modernizarea lecţiilor de matematică folosind metode active de lucru;
  
• 
  Prilejuirea schimburilor de experienţă în domeniul strategiilor didactice interactive;
  
• 
  Valorizarea şi promovarea demersurilor didactice şi iniţiativelor de succes;
  
• 
  Perfecţionarea deprinderii de a asimila matematica în maniera modernă, solicitarea abilităților intelectuale și stimularea imaginației creatoare;
  
• 
  Realizarea un vast schimb de experinţă între profesori cu discipline de predare diferite.
  
• 
  Promovarea imaginii şcolii.
  

Clasa a V-a

Subcompetenţe:

1.1. Identificarea caracteristicilor numerelor naturale şi a formei de scriere a unui număr natural în contexte variate.

1.2. Aplicarea operaţiilor aritmetice şi a proprietăţilor acestora în calcule cu numere naturale.

1.3. Utilizarea de algoritmi relevanţi pentru efectuarea operaţiilor cu numere naturale şi pentru divizibilitatea cu 10, 2 şi 5.

1.4. Rezolvarea ecuaţiilor de tipul: x±a=b; a±x=b; x×a=b, (a≠0, a – divizor al lui b); x:a=b (a≠0); a:x=b (x≠0, b – divizor al lui a) utilizînd proprietăţile operaţiilor aritmetice studiate şi algoritmul de determinare a componentei necunoscute în cadrul operaţiei indicate.

1.5. Estimarea rezultatelor unor calcule cu numere naturale.

1.6. Completarea succesiunii de numere asociate după reguli identificate prin observare şi/sau indicate.

1.7. Descrierea activităţilor, precizarea metodelor şi/sau a operaţiilor utilizate în rezolvarea unei probleme.

1.8. Transpunerea unei situaţii reale şi/sau modelate în limbaj matematic, rezolvarea problemei obţinute utilizînd mulţimi, operaţii cu mulţimi, ecuaţii, organizarea datelor şi interpretarea rezultatului.

1.9. Comunicarea în cadrul activităţilor de învăţare în grup.

1.10. Interpretarea unor contexte uzuale şi/sau matematice utilizînd limbajul mulţimilor, relaţiilor şi a operaţiilor cu mulţimi.

Domeniul: Numere şi operaţii cu numere

№	Standard	Indicatori gimnaziu
1	Identifică şi aplică numere, modalităţile de reprezentare a numerelor, relaţiile dintre numere, sisteme de numeraţii.	Elevul: 1.1. Recunoaște şi aplică în diverse contexte numere scrise cu cifre arabe sau cu cifre romane. 1.2. Argumentează cum se schimbă valoarea cifrei arabe în funcţie de poziţia acesteia în numărul scris în sistemul zecimal de numeraţie. 1.3. Identifică numere naturale, întregi, raţionale (fracţii ordinare, numere zecimale, numere mixte) şi iraţionale utilizate în situaţii reale şi/sau modelate; 1.4. Clasifică după unul sau mai multe criterii implicite sau explicite numere naturale, fracţii ordinare, numere zecimale, numere întregi, numere raţionale, numere iraţionale, numere reale. 1.5. Recunoaște şi reprezintă numere reale în diverse forme echivalente. 1.6. Reprezintă numere reale pe axă şi determină poziţia lor aproximativă pe axa numerelor. 1.7. Compară, ordonează, aproximează numere reale. 1.8. Utilizează numere reale în rezolvări de probleme, inclusiv în calcule cu vector 1.9. Compară, ordonează, aproximează numere reale, utilizînd diverse modalităţi cunoscute.
2	Efectuează operaţii cu numere, utilizează proprietăile operaţiilor şi a relaţiilor dintre operaţii în contexte diverse.	2.1. Recunoaște în diverse contexte operaţiile studiate (adunarea, scăderea, înmulţirea, împărţirea, ridicarea la putere cu exponent întreg, extragerea rădăcinii pătrate) cu numere reale şi a proprietăţilor operaţiilor utilizate. 2.2. Justifică aplicarea operaţiei respective, a proprietăţilor utilizate cu calcule în rezolvări de probleme, inclusiv a problemelor de aritmetică. 2.3. Efectuează calcule cu numere reale utilizînd relaţiile dintre operaţii, proprietăţile, ordinea operaţiilor, semnificaţia parantezelor, modulul numărului real (întreg, raţional) şi proprietăţile acestuia. 2.4. Calculează valoarea expresiei numerice date sau obţinute, utilizînd proprietăţile operaţiilor studiate şi identificînd ordinea efectuării operaţiilor corespunzătoare. 2.5. Aplică operaţia adecvată şi proprietăţile raţionale în efectuarea de calcule cu numere reale.
3	Calculează fluent şi utilizează calculele cu numere în situații reale şi/sau modelate.	3.1. Elaborează şi aplică strategii pentru efectuarea calculelor respective cu numere reale. 3.2. Efectuează fluent, mintal sau în scris, calcule simple cu numere reale. 3.3. Aplică în situaţii reale şi/sau modelate diverse tehnici, instrumente şi metode de calcul, inclusiv estimările, aproximările, rotunjirile, calculul mintal, calculul scris, calculatorul. 3.4. Selectează tehnicile, instrumentele şi metodele adecvate pentru efectuarea calculelor cu numere reale în situaţii reale şi/sau modelate. 3.5. Elaborează şi utilizează strategii şi tehnologii de estimare a rezultatelor calculelor cu numere reale. 3.6. Argumentează semnificaţia rezultatelor obţinute în calcule cu numere reale. 3.7. Investighează valoarea de adevăr a unei afirmaţii referitoare la calcule cu numere reale.
4	Utilizează algoritmi relevanţi pentru optimizarea calculelor.	4.1. Compune şi descompune numere naturale în termeni zecimali, în produs de factori primi. 4.2. Utilizează adecvat criteriile de divizibilitate cu 2, 3, 5, 9, 10 în situaţii reale şi/sau modelate. 4.3. Elaborează, aplică şi analizează algoritmi relevanţi de calcul cu numere naturale, fracţii, numere zecimale, numere întregi, numere mixte, numere iraţionale, numere reale. 4.4. Aplică algoritmul de descompunere a numerelor naturale în produs de puteri de numere prime în diferite contexte. 4.5. Utilizează algoritmii pentru determinarea c.m.m.d.c. (cel mai mare divizor comun), c.m.m.m.c.(cel mai mic multiplu comun) a două numere naturale în rezolvări de probleme. 4.6. Calculează valoarea rădăcinii pătrate dintr-un număr raţional nenegativ utilizînd algoritmul sau calculatorul. 4.7. Utilizează calculatorul pentru a optimiza calculele cu numere. 4.8. Justifică aplicarea algoritmului respectiv în calcule cu numere, recurgînd la argumentări, exemple, contraexemple.

