Mühaziry riyazi mYntiqin elementlYri

Teorem 1. Aşağıdakı düsturlar tavtologiyadır:

1) nYticY qanunu: ;

2) konyunksiyanın kYnarlaşdırılması qanunu:;

3) dizyunksiyanın daxil edilmYsi qanunu: ;

4) dizyunksiyanın kYnarlaşdırılması qanunu: ;

5) ikiqat inkar qanunu: ;

6) kontrapozisiya qanunu: ;

7) Yks fYrziyyY ilY isbat qanunu: ;

8) sillogizm qanunu: ;

Isbatı. Teoremin isbatını yuxarıda deyildiyi kimi doğruluq cYdvYllYrinin kömYyi ilY aparmaq olar. Burada biz kontrapozisiya üçün cYdvYl tYrtib etmYklY kifayYtlYnirik. DigYr düsturlar üçün cYdvYllYrin tYrtib olunması oxucuya tYklif olunur. Z= işarY edYk.

pqZDDYYDDDDYYDYYDYDDYDDDYYDDDDD

CYdvYlin sonuncu sütunundan göründüyü kimi Z düsturu hYqiqYtYn tavtologiyadır. Eyni qayda ilY digYr düsturlar da isbat oluna bilYr. MYntiq düsturlarının doğruluğunu daha yığcam şYkildY isbat etmYk üçün bYzYn aşağıdakı tavtologiyalardan istifadY etmYk Ylverişli olur:

; ; ; ;

; .
Predikatlar vY kvantorlar

Yuxarıda biz mülahizYlYr vY onlar üzYrindY YmYllYrlY tanış olduq. Bir çox mYntiqi mYsYlYlYrin hYlli üçün bunlar kifayYt etmir. Riyaziyyatın bütün sahYlYrindY biz elY hökmlYlY rastlaşırıq ki, bunlara dYyişYnlYr daxil olur vY bu dYyişYnlYrin bYzi qiymYtlYrindY biz mülahizYlYr alırıq. Riyazi mYntiqin metodlarını belY mYsYlYlYrY tYtbiq etmYk üçün dYyişYni olan hökmlYr-predikatlar daxil edilir. Aşağıdakı misala baxaq: “”. Bu hökm nYqli cümlYdir, lakin mülahizY deyil. Burada x vY y dYyişYnlYrdir vY aydındır ki, onlar hYqiqi YdYdi qiymYtlYr alır. ks halda cümlY mYnasız olar. DYyişYnlYrin hYr bir YdYdi qiymYtlYrindY bu hökm mülahizYyY çevrilir: 2>3 vY ya -1>0 vY s. DYyişYnlYrin ala bilYcYyi qiymYtlYr çoxluğu mümkün qiymYtlYr oblastı adlanır. lbYttY, yuxarıdakı misalda x vY y dYyişYnlYri müxtYlif vahidlYrlY ölçülYn YdYdi qiymYtlYr ala bilmYz. BelY cümlYlYrdY dYyişYnlYrin ala bilYcYyi mümkün qiymYtlYr çoxluğu ya YvvYlcYdYn verilir vY ya cümlYnin (predikatın) mYzmununa müvafiq olaraq müYyyYn olunur.

TYrif. DYyişYnlYri olan nYqli cümlYdY dYyişYnlYrin yerinY onların mümkün qiymYtlYrini yazdıqda mülahizY alınarsa, onda belY nYqli cümlY predikat adlanır.

MYsYlYn, “” cümlYsindY x vY y dYyişYnlYrinin ixtiyati hYqiqi qiymYtlYrindY iki hYqiqi YdYdin bYrabYr olmasını ifadY edYn nYqli cümlY, yYni mülahizY alınır. DemYli, baxılan cümlY predikatdır.

Predikatlar, onlara daxil olan dYyişYnlıYri göstYrmYklY, böyük latın hYrflYri ilY işarY olunur. MYsYlYn, yuxarıdakı predikat qısa olaraq belY işarY olunur: A(x,y)=“”. Yaxud, B(x)=”x<3” vY i. a. Riyaziyyatda isbat olunan bir çox hökmlYr predikatlar vasitYsi ilY simvolik şYkildY yazıla bilYr. Aşağıdakı teoremY baxaq (Pifaqor teoremi):

İxtiyari düzbucaqlı üçbcaqda hipotenuzun kvadratı katetlYrin kvadratları cYminY bYrabYrdir.

gYr ilY müstYvi üzYrindY bütün mümkün üçbucaqlar çoxluğunu işarY etsYk, onda yuxarıdakı hökmü simvolik olaraq belY yaza bilYrik:

ixtiyari üçün olarsa, onda .

