Mühaziry riyazi mYntiqin elementlYri

MühazirY 4. Ekvivalentlik vY nizam münasibYti

Binar münasibYtlYrin bYzi növlYrinin riyaziyyatın bir çox sahYlYrindY mühüm tYtbiqlYri vardır.

TYrif 1. Tutaq ki, boş olmayan A çoxluğunda binar münasibYti verilmişdir. Bu müna-

sibYt o zaman:

a) refleksiv münasibYt adlanır ki, ;

b) antirefleksiv münasibYt adlanır ki, ;

c) simmetrik münasibYt adlanır ki, ;

ç) antisimmetrik münasibYt adlanır ki, ;

d) tranzitiv münasibYt adlanır ki, ;

e) rabitYli münasibYt adlanır ki, şYrtlYri ödYnilsin.

Misallar. a) münasibYti refleksiv münasibYtdir. Asanlıqla yYqin etmYk olar ki, münasibYtini daxilinY alan hYr bir münasibYt refleksiv münasibYtdir. Xüsusi halda, olarsa, münasibYti refleksiv münasibYtdir.

b) İxtiyari münasbiYti verilYrsY, münasibYti antirefleksiv münasibYtdir. Xüsusi halda olarsa, münasibYti refleksiv münasibYtdir.

c) R hYqiqi YdYdlYr çoxluğunda münasibYti simmetrik münasibYtdir. Doğrudan da, x vY y YdYdlYri göstYrilYn bYrabYrliyi ödYyYrsY, onda onların yerini dYyişdikdY bYrabYrlik pozulmur.

ç) N natural YdYdlYr çoxluğunda bölünmY münasibYti antisimmetrik münasibYtdir. Doğrudan da, YgYr olarsa, elY k natural YdYdi tapmaq olar ki, . Eyni qayda ilY elY m natural YdYdi var ki, . Birinci bYrabYrlikdY ikincini nYzYrY alsaq, yaza bilYrik: .

d) R hYqiqi YdYdlYr çoxluğunda tranzitiv münasibYtdir. YYni olarsa, onda .

e) R hYqiqi YdYdlYr çoxluğunda rabitYli münasibYtdir, yYni olarsa, onda ya vY ya .

TYrif 2. Boş olmayan A çoxluğunda verilmiş münasibYti o zaman ekvivalentlik münasibYti adlanır ki, o, ferleksiv, simmetrik vY tranzitiv olsun.

Ekvivalentlik münasibYti üçün çox işlYnYn işarYlYr bunlardır:.

Misallar. 1. Z natural YdYdlYr çoxluğunda verilmiş münasibYti ekvivalentlik münasibYtidir. Doğrudan da münasibYtinin a), c), e) şYrtlYrini ödYdiyi aşağıdakı sxemlYrdYn görünür.

a) ;

c) ;

e) .

Yuxarıdakı sxemdY, mYsYlYn, x-y5 yazılışı x-y fYrqinin 5-Y bölündüyünü işarY edir.

2. Tutaq ki, A müstYvi üzYrindY yerlYşYn düz xYtlYr çoxluğudur göstYrir. binar münasibYtini aşağıdakı kimi tYyin edYk:

.

Göründüyü kimi, münasibYti düz xYtlYrin paralel olması vY ya üst-üstY düşmYsi münasibYtidir. Asanlıqla yoxlamaq olar ki, bu münasibYt a), c), e) şYrtlYrini ödYyir. DemYli, o, ekvivalentlik münasibYtidir.

3. İstiqamYtlYnmiş parçalar (vektorlar) çoxluğunda bYrabYrlik ekvivalentlik münasibYti-dir.

TYrif 3. Tutaq ki, boş olmayan A çoxluğunda verilmiş ekvivalentlik münasibYtidir. ixtiyari element olarsa, A çoxluğunun şYklindY müYyyYn olunan alt çoxluğuna x elementinin ekvivalentlik sinfi deyilir.

Ekvivalentlik sinfi bYzYn qonşu sinif, çıxıqlar sinfi kimi dY adlandırılır. x elementinin ekvivalentlik sinfi , ilY dY işarY olunur.

Yuxarıda 1-ci misalda

alt çoxluğu 5-Y böldükdY 1qalığı verYn tam YdYdlYrdYn ibarYtdir, yYni 1-in ekvivalentlik sinfini göstYrir. 2-ci misalda hYr hansı düz xYttinin ekvivalentlik sinfi bu düz xYtdYn vY ona paralel olan bütün düz xYtlYrdYn tYşkil olunmuşdur. 3-cü misalda isY verilYn istiqamYtlYnmiş parçanın ekvivalentlik sinfi onun müYyyYn etdiyi (sYrbYst) vektordur.

TYrif 4. A çoxluğunda verilmiş ekvivalentlik münasibYtinin doğurduğu ekvivalentlik siniflYri çoxluğuna onun münasibYtinY nYzYrYn faktor-çoxluğu deyilir vY ilY işarY olunur.

