Mühaziry riyazi mYntiqin elementlYri

1. CYbri YmYllYr vY onların növlYri

Tutaq ki, ixtiyari boş olmayan çoxluq, natural YdYddir.

TYrif 1. ranqlı cYbri YmYl dedikdY, hYr bir elementli kortejinY birqiymYtli tYyin olunmuş elementini qarşı qoyan

,

inikası başa düşülür.

gYr olarsa, cYbri YmYl unar YmYl, olduqda isY binar YmYl adlanır. BYzYn 0-ar YmYl dY daxil edilir. olduqda, şYrti olaraq hesab edilir vY ümimiliyi pozmadan, qYbul olunur; belYliklY, 0-ar YmYl hYr hansı bir elementin qeyd olunmasından ibarYtdir.

CYbri YmYllYr içYrisindY binar YmYllYr xüsusi rol oynayır. gYr binar YmYl olarsa, onda funksional yazılışdan istifadY edYrYk ixtiyarı elementlYr cütü üçün YmYlin nYticYsini kimi yaza bilYrik. Lakin binar YmYllYr üçün YnYnYvi simvolika vardır. Bu YmYllYr üçün yuxarıda deyilYn simvolu YvYzinY yazılışından istifadY olunur. BYzi geniş yayılmış YmYl işarYlYri bunlardır: vY s. MYsYlYn, vY s.

Misallar. 1. natural YdYdlYr çoxluğunda toplama YmYli tYyin olunmuşdur. HYr natural YdYdlYr cütünY onların cYmini qarşı qoyan bu YmYl binar YmYldir.

2. rasional YdYdlYr çoxluğunda iki binar YmYl tYyin olunmuşdur: toplama vY vurma YmYllYri. lbYttY, bu o demYk deyildir ki, çoxluğunda başqa binar YmYl tYyin oluna bilmYz. BelY YmYllYr sonsuz sayda müYyyYn oluna bilYr. MYsYlYn, kimi tYyin olunan ini-

kas binar YmYl müYyyYn edir.

3. hYqiqi YdYdlYr çoxluğunda toplama vY vurma binar YmYllYri tYyin olunmuşdur.

4. hYqiqi YdYdlYr çoxluğunda unar YmYl olaraq Yks hYqiqi YdYdi müYyyYn edYn YmYli daxil etmYk olar.

5. HYr hansı M çoxluğunun alt çoxluqlar çoxluğunu ilY işarY edYk. alt çoxluqlar cütünY birlYşmısini qarşı qoyan YmYl binar YmYldir. kimi tYyin olunan inikas isY unar YmYl müYyyYn edir.

lbYttY, müxtYlif ranqlı YmYllYr tYyin olunmuş bir-birindYn kYskin fYrqlYnYn çoxlu sayda misallar göstYrmYk olar. GYlYcYkdY biz belY misallara daha çox rast gYlYcYyik vY onların cYbrdY mühüm rolunun olduğunu yYqin edYcYyik.

Binar YmYllYrin növlYri. Tutaq ki, çoxluğunda binar YmYli tYyin olunmuşdur.

TYrif 2. gYr ixtiyari iki elementlYri üçün

bYrabYrliyi ödYnilYrsY, onda deylilir ki, YmYli kommutativ YmYldir, yYni YmYli kommutativlik xassYsinY malikdir.

TYrif 3. gYr ixtiyari üç elementlYri üçün

bYrabYrliyi ödYnilYrsY, onda deylilir ki, YmYli assosiativ YmYldir, yYni YmYli assosiativlik xassYsinY malikdir.

AssosiativlifyY YsasYn hYr iki nYticY eynidir vY onu sadYcY kimi yazmaq olar.

İndi isY fYrz edYk ki, çoxluğunda iki binar YmYl tYyin olunmuşdur: vY .

TYrif 4. gYr ixtiyari elementlYri üçün

bYrabYrliklYri ödYnilYrsY, onda deylilir ki, YmYli YmYlinY nYzYrYn distributiv YmYldir, yYni YmYli YmYlinY nYzYrYn distributivlik xassYsinY malikdir.

