Nazariy fizika kursi

2
= ------ . Bu
Е2Г"
yerdagi noma’him zaryadlar chegara nuqtalarda ip\ — ip
2
, D\n = Z?
2
n 
bo'lish shartlaridan aniqlaymiz. Yuqoridagi potensiallarni shu chegara­
viy shartlarga qo'yib, quyidagi ikkita tenglamani olamiz: (e - e')E
2
=
eei, e + e! = e " . Bu yerdan
, 
£ 2
- E i  
„
2ee2 
e = ---------- e, 
e ~
£1
+
£2
 
£i +
£2
Bularni potesiallar ifodalariga qo'yib, masalaning yechimi topiladi.
10.16. 
Zaryad koordinata boshida joylashgan deb, Maksvell tcng- 
lamalarini yozamiz:
div 
D = e6(r),
 
rot 
E =
0.
319

---

Bu tenglamalarni yechish uchun birinchi navbatda dielektrik singdiruv­
chanlik tenzori asosiy o ‘qlarga keltirilgan deb, (9.44) bogianish tengla­
masini yozamiz:
dtp 
dip 
dtp 
D x = sxEx =
^ У 
Qy ’ Dz 
£z 
•
Bularni Maksvell tenglamalariga qo'yib, potensial uchun quyidagi teng­
lamani hosil qilamiz:
£ ^ P + £ ^ P + £  ^
= _ 4 кеб(г)
Xd x 2 
y dy2 
z d z2 
4ne^ r )-
0 ‘zgaruvchilarni almashtiramiz:
, 
x  
, 
у 
, 
z 
x  = "7=> У =  ~ "/F ’ z =  ~7F
\jtx 
v^y 
V '~z
Yangi o ‘zgaruvchilarda potensial uchun tenglama quyidagi ko‘rinishga 
o ‘tadi:
dx'2 
dy12 
dz'2 
yj£x£y£z
Bu dielektrik singdiruvchanligi e = ^/£xey£z b o ‘lgan izotrop muhitda 
nuqtaviy zaryadning potensialini aniqlovchi Puasson tenglamasining 
o ‘zidir. Shunday qilib, anizotrop muhitdagi elektrostatika masalasini 
izotrop muhitdagi masalaga keltirdik.
10.17. 
Koordinata boshini sferaning markazida, qutb o ‘qini esa 
sfera markazi bilan zaryad turgan nuqtani tutashtiruvchi to ‘g ‘ri chiziqda 
tanlab olamiz. Potensial uchun
Д 
= - 4 i r 6 ( r — d)
Puasson tenglamasining cheksizda nolga intiluvchi yechimini Lejandr 
polinomlari Pn(cos6) bo'yicha qator ko'rinishida qidiramiz:
OO 
i
v > M ) = ] 7 T d i + ^ ^ r i pft(cos0)-
I 
* 
71=0
Birinchi hadni ham Lejandr polinomlari bo'yicha qatorga yoyamiz:
1
00
r n 
Т—
й = E ^ T T Pn(cos0), 
( r < d ) .
(*)
I 
' 
n=0