MYntiq YmYllYrinin kömYyi ilY onu daha qısa yazmaq olar:

ixtiyari üçün ( ).

“ixtiyari üçün” ifadYsini simvolik şYkildY kimi yazmaq qYbul olunmuşdur. Onda Pifaqor teoremi ( ) kimi yazıla bilYr. Burada simvolu ümumilik kvantoru adlanır. BelYliklY, kvantor predikatdan mülahizY alınması YmYliyyatının simvoludur (işarYsidir).

ilY n natural YdYdinin natural bölYnlYrinin sayını işarY edYk. Onda, natural YdYdin sadY YdYd olması hökmünü simvolik olaraq belY yazmaq olar: ; burada sadY YdYdlYr çoxluğunu göstYrir.

Geniş yayılmış riyazi hökmlYr içYrisindY varlıq teoremlYri adlanan hökmlYrY dY tez-tez rast gYlmYk olar. Verilmiş düz xYttY müstYvinin verilmiş nöqtYsindYn çYkilmiş perpendikulyarın varlığı haqda teorem belY ifadY olunur: ixtiyari a düz xYtti vY C nöqtYsi verilYrsY, bu nöqtYdYn keçYn vY a düz xYttinY perpendikulyar olan düz xYtt vardır vY yeganYdir. Bu hökmü simvolik yazaq. ilY müstYvi üzYridY yerlYşYn nöqtYlYr çoxluğunu işarY edYk. Tutaq ki, düz xYtti vY nöqtYsi verilmişdir. Perpendilulyarın varlığı hökmü belY ifadY olunur:

elY düz xYtti var ki, vY .

“elY düz xYtti var ki,” ifadYsini simvolik olaraq kimi işarY etmYk qYbul olunmuşdur. BelY simvolika ilY yuxarıdakı hökmün birinci (varlıq) hissYsini

()

şYklindY yazmaq olar. simvolu varlıq kvantoru adlanır. Lakin bu simvolik yazılış deyilYn hökmün bir hissYsini ifadY edir. Doğrudan da verilmiş hökmdY b düz xYttinin yeganY olduğu da hökm edilir. Bu tipli tYkliflYri dYqiqi ifadY etmYk üçün simvolu ilY işarY olunan “varlıq vY yeganYlik” kvantoru daxil edilir. BelYliklY, verilmiş teoremin dYqiq ifadYsi belY olmalıdır:

().

ifadYsi belY oxunur: “elY yeganY vardır ki”.

gYr predikatın garşısında sYrbYst dYyişYnlYrin hamısı iştirak edYn kvantorlar qoyulmuşsa, onda alınan yazılış mülahizY olacaqdır. MYsYlYn, iki dYyişYnli predikatdırsa, onda

mülahizYdir. Bu mülahizY yalnız vY yalnız o zaman D doğruluq qiymYtini alır ki, x –in hYr bir mümkün qiymYtinY qarşı y-in elY qiymYtini göstYrmYk mümkün olsun ki, bu qiymYtlYrdY mülahizYsi doğru olsun. Predikatlar dYyişYnlYrin mümkün qiymYtlYrindY mülahizYyY çevrildiyi üçün onlar üzYrindY mYniq YmYllYri tYyin olunmuşdur. MYsYlYn, vY predikatları verilYrsY, onda mYntiq YmYllYri ilY müYyyYn olan , , , vY predikatlarına baxmaq olar.

MühazirY 2. Çoxluqlar vY onlar üzYrindY YmYllYr

Çoxluq anlayışı müasir riyazi nYzYriyyYlYrdY mühüm rol oynayan anlayışlardan biridir. Çoxluq anlayışı riyaziyyatın ilkin anlayışlarından olduğu üçün onun ciddi riyazi tYrifi yoxdur. Lakin çoxluğu xarakterizY edYn Ysas cYhYtlYri göstYrmYklY onu tYsvir etmYk olar. Bu tYsvir onunla bağlı bir çox mYslYlYri hYll etmYyY imkan verir.

