Mühaziry riyazi mYntiqin elementlYri

MühazirY 1. Riyazi mYntiqin elementlYri

HYr bir elm sahYsi öz tYdqiqat obyektinY vY tYdqiqat üsullarına malikdir. Riyaziyyatın tYdqiqat obyekti real alYmlY bağlı olaraq meydana gYlYn, lakin mücYrrYd, ancaq tYsYvvürdY vY tYfYkkürdY mövcud olan obyektlYrdYn ibarYtdir. MYsYlYn, YdYd, düz xYtt, müstYvi vY s. Bu fikirlYri daha düzgün qavramaq üçün qYdim riyaziyyatçılar tYrYfindYn qYbul edilYn tYriflYrY diqqYt yetirmYk kifayYtdir. EvklidY görY, nöqtY elY şeydir ki, onun hissYsi yoxdur, yaxud, düz xYtt eni olmayan uzunluqdur, vY ya, xYttin ucları nöqtYdir vY i. a. (bax [7]). Göründüyü kimi, Ysas riyazi anlayışlar, maddi alYm tYsYvvürlYri, hissi qavrayış ilY sıx bağlı olan, reallıqda isY mövcud olmayan obyektlYrdir. Buna görY dY, riyaziyyatın tYdqiqat üsulu da tYfYkkürlY, Yqli düşüuncY ilY bağlı olan metodlardan, yYni mYntiqi tYfYkkürdYn, Yqli nYticY üsulundan ibarYtdir. Bu tYfYkkürün öz qanunauyğunluqları vardır ki, bunların öyrYnilmYsi riyazi mYntiqin mYzmununu tYşkil edir.

Riyazi mYntiqin sistematik şYkildY öyrYnilmYsi XIX Ysrin II yarısına tYsadüf edir. Riyaziyyatın coxluq nYzYriyyYsi, hYqiqi vY kompleks dYyişYnli funksiyalar nYzYriyyYsi vY digYr sahYlYrindY hYllini tYlYb edYn mYntiqi mYsYlYlYr riyazi mYntiqin antik dövrY mYxsus sxematik qaydalar toplumundan ciddi riyazi nYzYriyyYyYdYk sürYtli inkişaf yolu keçmYsinY sYbYb oldu. Müasir dövrdY riyazi mYntiq nYinki sürYtlY inkişaf edYn ciddi riyazi nYzYriyyYdir, habelY onun riyaziyyatın bir çox sahYlYrindY geniş tYtbiqlYri dY vardır.

§1. MülahizYlYr vY onlar üzYrindY mYntiq YmYllYri

HYr bir elmin özünY mYxsus ilkin anlayışları vardır ki, onlar baxılan nYzYriyyY hüdudları daxilindY ciddi mYntiqi tYrifY malik deyil. Riyazi mYntiqin belY anlayışları sırasına “mülahizY”, “mYntiq YmYllYri”, “predikat” kimi anlayışlar daxildir. BelY anlayışların “tYrifi” adi dilin qanunauyğunluqlarından istifadY olunmaqla, obyektin Ysas xüsusiyyYtlYrini ifadY etmYklY verilir, yYni anlayış öz xarakterik xüsusiyyYtlYri ilY tYsvir olunur.

TYrif 1. MülahizY elY nYqli cümlYyY deyilir ki, onun doğru yaxud yalan olduğunu hökm etmYk mümkün olsun.

lbYttY, nYqli cümlY anlayışı dYqiq tYrif olunmadığı üçün onun doğru vY ya yalan olması kriteriyası, ümumi halda, intuitiv olaraq müYyyYn olunur. VerilYn cümlYnin doğru olması ona qarşı “D” doğruluq qiymYtinin qarşı qoyulması, yalan olması isY “Y” doğruluq qiymYtinin qarşı qoyulması demYkdir. BYzYn bunların yerinY 1 vY 0 YdYdlYrindYn dY istifadY olunur.

Misallar. 1. “Hava buludludursa, demYli yağış yağacaq” cümlYsi nYqli cümlYdir vY tYcrübYdYn bizY mYlumdur ki, o yalandır. Buna qörY dY bu cümlY mülahizYdir.