Misallar.1. rasional YdYdlYr çoxluğunda tYyin olunmuş toplama vY vurma YmYllYri kommutativ vY assosiativ YmYllYrdir.

2. Tam YdYdlYr çoxluğunda “–“ çıxma YmYli tYyin olunmuşdur, lakin bu YmYl kommutativlik vY assosiativlik xassYlYrinY malik deyil:

.

3. rasional YdYdlYr çoxluğunda tYyin olunmuş vurma YmYli toplama YmYlinY nYzYrYn distributivlik xassYsinY malikdir: .

4. hYqiqi YdYdlYr çoxluğunda tYyin olunmuş vurma YmYli çıxma YmYlinY nYzYrYn

distributivlik xassYsinY malikdir: .

5. hYqiqi YdYdlYr çoxluğunda tYyin olunmuş çıxma YmYli vurma YmYlinY nYzYrYn distributivlik xassYsinY malik deyil. Doğrudan da,

bYrabYrliyi doğru deyil.

Neytral vY simmetrik elementlYr. Tutaq ki, çoxluğunda binar YmYli tYyin edilmişdir vY elementi qeyd olunmuşdur.

TYrif 5. gYr ixtiyari elementi üçün

bYrabYrliyi ödYnilYrsY, onda deylilir ki, elementi YmYlinY nYzYrYn sağ neytral elementdir.

TYrif 6. gYr ixtiyari elemeni üçün

bYrabYrliyi ödYnilYrsY, onda deylilir ki, elementi YmYlinY nYzYrYn sol neytral elementdir. gYr e hYm sağ, hYm dY sol neytral element olarsa, ona sadYcY neytral element adlanır.

Teorem 1. Neytral element yeganYdir.

İsbatı. Tutaq ki, iki neytral element vardır: vY . Onda yaza bilYrik: , yYni neytral element yeganYdir.

Misallar. 1. rasional YdYdlYr çoxluğunda tYyin olunmuş toplama YmYli üçün 0 YdYdi neytral elementdir.

2. 1 YdYdi rasional YdYdlYr çoxluğunda tYyin olunmuş vurma YmYli üçün neytral ele-

mentdir.

3. A çoxluğunda tYyin olunmuş inikaslar çoxluğunda inikasların kompozisiyası binar YmYldir. eynilik inikası bu YmYlY nYzYrYn neytral elementdir.

4. Tutaq ki, U hYr hansı universal çoxluq, E isY onun alt çoxluqları çoxluğudur. E çoxlu-ğunda birlYşmY YmYli binar YmYldir. (boş çoxluq) bu YmYlY nYzYrYn neytral elementdir.

Tutaq ki, çoxluğunda binar YmYli tYyin olunmuşdur vY elementi neytral elementdir.

TYrif 7. Tutaq ki, elementi üçün elY elementi var ki,

bYrabYrliyi ödYnilir. Onda deylilir ki, elementi YmYlinY nYzYrYn a elementinY sağ simmetrik elementdir.

TYrif 8. Tutaq ki, elementi üçün elY elementi var ki,

bYrabYrliyi ödYnilir. Onda deylilir ki, elementi YmYlinY nYzYrYn a elementinY sol simmetrik elementdir. gYr e elementi hYm sağ vY hYm dY sol simmetrik element olarsa, ona verilmiş YmYlY görY a elementinY simmetrik element deyilir.

Misallar. 1. rasional YdYdlYr çoxluğunda tYyin olunmuş toplama YmYlinY nYzYrYn hYr bir a rasional YdYdinin simmetrik elementi vardır vY -ya bYrabYrdir.

2. rasional YdYdlYr çoxluğunda tYyin olunmuş vurma YmYlinY nYzYrYn sıfırdan fYrqli hYr bir a rasional YdYdinin simmetrik elementi vardır vY -ya bYrabYrdir.

CYbrlYr.