Exemple de activităţi

desfăşurate cu elevii pe baza aplicării metodelor de învăţare activ-participative

în lecţiile de matematică din gimnaziu:
Capitolul I: Numere naturale

1. 
   Scrierea şi citirea numerelor naturale. Şirul numerelor naturale.
   
2. 
   Reprezentarea numerelor naturale pe axă.
   
3. 
   Compararea şi ordonarea numerelor naturale.
   
4. 
   Operaţii cu numere naturale: adunarea, scăderea, înmulţirea (factorul al doilea este un număr cel mult de trei cifre) şi împărţirea (împărţitorul este un număr cel mult de două cifre), împărţirea cu rest.
   
5. 
   Ordinea efectuării operaţiilor.
   
6. 
   Factor comun.
   
7. 
   Divizor. Multiplu. Divi-zibilitatea cu 10, 2 şi 5.
   
8. 
   Numere pare şi numere impare.
   
9. 
   Rezolvarea în mulţimea numerelor naturale a ecuaţiilor de tipul: x±a=b; a±x=b; x×a=b, (a≠0, a – divizor al lui b); x:a=b (a≠0); a:x=b (x≠0, b – divizor al lui a) utilizînd proprietăţile operaţiilor aritmetice studiate şi algoritmul de determinare a componentei necunoscute în cadrul operaţiei indicate.
   
10. 
    Compunerea de ecuaţii şimple şi probleme care conduc la utilizarea operaţiilor studiate (inclusiv elemente de organizare a datelor).
    
11. 
    Noţiunea de putere cu exponent natural a unui număr natural. Pătratul şi cubul unui număr natural.
    
12. 
    Sistemul de numeraţie zecimal.
    
13. 
    Propoziţii adevărate şi propoziţii false pe exemple simple.
    
14. 
    Mulţimi (descriere şi scriere), element, relaţie de apartenenţă. Moduri de definire a mulţimilor. Mulţimile N şi N*.
    
15. 
    Operaţii cu mulţimi: intersecţie, reuniune. Exemple de mulţimi finite; mulţimea divizorilor unui număr natural.
    
16. 
    Exemple de mulţimi infinite; mulţimea multiplilor unui număr natural.
    

Jocuri didactice:

Metoda jocurilor ofera un cadru propice pentru învăţarea activă, participativă, stimulând în acelaşi timp iniţiativa şi creativitatea elevilor. Jocurile didactice reprezintă o formă de învătare placută si atractivă, ce corespunde particularităţilor psihice ale acestei vârste. Lecţiile înviorate cu jocuri didactice susţin efortul elevilor, menţinându-i mereu interesaţi, îi determină să lucreze efectiv şi în acelaşi timp să gândească în mod creator si original.

Eficienţa acestor metode constă în capacitatea fiecărui învăţător de a le utiliza în procesul de însuşire a cunoştinţelor matematice, constă în modul în care fiecare cadru ştie să-i antreneze pe elevi pe parcursul acestor ore.

Jocurile logico-matematice au avantajul de a dispune de nenumărate ocazii, care să influenţeze pozitiv calităţile gândirii elevilor.

Sunt jocuri matematice prin care vom dezvolta spiritul critic al elevilor, ceea ce înseamnă că aceştia nu vor prelua în totalitate o situaţie, un fapt,o soluţie, ci, vor remarca calităţile şi defectele, determinând cauzele şi modalităţile de îndreptare a defectelor. Pentru exersarea spiritului critic putem rezolva cu elevii jocuri logico-matematice, în care introducem voit anumite greşeli, iar elevii au sarcina de-a identifica şi corecta aceste greşeli.

