Nazariy fizika kursi

\Eo\2
 
d i v ^ + E grad 
^|£0|2)j 
~
S2.
Bu kattalik ikki sababdan juda kichik, birinchidan, nochiziqli bo'lgani 
uchun, ikkinchidan, rovon o'zgaruvchi funksiyaning hosilasi ishtirok 
etadi. Natijada quyidagi tenglamani olamiz:
1 0 2 £>(<*) 
1 d 2 D (nch)
=
(14.43)
293

---

1
d
2
- 2 ~ w ~ = - W ^ E o f E .
(14.43) tenglamaning chap tomonini ham soddalashtiramiz:
d E0 
d2E0 
dz 
d z2
Bu yerda
A E =
[ 2 i k o ~ + ^ ~ ~ k 2
0E 0 + A ± E0 ) e l°
r
W
~
- k$Eo + Д .. B , j e‘ e,
.
д
а
а
д
>
_ л
, ь + ^
>
+ . . . | ^
шге Е , + . . . )  e*
а ! В<л > 
( д ( Л ) д В о  
,
S 'E , , 
, 
=
^ - & Г - 9 Г - “ г ^ + - й 5
f ,d (u 2e) dE0
\ 
duj 
dt
Bu yerda rovon o'zgaruvchi funksiya E
q
dan vaqt va z b o ‘yicha olingan 
ikkinchi tartibli hosilali hadlar juda kichik bo'lganligi uchun tushirib 
qoldirdik. Bu yerda
d2 
d2
Bu soddalashtirishlarni (14.43) tenglamaga q o‘yib, sekin o'zgaruvchi 
amplitude uchun parabolik tipdagi to'lqin tenglamani olamiz:
ik°
 (l^T + 7 ^ ) + 
\A±E°
+ ^l*ol2*o = 0- 
(14-44)
Bu tenglamani standart ko'rinishda yozish uchun z —> z — vgt/ko va 
t —♦ t almashtirish bajaramiz. Bundan tashqari, rj = k^a/2 belgilash 
va o'lchamsiz o'zgaruvchilar kiritamiz:
* =  
* =
U = \ \lkaLd\a \EQ-
Ld — koto diffraksion uzunlik (Reley uzunligi), £o muhitga kirishdagi 
yorug'lik dastasining kengligi. Yangi o'zgaruvchilarda (14.44) tenglama 
quyidagi ko'rinishni oladi:
— +- - A ± u  ± \u\2u = 0. 
(14.45)
dz 
2
294

---

Bu yerda (x, y, z) ni yana mos ravishda (x. y, z ) ga almashtirildi. Bu 
tenglama (2+ 1) o'lchamli nochiziqli Shredinger tenglamasidir. Bunda 
“2” ko‘ndalang o'lchamlar soni (x, y) ni ko‘rsatsa, “ 1” esa to ‘lqin tarqa­
lish yo'nalishini (
2
) belgilaydi.
Yassi to'lqin o'tkazgichlar uchun
(14.45) tenglamani (1+1) ko'rinishga 
keltirish mumkin. 
Buning uchun
(14.45) tenglamani ko'ndalang yo'na- 
lishlardan birini yassi to'lqin o'tkaz- 
gichning xususiy modasi bo'yicha o'rta- 
chalaymiz:
ди 
1 d2u 
2 
‘ f e + 2 f t ?
^ “
(14'46)
Odatda, bu tenglama nochiziqli Shre­
dinger tenglamasi deb yuritiladi. 
14.4-rasm:
Diffraksiya hisobiga yassi yorug'lik 
dastasi (14.4-rasm - 1) x yo'nalishida yoyiladi (bu effekt 14.4-rasm -
2 
). 
Shu vaqtda nochiziqlilik uni lokalizatsiyalaydi. Ikkala effekt o'zaro bir- 
birini to'la kompensatsiyalaganda yorug'lik dastasi statsionar tarqaladi 
(rasm - 14.4 - 3).