Tutaq ki, boş olmayan hYr hansı çoxluğunda müYyyYn YmYllYr çoxluğu verilmişdir. G= cütü cYbr adlanır. çoxluğu cYbrin Ysas çoxluğu, çoxluğunun elementlYrinY baş YmYllYr, yaxud Ysas YmYllYr deyilir.

Misallar. 1. natural YdYdlYr çoxluğunda toplama YmYli tYyin olunmuşdur. Buna görY dY cütü cYbrdir, burada . Bu cYbr sadYcY olaraq kimi işarY olunur.

2. rasional YdYdlYr çoxluğunda iki binar YmYl tYyin olunmuşdur: toplama vY vurma YmYllYri. Buna görY dY cütü cYbrdir, burada . Bu cYbr sadYcY olaraq Q= kimi işarY olunur.

3. hYqiqi YdYdlYr çoxluğunda iki binar YmYl tYyin olunmuşdur: toplama vY vurma YmYllYri. Buna görY dY R= nizamlı üçlüyü cYbrdir.

Qeyd edYk ki, misal 3-dY YmYl kimi unar “–“ YmYli götürülY bilYr vY bu YmYl verilmiş YdYdi Yks işarYli YdYdY inikas edYn unar YmYldir. sas çoxluğu eyni olan, lakin baş YmYllYri eyni olmayan cYbrlYr müxtYlif cYbrlYr hesab olunur. CYbrin kortej şYklindY söylYnişindY YmYllYrin yerlYşdiyi ardıcıllıqla onların ranqlarından düzYlmiş ardıcıllığa cYbrin tipi deyilir. MYsYlYn, yuxarıda göstYrilYn misallardakı cYbrlYr, uyğun olaraq, (2), (2,2) vY (2,2) tipli cYbrlYrdir. cYbrinin tipi (2,2,1)-dir (burada “–“ Yks elementY keçmYni göstYrYn unar YmYldir).

isY (2,2,1,0,0) tipli cYbrdir (0 vY 1 elementlYrinin seçilmYsi 0 ranqlı YmYllYrdir).

cYbrindY hYr hansı alt çoxluğu götürYk vY bu çoxluqda ixtiyari cYbri YmYlinin tYsirini öyrYnYk. SadYlik üçün bu YmYli binar YmYl qYbul edYk. Ola bilYr ki, ixtiyari iki elementlYri üçün münasibYti dY doğru olsun. Bu halda deyilir ki, alt çoxluğu YmYlinY görY qapalıdır (yaxud dayanıqlıdır).

TYrif 1. gYr alt çoxluğu ixtiyari YmYlinY görY qapalıdırsa, onda cYbri cYbrinin alt cYbri adlanır.

Aydındır ki, alt cYbrdY hYr bir YmYl YvvYlki cYbrdYki bütün xassYlYrY malik olacaqdır. Yuxarıda tYyin olunan cYbrlYrin bYzi alt cYblYrini göstYrYk.

1. natural YdYdlYr çoxluğunda bütün cüt YdYdlYr çoxluğunu kimi işarY edYk. cYbri cYbrinin alt cYbri olacaqdır.

2. rasional YdYdlYr çoxluğunda tYyin olunmuş cYbrinin alt cYbri olaraq cYbri götürülY bilYr.

3. Öz növbYsindY cYbri cYbrinin alt cYbridir.

Alt cYbrlYrY aid daha YhYmiyyYtli misallar müxtYlif konkret cYbrlYr öyrYnilYrkYn verilYcYk vY onların müxtYlif xassYlYri vY tYtbiqlYri öyrYnilYcYkdir.

FYrz edYk ki, ixtiyari iki eyni tipli vY cYbrlYri verilmişdir. İki inikasa baxaq. Bunlardan birincisi Ysas çoxluqların inikasıdır: , ikincisi isY baş YmYllYr çoxluğunda verilmiş biyektiv inikasıdır. İstYnilYn YmYli üçün YmYlinin YmYli ilY eyni ranqına malik olduğunu qYbul edYk. Onda ixtiyari korteji üçün . Aydındır ki, inikası inikasını doğurur. Bu sadYcY olaraq uyğunluğu ilY yaranır.

