Mənfi olmayan tam ədədlər ( motə) hesabının çoxluqlar

Mövzu 6. Say sistemləri. Mövqeli və mövqeysiz say sistemləri.

Onluq say sistemi
Ədədlərin adlandırılması, işarə edilməsi, yazılması və onlar üzərində əməllərin yerinə yetirilməsi sisteminə say sistemi deyilir.Ədədlərin adlandırılması və işarə edilməsindəki rəqəmlərin tutduğu mövqedən asılı olaraq say sistemləri iki yerə ayrılır .

1. 
   Mövqesiz say sistemi
   
2. 
   Mövqeli say sistemi
   

Əvvəlcə mövqesiz say sistemi meydana gəlmişdir. Mövqesiz say sistemində

yazılmış ədəddəki rəqəmlər tutduğu mövqedən asılı olmayaraq, həmişə eyni ədədi göstərir. Mövqesiz say sistemi misirlilər, romalılar və yunanlar tərəfindən yaradılmışdır. Onlar ədədlərin yazılışında müxtəlif işarələrdən istifadə etmişlər. Məsələn, Misirlilər 1, 10, 100 və s. ədədlərinin yazılışında heroqliflərdən istifadə etmişlər.

1	10	100
I		C

Bu heroqliflərdən istifadə edərək misirlilər 23, 45 ədədlərini aşağıdakı kimi yazmışlar.

I I I- Bu 23 ədədinin yazılışıdır.Burada iki dəfə 10 üçün heroqlif, 3 dəfə vahid üçün heroqlifdən istifadə etmişlər.

I I I - Bu isə 45 ədədinin yazılışıdır.Burada dörd dəfə 10 üçün heroqlif,

I I 5 dəfə vahid üçün heroqlifdən istifadə etmişlər.

Buradan görünür ki, ədədlərin belə yazılışında hər bir heroqlifin qiyməti onun vəziyyətindən, yəni tutduğu mövqedən asılı deyil.

Tərif : Ədədlərin yazılışında hər bir işarənin qiyməti onun tutduğu mövqedən asılı deyilsə, onda belə say sisteminə mövqesiz say sistemi deyilir.

Romalılar da mövqesiz say sistemi kəşf etmişdir. Onlar 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000 ədədlərini uyğun olaraq aşağıdakı kimi işarə etmişlər.

Bu mövqeysiz say sisteminin yazılışı barmaqlar və əl üzərində hesablamalarla əlaqədardır. I - işarəsi bir barmaq, V- işarəsi beş barmaq, X- işarəsi on barmaq, 100 ədədinin işarə etdiyi C hərfi latınca Centum –“ yüz” sözünün , 1000 ədədinin işarə etdiyi M hərfi isə latınca Mille – “min” sözünün baş hərfləridir.

Romalılar bu işarələrdən istifadə edərkən ədədləri aşağıdakı qayda ilə yazmışlar:

-125, -1127

Bu say sistemində bütün digər ədədlər bu ədədlərdən yalnız toplama və çıxma əməllərinin köməyilə alınır. Əgər ədədlərdəki rəqəmlər soldan sağa azalmaqla düzülürsə, onda işarələrin göstərdiyi ədədlər ardıcıl olaraq toplanır,yəni

Lakin bəzi hallarda kiçik ədədi göstərən işarə böyük ədədi göstərən işarədən solda olur. Bu halda sağda yazılmış böyük işarədən, solda yazılmış işarə çıxılır.

Mövqesiz say sistemi qədim yunanlılar tərəfindən də istifadə edilmişdir. Onlar 1,2,3,4,5,6,7,8,9 ədədlərini yunan əlifbasının ilk doqquz hərfi ilə işarə etmişlər.

Mövqeli say sistemlərinin yaradılması riyaziyyatın inkişafında böyük dönüş hesab edilir. Bu say sisteminin ən mühüm xüsusiyyəti ondan ibarətdir ki, eyni bir işarə ( rəqəm) ədədin yazılışındakı vəziyyətindən ( mövqeyindən ) asılı olaraq, müxtəlif ədədləri göstərə bilər.