Yuxarıdakı 1-ci misalda cYmi beş ekvivalentlik sinfi vardır: . Asanlıqla görmYk olar ki, olmaqla, ekvivalentlik siniflYri cüt-cüt kYsişmir. Bu xassY ekvivalentlik münasibYtinin mühüm xassYsidir vY o, ümumi halda da doğrudur.

TYrif 5. gYr A çoxluğunu cüt-cüt kYsişmYyYn vY boş olmayan alt çoxluqlar ailYsinin birlYşmYsi şYklindY göstYrmYk olarsa, onda bu ailY A çoxluğunun bölgüsü adlanır.

Teorem 1. A çoxluğunda ekvivalentlik münasibYti verilYrsY, onda faktor-çox-

luğu onun bölgüsüdür.

İsabatı. İxtiyari elementi götürYk. mülahizYsi refleksivliyY YsasYn doğru olduğu üçün, . BelYliklY, hYr bir element boş olmayan ekvivalentlik sinfi doğurur vY bu sinfY daxil olur. DemYli, bütün qonşu siniflYrin birlYşmYsi A çoxluğunu verir. GöstYrYk ki, müxtYlif ekvivalentlik siniflYri cüt-cüt kYsişmir. olarsa, onda onların ümumi z elementi vardır. GöstYrYk ki, bu halda . Ixtiyari elementi götürYk. Ekvivalentlik sinfinin tYrifinY YsasYn . Eyni zamanda, . Simmetriklik şYrtinY görY yaza bilYrik: . TranzitivliyY görY . Lakin fYrziyyYyY görY ; onda vY . Tranzitivlik xassYsini sonuncu iki münasibYtY tYtbiq edYrYk, alırıq . DemYli, . Eyni qayda ilY göstYrY bilYrik ki, . BelYliklY, . Yuxarıdakı mülahizYlYr göstYrir ki, ekvivalentlik siniflYri ya cüt-cüt kYsişmir vY ya üst-üstY düşür. Teoremin isbatı başa çatdı.

Bu teoremin tYrsi dY doğrudur. YYni boş olmayan A çoxluğunun hYr bir bölgüsü müYyyYn bir ekvivalentlik münasibYti tYyin edir.

Teorem 2. Tutaq ki, boş olmayan A çoxluğunda hYr hansı S alt çoxluqlar ailYsi ilY bölgü verilmişdir: yYni heç biri boş olmayan vY cüt-cüt kYsişmYyYn elY () alt çoxluqları verilmişdir ki,

Onda, A çoxluğunda elY ekvivalentlik münasibYti müYyyYn etmYk olar ki, S ailYsinY aid olan hYr bir alt çoxluq ekvivalentlik sinfi olsun.

İsbatı. Teoremi isbat etmYk üçün münasibYti aşağıdakı kimi tYyin edilir:

vvYlcY göstYrYk ki, münasibYti ekvivalentlik münasibYtidir. İxtiyari elementi verilYrsY, onda elY tapmaq olar ki, . Onda münasibYtinin tYrifindın görünür ki, vY . DemYli, münasibYti refleksiv vY simmetrikdir. gYr vY olarsa, onda elY tapmaq olar ki, . Eyni qayda ilY, onda elY tapmaq olar ki, . Lakin, S ailYsi bölgü olduğundan vY münasibYtlYri ancaq olduqda mümkündür. DemYli, vY buna görY dY , yYni münasibYti hYm dY tranzitivdir. HYr bir alt çoxluğunun ekvivalentlik sinfi olması bilavasitY

münasibYtinin tYrifindYn alınır. Teorem 2 isbat olundu.

Eyni zamanda göstYrmYk olar ki, belY münasibYti yeganYdir.

Tutaq ki, inikası verilmişdir. A çoxluğunda aşağıdakı kimi ekvivalentlik münasibYti tYyin edYk:

(-nin ekvivalentlik münasibYti olduğunu göstYrmYk oxucuya tYklif olunur). Bu münasibYt A çoxluğunda bölgü müYyyYn edir. Yeni inikası müYyyYn edYk. HYr bir sinfinY elementini qarşı qoyaq. gYr olarsa, onda olduğu üçün, inikasının qiymYti sinfin elementindYn deyil, sinfin özündYn asılıdır. Aydındır ki, inyektiv inikasdır (göstYrin).

Nizam münasibYti

TYrif 1. Boş olmayan A çoxluğunda verilmiş binar münasibYti antisimmetrik vY tranzitiv olarsa, onda belY münasibYt nizam münasibYti adlanır. Bu halda deyilir ki, cütü nizamlanmış, yaxud nizamlı çoxluqdur.

TYrif 2. A çoxluğunda verilmiş nizam münasibYti refleksiv münasibYt olarsa, onda o, qeyri-ciddi nizam münasibYti adlanır; antirefleksiv nizam münasibYtinY isY ciddi nizam münasibYti deyilir.