TYrif 2. gYr ixtiyari korteji üçün

olarsa, onda deyilir ki, inikası YmYlini saxlayır.

Aydındır ki, hYr bir YmYlinin öz ranqı vardır vY demYli, inikası YmYlindYn asılıdır vY onu kimi işarY etmYk daha doğrudur. BelYliklY, yuxarıdakı bYrabYrliyi daha qısa şYkildY kimi yazmaq olar. BYzYn bu bYrabYrlik aşağıdakı diaqram ilY ifadY olunur

vY deyilir ki, bu diaqram kommutativdir.

TYrif 3. İxtiyari YmYli üçün münasibYti ödYnilYrsY, yYni inikası hYr bir baş YmYli saxlayarsa, onda belY inikas cYbrinin cYbrinY homomorfizmi adlanır.

homorfizmi süryektiv olarsa ona epimorfizm, inyektiv olarsa monomorfizm, biyektiv olduqda isY izomorfizm deyilir. izomorfizm olduqda

yazırlar vY deyirlYr ki, vY cYbrlYri izomofdurlar. MYsYlYn, inikası cYbrinin cYbrinY izomorfizmidir:. Eynilik inikası isY cYbrinin cYbrinY monomorfizmidir. inikası cYbrinin cYbrinY homomorfizmidir. Asanlıqla görmYk olar ki, bu homomorfizm dY izomorfizmdir, yYni

.

BYzYn monomorfizm izomorf daxilolma adlanır. cYbrinin özünY izomorfizminY avtomorfizm, özünY epimorfizminY isY endomorfizm deyilir. Aşağıdakı xassYlYri isbatsız qYbul edYk.

1. Tutaq ki, , , üç eynitipli cYbrlYrdir, vY isY homomorfizmlYrdir. Onda, kompozisiyası da homomorfizmdir.

2. vY izomorfizmlYr olarsa, onda, kompozisiyası izomorfizmdir.

3. izomorfizm olarsa, onda izomorfizmdir.

CYbri sistemlYr. CYbr anlayışının ümumilYşmYsi cYbri sistem anlayışıdır. CYbri sistem dedikdY elY nizamlı üçlüyü başa düşülür ki, burada A hYr hansı çoxluq, A çoxluğunda tYyin olunmuş YmYllYr çoxluğu, isY hYmin çoxluqda tYyin olunmuş münasibYtlYr çoxluğudur. vY çoxluqları sonlu olarsa, onlara daxil olan YmYl vY münasibYtlYr sadalanmaqla da verilY bilYr.

Misallar.1. nizamlı üçlüyü natural YdYdlYrin ciddi xYtti nizamlanmış additiv yarımqrupunu göstYrir.

2. rasional YdYdlYrin ciddi xYtti nizamlı meydanını göstYrir. Ciddi xYtti nizamlı ixtiyari meydanında hYmişY münasibYti ödYnir. Bu sYbYbdYn kompleks YdYdlYr meydanını ciddi xYtti nizamlı meydana çevirmYk olmaz.

3. cYbri sistemi natural YdYdlYrin additiv yarım qrupunda bölünmY münasibYtinin verildiyini göstYrir. Bu nizamla additiv yarımqrup qismYn nizamlanmış olur. Toplama YmYli ilY nizam münasibYti arasında aşağıdakı münasibYt ödYnir:

.

Tutaq ki, K vY çoxluqlarında binar vY münasibYtlYri verilmişdir, isY hYr hansı inikasdır. gYr

münasibYti ödYnYrsY, onda deyilir ki, f inikası cYbri sisteminin cYbri sisteminY homomorfizmidir. Biyektiv homomorfizm izomorfizm adlanır. izomorfizm olarsa, cYbri sistemi ilY cYbri sistemi izomorf sistemlYr adlanır vY bu fakt simvolik olara belY yazılır .