Riyazi anlayışların YksYriyyYtini çoxluq anlayışı vasitYsi ilY müYyyYn etmYk olur. BelY anlayışlar sırasına münasibYlYr vY inikaslar da aiddir. İnikas vY ya funksiya anlayışı münasibYtlYrin xüsusi vY olduqca mühüm növü kimi daxil edilir. Bu anlayışlar müasir cYbrin Ysasını tYşkil edir.

Çoxluq dedikdY müYyyYn Yşyalar toplusu başa düşülür. Çoxluğun elementlYri adlanan bu ünsürlYr çox vaxt müYyyYn ümumi keyfiyyYtlYrY malik olur. MYsYlYn, kitabda olan vYrYqlYr çoxluğu, hYr hansı tYnliyin köklYri çoxluğu vY i. a. Çoxluq o zaman verilmiş hesab olunur ki, hYr verilmiş hYr hansı bir elementin ona daxil olub-olmadığını müYyyYn etmYk mümkün olsun (yYni bunu birqiymYtli olaraq müYyyYn edYn alqoritm, YlamYt vY i. a. verilmiş olsun) . gYr çoxluğu YmYlY gYtirYn elementlYr sonlu sayda olarsa, belY çoxluq sonlu, Yks halda isY sonsuz çoxluq adlanır. İki çoxluq yalnız vY yalnız o zaman bYrabYr hesab olunur ki, onlar eyni elementlYrdYn ibarYt olsunlar.

Çoxluq adYtYn böyük latın hYrflYri ilY işarY edilir: A, B, C vY i. a. Çoxluğun elementlYri isY kiçik latın hYrflYri ilY ışarY olunur. Çoxluqlar öz elementlYri ilY birqiymYtli tYyin olunur. Sonlu çoxluqlar bilavasitY elementlYrin sadalanması yolu ilY verilY bilYr. Bu elementlYr fiqurlu mötYrizY içYrisindY yazılır. MYsYlYn, yazılışı üç elementdYn tYşkil olunmuş çoxluğu göstYrir. BYzYn sonsuz çoxluqları da elementlYrin bir hissYsini sadalamaqla vermYk mümkün olur. Bu o zaman edilir, elementlYrin düzülüş sırasına YsasYn vY ya digYr üsulla çoxluğun bütün elementlYri müYyyYn oluna bilsin. MYsYlYn, natural YdYdlYr çoxluğunu şYklindY, tam YdYdlYr çoxluğunu isY vY ya şYklindY göstYrmYk olar.

Çoxluqların verilmY üsullarından biri vY geniş şYkildY işlYnYni onların şYrt vasitYsi ilY verilmYsidir. MYsYlYn,

çoxluğu müstYvi üzYrindY koordinatları şYrtini ödYyYn nöqtYlYr çoxluğunu, yYni mYrkYzi koordinat başlanğıcında olan vahid çevrYni göstYrir. Ümumi halda şYrtlY verilY çoxluq aşağıdakı yazılışa malik olur:

;

fiqurlu mötYrizY içYrisindY şaquli xYttdYn sağda predikatı yazılmışdır vY B çoxluğu bütün elY elementlYrindYn tYşkil olunmuşdur ki, predikatı doğru olsun. MYsYlYn,

çoxluğu ancaq bir elementdYn ibarYtdir (x=2) çünki, kvadrat tYnliyin ancaq bir kökü vardır.

x elementinin A çoxluğunun elementi olması belY yazılır: . yazılışı isY x elementinin A çoxluğuna daxil olmadığını işarY edir. Yuxarıda deyilYnlYrY YsasYn, iki A vY B çoxluqlarının bYrabYrlik şYrtini belY yaza bilYrik:

.

TYrif 1. gYr A çoxluğunun hYr bir elementi B çoxluğunun da elementi olarsa, onda A çoxluğu B çoxluğunun alt çoxluğu adlanır vY belY yazılır: .

MYsYlYn, ; burada N bütün natural YdYdlYr çoxluğunu göstYrir.

TYrifY YsasYn,

. (1)

Aydındır ki,

.

TYrif 2. Heç bir elementi olmayan çoxluq boş çoxluq adlanır vY ilY işarY olunur.

MYsYlYn, tYnliyinin hYqiqi köklYr çoxluğu boş çoxluqdur: . TYrifY YsasYn, boş çoxluğu belY göstYrY bilYrik: .

Teorem 1. Boş çoxluq istYnilYn çoxluğun alt çoxluğudur vY boş çoxluq yeganYdir.