Astfel, se poate folosi jocul ”Găseşte intrusul”, în care li se cere copiilor să calculeze şi să elimine termenul sau factorul care este în plus. Pentru a exersa spiritul de observaţie şi puterea de analiză a copiilor, în locul rezultatului 0 se scrie uneori, echivalentul său:

7+5 –3+6 –8+7+2 –9+1 –7=6 –6

4x7x25x3x10=2100
Jocul matematic

„Câţi vecini au zece numere naturale?”

Enunţul jocului permite copiilor alegerea celor zece numere naturale în diferite moduri. Astfel elevii care aleg numerele consecutive 0-9 vor găsi 11 vecini. În cazul numerelor naturale 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 elevii vor identifica 12 vecini, deoarece, fiecare dintre aceste numere are un vecin mai mic, dar este şi vecin pentru succesorul său, iar al zecelea număr are un vecin mai mare. Dacă elevii vor lua cele zece numere naturale la întâmplare, însă primul ar fi 0, vor găsi 19 vecini, pentru că 0 are numai un vecin mai mare. Dacă numerele naturale au fost scrise aleatoriu, fără a fi consecutive şi fără ca primul număr să fie 0, elevii vor găsi câte doi vecini pentru fiecare număr, în total 20 de vecini.

Prin jocul logico-matematic „Cine calculează mai repede” se urmăreşte ca elevii să descopere procedee de calcul rapid, să ştie să folosească proprietăţile operaţiilor, să-şi dezvolte spiritul inventiv-creator şi flexibilitatea gândirii.

Iată câteva jocuri matematice de acest fel:

a. a)1+2+3+4+5+6+7+8+9=

b. b)1+2+3+4+5+5+4+3+2+1=

c. c)1+2+3+4+5+15+16+17+18+19=

d. d)1+2+3+4+5+6+9+10+11+12+13+14=

Am urmărit prin aceste jocuri să observ dacă elevii ştiu să asocieze corect termenii adunării, obţinând 10 la jocurile a) şi b),20 –la jocul c) şi 15 –la jocul d), pentru a obţine rapid rezultatul final.
Jocul logico-matematic” Ne jucăm, observăm, operaţii cu cifre romane, corect rezolvăm”.

Li se cere elevilor să mute o singură liniuţă pentru a transforma fiecare expresie matematică într-o egalitate:

• V –V=II

• X –X=XIX

• VI+I=IV

• II=II –I

• L –II=LI

• VI –V=I+I

• III –II=IV

• L –V=LIV

Jocul numit „Pătrate magice”, în care suma numerelor de pe fiecare rând, de pe fiecare coloană şi de pe fiecare diagonală este acceaşi.

Dacă utilizăm „Pătratul magic”, îi provocăm pe elevi să completeze cele 9 căsuţe ale pătratului cu numere de la 1 la 9, găsind mai multe variante, astfel ca suma magică să fie 15.

Apoi am mărit dificultatea „Pătratelor magice”, astfel fiecare pătrat să aibă 16 numere, iar variantele de completare să fie multiple. Elevii au sarcina de a completa pătratele, după cum urmează:

- cu numere de la 1 la 4,astfel ca suma magică să fie 10;

- cu numerele 2,4,6,8,astfel încât suma magică să fie 20;

- cu numere de la 1 la 16,astfel ca suma magică să fie 34;

- cu numere de la 6 la 21,astfel încât suma magică să fie 54...
Prin jocul „O excursie interesantă”, aş dori să descopăr ingeniozitatea, inventivitatea şi agerimea copiilor.

Pentru acest joc putem porni de la următoarea simulare:

Imaginaţi-vă că am fost împreună într-o excursie la munte. Pe traseu aţi văzut câteva animale: un iepuraş, o vulpe, un cerb, un urs şi o veveriţă. Întrebarea este:

- Care dintre animalele pe care le-aţi văzut trăieşte cel mai mult şi care trăieşte cel mai puţin?

Văzând că elevii nu pot da răspunsul le putem da câteva lămuriri: iepurele trăieşte jumătate din cât trăieşte vulpea, cerbul de trei ori mai mult decât iepuraşul, ursul de cinci ori mai mult decât iepurele, iar veveriţa cu trei ani mai puţin decât iepurele. Iepurele, vulpea, cerbul şi ursul trăiesc în total 110 ani.

Se poate rezolva cu uşurinţă acest joc, utilizând metoda grafică şi găsind că ursul trăieşte cel mai mult-50 ani, iar veveriţa-7 ani.

Descifrează mesajul examinatorului:

1. 
   efectuează calculele
   
2. 
   scrie litera corespunzătoare fiecărui rezultat
   

823- 469		291- 207		507- 268		600- 246		452- 175		708- 469
354
C

732- 378		206- 79		435- 377		900- 375		633- 279		323- 124

Rezultat	354	239	84	277	127	525	199	58
Litera	C	L	A	U	O	E	T	R