2. “32” mülahizYdir, çünki, onun doğru olduğunu hökm edY bilYrik.

3. “” mülahizY deyil; -in nYyi ifadY etdiyi mYlum olmadığı üçün onun doğru vY ya yalan olduğunu hökm etmYk olmaz.

MülahizYlYr böyük latın hYrflYri ilY işarY olunur. MYsYlYn, A=“Hava buludludursa, demYli yağış yağacaq”, yaxud B=“23”. MülahizYlYr üzYrindY mYntiq YmYllYri yerinY yetirmYk olar. MYntiq YmYllYri bunlardır: inkar, konyunksiya, dizyunksiya, implikasiya, ekvivalensiya. Bunlardan birincisi ancaq bir mülahizYyY tYtbiq olunur. Qalanları isY iki mülahizYnin kömYyi ilY yeni mülahizY yaratmağa imkan verir. Onların işarYlYri, uyğun olaraq belYdir: .

1. A mülahizYsinin inkarı A ( “A deyil”, yaxud “qeyri A” kimi oxunur) kimi işarY olunan elY mülahizYyY deyilir ki, A doğru olduqda o yalan, A yalan olduqda isY o doğru olsun.

MYsYlYn, B=“23” mülahizYsi üçün B=“23”. Yaxud, A=“Hava buludludursa, demYli yağış yağacaq” yalan mülahizYsinin inkarı isY A=“Hava buludlu deyil vY yağış yağmayacaq” doğru mülahizYsi qYbul oluna bilYr. A vY A mülahizYlYrinin doğruluq qiymYtlYrini müYyyYnlYşdirmYk üçün aşağıdakı cYdvYldYn istifadY etmYk olar:

A AD

YY

D

2. A vY B mülahizYlYrinin konyunksiyası AB ( “A vY B kimi oxunur) kimi işarY olunan elY yeni mülahizYyY deyilir ki, bu mülahizY yalnız vY yalnız hYr iki mülahizY doğru olduqda “D” doğruluq qiymYtini alsın.

Bu YmYlin doğruluq cYdvYlini aşağıdakı kimi vermYk olar:

A BABD

D

Y

YD

Y

D

YD

Y

Y

YBu cYdvYlY YsasYn hökm etmYk olar ki, “x=2 YdYdi

sisteminin köküdür” mülahizYsi yalandır, çünki x -in yerinY 2 yazdıqda alınan ikinci mülahizY, yYni “2-1=0” mülahizYsi yalandır.

3. A vY B mülahizYlYrinin dizyunksiyası AB ( “A vY ya B” kimi oxunur) kimi işarY olunan elY yeni mülahizYyY deyilir ki, bu mülahizY yalnız vY yalnız hYr iki mülahizY yalan olduqda “Y” doğruluq qiymYtini alsın.

MYsYlYn, “23” mülahizYsi iki mülahizYnin dizyunksiyasıdır: “23” = “2<3”“2=3” (doğrudan da bYrabYrsizliyi “ bY ya ” demYkdir). TYrifdYn bilavasitY göründüyü kimi dizyunksiyanın “D” doğruluq qiymYtini alması üçün dizyunksiyası götürülYn iki mülahizYdYn heç olmasa birinin “D” doğruluq qiymYtini alması kifayYtdir. Bu YmYl üçün aşağıdakı doğruluq cYdvYli vermYk olar:

A BABD

D

Y

YD

Y

D

YD

D

D

Y 4. A vY B mülahizYlYrinin implikasiyası A B (“YgYr A isY, onda B” kimi oxunur) kimi işarY olunan elY yeni mülahizYyY deyilir ki, bu mülahizY yalnız vY yalnız A doğru vY B yalan olduqda “Y” doğruluq qiymYtini alsın.

Bu YmYl üçün aşağıdakı doğruluq cYdvYli vermYk olar:

A BABD

D

Y

YD

Y

D

YD

Y

D

D Teorem. gYr A vY A B mülahizYlYri doğru olarsa, onda B mülahizYsi dY doğrudur.