Qeyd edYk ki, YgYr binar münasibYti tranzitiv vY antirefleksiv olarsa, onda bu münasibYt antisimmetrikdir. Doğrudan da, tutaq ki, binar münasibYti tranzitiv vY antirefleksivdir. Onda, tranzitivliyY görY . Lakin, antirefleksivliyY YsasYn mülahizYsi yalandır. Buna görY dY olmasından şYrti yalan olan implikasiyasının doğruluğu alınır. BelYliklY,

vY demYli, antisimmetrikdir. DeyilYnlYrY vY tYrif 2-yY YsasYn aşağıdakı teoremi isbat etmiş oluruq.

Teorem 1. Antirefleksiv vY tranzitiv münasibYt ciddi nizam münasibYtidir.

Misallar. 1. Natural YdYdlYr çoxluğunda tam bölünmY () münasibYti nizam münasibYtidir. Bu nizam münasibYti refleksiv olduğu üçün () o, qeyri-ciddi nizamdır.

2. HYqiqi YdYdlYr çoxluğunda ciddi nizam münasibYtidir.

3. Tam YdYdlYr çoxluğunda bölünmY münasibYti antisimmetrik olmadığı üçün o, nizam münasibYti deyil. MYsYlYn, , lakin .

TYrif 3. Tutaq ki, nizamlı çoxluqdur. gYr rabitYli münasibYt olarsa, ona xYtti nizam münasibYti deyilir, isY xYtti nizamlı çoxluq adlanır.

Qeyd etmYk lazımdır ki, nizam münasibYtinY müxtYlif yanaşmalar mövcuddur. Biz [10] vY [17]–dY olan yanaşmaya üstünlük veririk. Tutaq ki, xYtti nizamdır. Onda YgYr doğru olarsa, tranzitivliyY YsasYn doğru olar. DemYli, YgYr ciddi nizam olarsa, onda mülahizYsi yalandır. BelYliklY, ciddi xYtti nizam münasibYti müYyyYn edilmiş çoxluqda trixotomiya qanunu deyilYn tYklif alınır: münasibYtlYrindYn ancaq biri ödYnir.

TYrif 4. gYr xYtti nizamlı çoxluq deyilsY, onda o, qismYn nizamlı çoxluq adlanır.

Misallar. 1. kimi tYyin olunan münasibYt hYqiqi YdYdlYr çoxluğunda ciddi xYtti nizam münasibYtidir. İxtiyari iki x vY y hYqiqi YdYdlYri üçün aşağıdakı üç münasibYtdYn ancaq biri ödYnilir: .

2. HYr hansı M çoxluğunun alt çoxluqlar çoxluğunda münasibYti qeyri-ciddi vY xYtti olmayan nizam münasibYtidir.

TYrif 5. Tutaq ki, nizamlı çoxluqdur. elementi o zaman Yn kiçik element adlanır ki, .

HYr bir xYtti nizamlı çoxluqda Yn kiçik element birdYn çox ola bilmYz. N natural YdYdlYr çoxluğunun hYr bir alt çoxluğunda Yn kiçik element vardır. Lakin aralığında “” ciddi nizamına görY Yn kiçik element yoxdur.

TYrif 6. gYr xYtti nizamlı çoxluğunun hYr bir boş olmayan alt çoxluğunda Yn kiçik element varsa, onda belY çoxluq tamam nizamlı çoxluq adlanır.

Yuxarıda deyilYnlYrY YsasYn, N natural YdYdlYr çoxluğu tamam nizamlı çoxluqdur, lakin hYqiqi YdYdlYr çoxluğu tamam nizamlı deyil.


MühazirY 5. CYbrlYr vY cYbri sistemlYr

CYbrin Ysas tYdqiqat obyektlYri içYrisindY cYbrlYr vY cYbri sistemlYr mühüm yer tutur. Müasir riyaziyyat elminin bir çox sahYlYrindY cYbri sistemlYrin böyük YhYmiyyYti vardır. CYbr vY cYbri sistemlYrdY daxil olunaraq öyrYnilYn YmYllYr vY münasibYtlYrin bir çox xassYlYri müxtYlif tYtbiqlYrdY müxtYli şYkildY özünü büruzY verir. Bu müxtYlifliyin zahiri tYzahürlYrindYn azad olaraq, mYsYlYnin mYzmununa müvafiq şYrh vermYklY tYdqiq olunan proseslYrdY cYbri strukturlar vermYk olur. MYsYlYn, riyazi analizdY kYsilmYz funksiyalar halqasının daxil edilmYsi, yaxud çoxobrazlıları öyrYnYrkYn toxunan fYza anlayışının daxil edilmYsi vY s. mYsYlYlYrin öyrYnilmYsini sadYlYşdirir, onlara ümumi mYzmun vY mYna verir. CYbrlYrin vY cYbri sistemlYrin tYtbiqi nYticYsindY riyaziyyatın müxtYlif, ilk baxışda uyuşmayan bir çox sahYlYrini birlYşdirYn müştYrYk tYdqiqat istiqamYtlYri meydana gYlmişdir.