İsbatı. İxtiyari A çoxluğu götürYk vY implikasiyasına baxaq. Bu implikasiyanın şYrti yalandır. DemYli, o doğrudur. BelYliklY, mülahizYsi doğrudur. Onda (1) -Y YsasYn .

gYr vY iki boş çoxluq olarsa, yuxarıda isbat olunduğuna görY . DemYli, . Teorem isbat olundu.

Çoxluqlar üzYrindY tYyin olunan Ysas YmYllYr aşağıdakılardır: çoxluqların birlYşmYsi , kYsişmYsi vY iki çoxluğun fYrqi .

TYrif 3. A vY B çoxluqlarının birlYşmYsi yalnız vY yalnız bu çoxluqlardan heç olmasa birinY daxil olan elementlYrin YmYlY gYtirdiyi çoxluğa deyilir:

.

Misal. Tutaq ki, A=-2, 3, 0 vY . Onda, .

TYrif 4. A vY B çoxluqlarının kYsişmYsi yalnız vY yalnız bu çoxluqların hYr ikisinY daxil olan elementlYrin YmYlY gYtirdiyi çoxluğa deyilir:

.

Misal. Tutaq ki, A=-2, 1, 0 vY . Onda, .

TYrif 5. A vY B çoxluqlarının fYrqi yalnız vY yalnız bu çoxluqlardan birincisinY daxil olan vY ikincisinY isY daxil olmayan elementlYrdYn tYşkil olunmuş çoxluğa deyilir:

.

Misal. Tutaq ki, A=-2, 1, 0 vY . Onda, . Aydındır ki, . Doğrudan da, .

Çoxluqlar üzYrindY YmYllYrin xassYlYri aşağıdakı teoremlY ifadY olunur.

Teorem 2. İxtiyari A,B,C çoxluqları üçün aşağıdakı münasibYtlYr doğrudur:

1) birlYşmY vY kYsişmYnin idempotentliyi: ;

2) birlYşmY vY kYsişmYnin kommutativliyi: ;

3) birlYşmY vY kYsişmYnin assosiativliyi: ;

4) birlYşmYnin kYsişmYyY vY kYsişmYnin birlYşmYyY nYzYrYn distributivliyi:

;
5); .

İsbatı. XassYlYrin isbatı eyni sxem üzrY aparılır vY buna görY dY bu xassYlYrdYn birinin isbatı ilY kifayYtlYnmYk olar. BirlYşmYnin kYsişmYyY nYzYrYn distributivliyini isbat edYk.





.

DemYli, .

BirlYşmY vY kYsişmY YmYllYrinin assosiativliyi istYnilYn sayda çoxluğun birlYmYsi vY kYsişmYsini müYyyYn etmYyY imkan verir. olduğundan üç çoxluğun birlYşmYsini sadYcY kimi yazmaq olar. Eyni qayda ilY tYyin olunur.

Çoxluqlar üzYrindY YmYllYr vY onlarla bağlı bir çox mYsYlYlYri Yyani şYkildY tYsvir etmYk üçün Eyler-Venn diaqramları adlanan sxemlYrdYn istifadY olunur. Aşağıdakı şYkillYrdY çoxluqlar üzYridY YmYllYrin Eyler-Venn diaqramları vasitYsi ilY tYsviri verilmişdir.

AB

ŞYkil 1.

B

A

A B

ŞYkil 2.

A\B

A B

ŞYk. 3.

Riyazi nYzYriyyYlYrdY çox vaxt universal çoxluq adlanan müYyyYn U çoxluğu götürülür vY onun alt çoxluqlarına baxılır. MYsYlYn, Evklid hYndYsYsindY universal çoxluq olaraq müstYvi qYbul olunur vY onun alt çoxluqları – hYndYsi fiqurlar öyrYnilir. Tutaq ki, U hYr hansı universal çoxluqdur vY AU onun ixtiyari alt çoxluğudur. U\A fYrqi A çoxluğunun tamamlayıcısı adlanır vY kimi işarY olunur. Çoxluğun tamamlayıcısı anlayışının aşağıdakı xassYlYri vardır:

1) ;

2) ;

3) ;

4) de Morgan qanunları:

.

Sonuncu düsturlardan birincini isbat edYk.

.

Bununla birinci bYrabYrlik isbat olunur. DigYr xassYlYr dY eyni qayda ilY, mYntiq qanunlarından istifadY etmYklY isbat oluna bilYr.