Isbatı. A vY A B mülahizYlYri doğru olarsa, implikasiyanın doğruluq cYdvYlinY YsasYn, ancaq cYdvYlin birinci sYtrinY uyğun olan hal mümkündür, yYni B mülahizYsi dY doğrudur. Teorem isbat olundu.

Bu teorem isbat nYzYriyyYsindY mühüm rol oynayır. Bu teoremin kömYyi ilY biz hYr hansı B mlühizYsinin doğruluğunu göstYrmYk üçün mYlum olan A teoremindYn başlayırıq. A B implikasiyasının doğru olduğunu göstYrmYklY, teoremY YsasYn, B mülahizYsini isbat etmiş oluruq. A mülahizYsi implikasiyanın şYrti, B mülahizYsi isY onun nYticYsi adlanır.

Bir misala müraciYt edYk. Tutaq ki, A B implikasiyası Pifaqor teoremini ifadY edir: YgYr MNK üçbucağında olarsa, onda . HYr hansı MNKT düzbucaqlısında A mülahizYsi olaraq mülahizYsini götürYk. Düzbucaqlının tYrifinY görY bu mülahizY doğrudur. Onda, yuxarıdkı teoremY YsasYn aşağıdkı doğru tYklifi alırıq: düzbucqlının diaqonalının kvadratı onun oturacağı ilY yan tYrYfinin kvadratları cYminY bYrabYrdir.

5. A vY B mülahizYlYrinin ekvivalensiyası A B (“A vY B eynigüclüdür, vY ya ekvivalentdir” kimi oxunur) kimi işarY olunan elY yeni mülahizYyY deyilir ki, bu mülahizY yalnız vY yalnız A vY B eyni doğruluq qiymYtlYrini aldıqda “D” doğruluq qiymYtini alsın.

Bu YmYl üçün aşağıdakı doğruluq cYdvYli vermYk olar.

A BAB D

D

Y

YD

Y

D

YD

Y

Y

D MYsYlYn, “2-3=1””0=1” ekvivalensiyası doğrudur, çünki, hYr iki mülahizY yalandır.

MYntiq düsturları vY mYntiq qanunları

MYntiq YmYllYrinin kömYyi ilY sadY mülahizYlYrdYn mürYkkYb mülahizYlYr düzYltmYk olar. Eyni zamanda, mYntiq YmYllYri, verimiş mürYkkYb mülahizYnin mYntiqi quruluşunu müYyyYn edYrYk onu sadYlYşdirmYyY imkan verir (yYni onun doğruluq qiymYtini müYyyYn etmYyi sadYlYşdirir). MYsYlYn, belY bir mülahizYyY baxaq:

”vY ya olarsa, onda tYnliyinin hYqiqi köklYri yoxdur.”

Onu mYntiq YmYllYrinin kömYyi ilY (AB)C şYklindY yazmaq olar. İmplikasiyanın hYr iki tYrYfi doğrudur. DemYli, o doğru mülahizYdir. Misaldan göründüyü kimi mürYkkYb mülahizYnin doğruluğunu müYyyYn edYrkYn, mülahizYnin mYntiqi forması, yYni Yn sadY mülahizYlYrY bölünYrYk mYntiq YmYllYri vasitYsi ilY simvolik yazılışı, onun nYqli cümlY şYklindY böyük hYcmli yazılışından daha YhYmiyyYtlidir. MülahizYlYrin belY simvolik yazılışı mYntiq düsturu anlayışına gYtirir. MYsYlYn, yuxarıda alınan (AB)C ifadYsi (artıq A, B vY C heç bir konkret mülahizYni ifadY etmir) mYntiq düsturudur. MYntiq düsturlarına daxil olan dYyişYnlYrin yerinY ixtiyari mülahizY yazdıqda o, mülahizYyY çevrilir. MYntiq düsturunun ciddi tYrifi aşağıdakı kimi verilir.

TYrif. MYntiq düsturu dedikdY aşağıdakı qaydaların kömYyi ilY vY ancaq bu yolla alınan simvolik yazılışlar başa düşülür:

1) mötYrizYlYr – yYni “(” vY “)” simvolları – arasında kiçik latın hYrfinin yazilması ilY mYntiq düsturu alınır;

2) YgYr (a) vY (b) ixtiyari iki mYntiq düsturu olarsa, onda (, ((a)(b)), ((a)(b)), ((a)(b)), ((a)(b)) simvolik yazılışları da mYntiq düsturlarıdır.

