O‘zbekiston milliy universiteti m. ShAripov d. Fayzixo‘jayeva mantiq tarixi va nazariyasi falsafa yo‘nalishi talabalari uchun Darslik Toshkent

Takrorlash uchun savollar
1. Tushuncha nima?
2. Tushuncha qanday mantiqiy usullar yordamida hosil qilinadi?
3. Tushuncha va so‘z o‘rtasida qanday aloqa mavjud?
4. Tushunchaning mazmuni va hajmi deganda, nimani tushunasiz, ular o‘rtasida qanday munosabat mavjud?
5. Tushunchaning qanday turlari mavjud?
6. Tushunchalar o‘rtasida qanday munosabatlar bor?

6-BOB. TO‘PLAM NAZARIYASI
“To‘plam” yoki “Sinf” individual predmetlar guruhidan iborat bo‘lib, ularning har biri muayyan xususiyatlarga ega va shu tufayli ular mazkur sinfning elementi hisoblanadi. Masalan, “inson” termini bilan ifodalanadigan sinf yakka kishilar to‘plamidan, “juft son” termini bilan bildiriladigan sinf juft butun sonlar to‘plamidan iborat¹. To‘plam mantiq va matematika doirasida kategoriya, ya’ni eng umumiy jins tushuncha hisoblanadi; unga nisbatan umumiyroq tushuncha yo‘q. U tabiiy tilda “yig‘indi”, “jamlanma”, “ansambl”, “kolleksiya”, “soha”, “oila” kabi so‘zlar yordamida tushuntiriladi.
To‘plam murakkab strukturaga ega obyekt bo‘lib, unga tegishli bilimlar mantiq va matematikada muayyan ilmiy konsepsiya’ni hosil qiladi va to‘plam nazariyasi deb ataladi. Unda to‘plamning strukturasi qanday, to‘plamlar bir-biridan nimalar bilan farq qiladi, ular bilan qanday matematik va mantiqiy amallar olib boriladi? degan savollarga javob topamiz.
Avvalambor, shuni aytish kerakki, to‘plam nazariyasida sinflar ularning hajmi jihatidan olib qaraladi. Sinf sohasi muhokama yuritish universumi (predmet sohasi) yoki soddaroq qilib universum deyiladi. Sinf ba’zan hech qanday predmetni o‘z ichiga olmasligi mumkin. Masalan, bo‘yi yigirma fut bo‘lgan kishilar sinfi a’zolariga ega emas, garchi unda insonga xos sifatlar fikr qilinsa-da. Bunday sinf nol-sinf deb hisoblanadi. U muayyan texnik qulayliklarga ega².
“To‘plam” va “element” (to‘plam a’zosi) tushunchalari ilmiy aylanmaga nemis matematigi G.Kantor (1845-1918) tomonidan kiritilgan. Uning ta’rifiga ko‘ra, to‘plam – bu aqlimiz yoki intuitsiyamizning aniq va o‘zaro farqlanadigan obyektlari bo‘lgani holda yaxlit ravishda fikr qilinadigan butun bo‘lib, unga mansub obyektlar elementlardir. Kantor “to‘plam quvvati” tushunchasiga ham ilk bor ta’rif bergan. Uning ta’kidlashicha, agar ikkita to‘plam elementlari taqqoslanganda ularda mos elementlar borligi ma’lum bo‘lsa, ular juftlik hosil qilsa, bunday to‘plamlar teng quvvatlidir. O‘zining to‘plam nazariyasida aktual, ya’ni tugallangan cheksizlik abstraksiyasiga tayangan. X1X asr oxirida to‘plamning umumiy xususiyatlarini unga mansub elementlar tabiatini hisobga olmagan holda tadqiq etadigan kantor to‘plam nazariyasi o‘zining rivojida yuqori pog‘onasiga erishdi.
Biroq XX asr boshida Kantor hayotligi paytidayoq uning nazariyasida hal etib bo‘lmaydigan ziddiyatlar, aniqrog‘i, paradokslar, antinomiyalar mavjudligi ma’lum bo‘ldi. Mazkur nazariya’ni qayta qurishga taniqli matematik va mantiqshunoslar B.Rassel, A.Uaytxed, A.Geyting, G.Veyl, L Brauer, E.Sermelo va boshqalar kirishdilar. Gollandiyalik olim L.Brauer Kantor to‘plam nazariyasining kamchiligini chekli to‘plamga xos qoidalarni cheksiz to‘plamga tatbiq etishda deb biladi. “To‘plam nazariyasi” tushunchasini aniqlashtirish borasidagi keyingi tadqiqotlar ana shu nazariyaga tegishli ziddiyatlarni bartaraf etish yo‘lidan bordi deyish mumkin. Taniqli ingliz matematigi P.Kon obyektlarning ixtiyoriy jamlanmasini “sinf” termini bilan atashni, to‘plam deb esa, boshqa sinfga a’zo bo‘lgan sinfni tushunishni taklif qildi. Boshqacha aytganda, u to‘plamni sinf deb talqin qilishni yoqladi. Shunday qilib, obyektlarning muayyan yig‘ilmasi (masalan, A) faqat va faqat shunda to‘plam bo‘ladiki, qachon u boshqa sinfga (masalan, B) tegishli bo‘lsa.
To‘plamning aksiomatik nazariyasining asosiy xususiyatlarini tahlil qilar ekan, amerikalik matematik va mantiqshunos X.Karri, shunday sinf borki, uning elementlari to‘plam bo‘ladi, bunda mazkur sinf boshqa sinf elementi bo‘lishi mumkin, qachonki u faqat va faqat to‘plam bo‘lsagina, deb ta’kidlaydi. Uning fikricha, to‘plamning boshqa bir xususiyati haddan tashqari keng ko‘lamli sinflar, masalan, barcha to‘plamlar sinfi, to‘plam sifatida mavjud bo‘la olmasligi to‘g‘risida kelishib olishdir.
Yuqoridagi qayt etib o‘tilgan holatlardan ma’lum bo‘ladiki, “to‘plam” tushunchasi “sinf” tushunchasi bilan bog‘liq holda tavsiflanadi. Ba’zan esa, u sinf tushunchasi bilan aynanlashtiriladi. Lekin matematik mantiq sohasidagi mutaxassislar bunday qilishdan qochadilar. Masalan, A. Chyorchning fikricha, agar to‘plam sinf bilan aynanlashtirilsa, u buni ma’qullamaydi, Sermeloning aksiomatik to‘plam nazariyasi bilan bog‘liq holda to‘plam tushunchasiga alohida mazmun berishga to‘g‘ri kelpdi.