İlk dəfə tətbiq olunan mövqeli say sistemi 60 – lıq say sistemi olmuşdur. Bu sistem qədim Babilistanda tətbiq edilmişdir. Bu say sisteminin izləri hələ indiyə qədər qorunub saxlanılır. Məsələn, 1 saat = 60 dəq., 1 dəq. = 60 san., tam bucağın 360⁰ – yə bərabər olması bu say sisteminin izləridir. Mövqeli say sistemləri içərisində ən geniş yayılmış onluq say sistemidir. Bu sistem qədim hindlilər tərəfindən yaradılmış və tətbiq edilmişdir. Hindlilər sıfırı onluq say sisteminə daxil etdikdən sonra bu sistem tam şəkil almışdır. Onlar sıfır rəqəmini boş olan onluq mərtəbələri işarə etmək məqsədilə tətbiq etmişlər.

Bu sistemdə 2372 ədədinə baxaq. Buradan görünür ki, eyni bir ədədin yazılışında 2 rəqəmi həm təkliyi, həm də minliyi göstərir. Deməli, eyni bir rəqəm tutduğu mövqedən asılı olaraq müxtəlif ədədləri göstərir. Ona görə də onluq say sistemi mövqeli say sistemidir.

Onluq say sistemində hər bir ədədi yazmaq üçün 10 sayda işarədən (rəqəmdən) istifadə olunur: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Bu işarələrdən müəyyən qayda ilə düzəlmış hər bir sonlu ardıcıllıq ədədlərin qısa yazılışı olur.

Məsələn, 3257 ardıcıllığı ədədinin qısa yazılışıdır. Bu cəmi şəklində yazmaq qəbul edilmişdir.

Tərif : natural ədədinin

( 1)

şəklində göstərilməsinə onun onluq yazılışı deyilir. Burada əmsalları 0,1,2,..., 9 qiymətlərini ala bilər və .

(1) bərabərliyinin sağ tərəfindəki cəmi qısaca olaraq şəklində yazırlar. Natural ədədin ( 1) şəklində göstərilişində ədədləri mərtəbə vahidləri adlanır. birinci mərtəbə vahidi, ikinci mərtəbə vahidi, üçüncü mərtəbə vahidi, və nəhayət, - ci mərtəbə vahidi adlanır. mərətbə rəqəmləri olub, uyğun mərtəbə vahidlərinin sayını göstərir. Ümumiyyətlə, ixtiyari mərtəbə vahidinin özündən sağdakı qonşu mərətbə vahidinə nisbəti 10-a bərabərdir. 10 ədədinin özü isə baxılan say sisteminin əsası adlanır.

Onluq say sistemində ədədlərin yazılışını və oxunuşunu sadələşdirmək üçün mərtəbələri sağdan sola hər biri üç mərtəbədən təşkil olunmaqla siniflərə bölürlər. Birinci üç mərtəbə ( təkliklər, onluqlar, yüzlüklər) bir qrupa daxil edilərək təkliklər sinfi adlandırılır. Dördüncü , beşinci, altıncı mərtəbələr eyni qrupa daxil edilərək minliklər sinfi adlandırılır. Sonrakı mərtəbələr də üç – üç qruplaşdırılaraq yeni siniflər əmələ gətirirlər.

Riyaziyyatın ibtidai kursunda natural ədədin onluq yazılışı dedikdə, bu ədədin mərtəbə toplananlarının cəmi şəklində göstərilməsi başa düşülür. Məsələn, 3427 ədədinin onluq yazılışı kimi göstərilir. Ədədin bu şəkildə yazılışı onun oxunuşunu xeyli asanlaşdırır.

Natural ədədlərin onluq yazılışı həm də ədədləri müqayisə etmək üçün əlverişlidir. Tutaq ki, və natural ədədlərinin onluq yazılışı aşağıdakı şəkildə verilmişdir.





ədədi ədədindən o vaxt kiçik hesab olunur ki, aşağıdakı şərtlərdən biri ödənilsin :

1. 
   olduqda ( yəni - in onluq yazılışındakı mərtəbələrin sayı - in onluq yazılışındakı mərtəbələrin sayından kiçik olduqda) ;
   
2. 
   olduqda, lakin olduqda ;
   
3. 
   , lakin olduqda.
   

Məsələn:

1) ;

2) ;

3) .