Qeyd edYk ki, mYntiq düsturuna daxil olan hYrflYr indekslYnY vY ştrixlYnY bilYr. MYntiq düsturu anlayışının tYrifdY deyilYn şYkildY istifadYsi hYddindYn artıq mürYkkYb yazılışlara gYtirY bilYr. MYsYlYn, ((a)(b)) mYntiq düsturunda hYrflYrin yerinY A vY B mülahizYlYrini yazsaq AB mülahizYsi üçün daha mürYkkYb ((A)( B)) ifadYsini alarıq. MYntiq düsturlarının yazılışını sadYlYşdirmYk üçün müYyyYn ixtisarlar qYbul olunur. HYr şeydYn YvvYl, kYnar mötYrizYlYrY heç bir ehtiyac yoxdur. Artıq bu ixtisardan sonra ((A)( B)) mülahizYsi öz normal AB şYklini alır. Daha sonra, mYntiq YmYllYri üçün yuxarıdakı ardıcıllıqla tYsir radiusu qYbul edilir. n kiçik tYsir radiusuna YmYli malikdir vY o, bilavasitY özündYn sonra gYlYn mYntiq düsturuna aid edilir. BelY ki, mYsYlYn a b ifadYsindY mötYrizYlYr ancaq bir üsulla bYrpa oluna bilYr: ((a)(b)); mYsYlYn, (((a)(b))) düsturu artıq tamamilY başqa mYzmuna malikdir.

DigYr YmYllYrin tYsir radiusları eyni ardıcıllıqla sıralanır. Buna görY dY, mYntiq düsturunun tYrifY müvafiq olan yazılışını almaq üçün mötYrizYlYri göstYrilYn ardıcıllıqla bYrpa etmYk lazımdır. MYsYlYn, a(c)(c)b(a)b ifadYsindY mötYrizYlYr ancaq belY bYrpa oluna bilYr:

a(c)(c)b(a)b

a((c))((c))b((a))b

a((c))(((c))b)((a))b

(a((c)))(((c))b)(((a))b)

((a((c)))(((c))b))(((a))b)

(((a((c)))(((c))b))(((a))b)).

AdYtYn, ardıcıl iki mYntiq YmYli işarYsi mötYrizYsiz yazılmır. Lakin, bYzYn ab kimi yazılış da işlYnY bilYr. MötYrizYlYrin atılmasında da eyni qayda gözlYnilir. MötYrizYlYrin mümkün olan atılma sırası YmYllYrin düzülüşünün YksinYdir. Eyni YmYlY bir neçY dYfY rast gYlinYrsY, tYrifY YsasYn, onlar yazıldığı ardıcıllıqla nYzYrY alınır. (ab)c düsturunda mötYrizYlYri atmaq olmaz, Yks halda başqa düstur alınar: a(bc). Eyni qayda ilY, (a(bc)) düsturunda mötYrizYlYrin hamısının atılması başqa düstura gYtirir: ((ab)c).

MYntiq düsturlarında hYrflYrin, yYni dYyişYnlYrin yerinY ixtiyari mülahizYlYri yazmaq mümkün olduğundan, onlar nYticY etibarı ilY iki qiymYt ala bilir: D vY ya Y.

MYntiq düsturları içYrisindY elY düsturlar vardır ki, onlar, bu düstura daxil olan dYyişYnlYrin bütün mümkün qiymYtlYrindY ancaq D doğruluq qiymYtini alır. BelY düsturlar riyazi mYntiqdY mühüm YhYmiyyYt kYsb edir vY onlar tavtalogiya, yaxud mYntiq qanunları adlanır. Verilmiş düsturun mYntiq qanunu olub- olmamasını yoxlamaq üçün geniş istifadY olunan üsul bu düstur üçün doğruluq cYdvYlinin tYrtib olunmasıdır. Bu yolla aşağıdakı teoremi isbat etmYk olar.