Ar el azami ikram Champs Disciplinaire

Résumé :

L'objectif principal de cette thèse est d'étudier les équations elliptiques de la forme :

1. 
   A(u(x)) + g(x,u(x)) = f(x) (x appartient à )
   

où $A$ est un operateur de type Leray-Lions, de forme divergentielle :

2. 
   
   

où , φ étant une fonction de Musielak-Orlicz, f une distribution du dual et les vérifiant, entre autre, des conditions de croissance de type Musielak-Orlicz et de monotonie en u et ses dérivées, conditions qui vont nous permettre la résolution, dans le cadre des espaces de Musielak-Orlicz-Sobolev, de l'équation

3. 
   A(u(x)) = f(x)\ \ (x appartient à )
   

La fonction g de (1) est la "non linéarité forte"; elle vérifie une condition de signe, mais aucune hypothèse de croissance en u.

Dans le début des années 1970 Donaldson avait prouvé un résultat d'existence pour (3) dans les espaces de Sobolev-Orlicz où φ est une N-fonction classique dont sa conjugué est supposé satisfaite la condition . Quelques résultats d'injection ont également été prouvés par Donaldson et Trudinger. Ces résultats ont été étendus en 1974 par Gossez pour une N-fonction classique sans la condition . Par suite la question suivante a été posée: peut-on étendre ces résultats au cas des espaces de Musielak-Orlicz-Sobolev ? ce qui signifie que la N-fonction dépend de deux variables, x  et t .

Dans la dernière décennie plusieurs travaux ont partiellement répondu à cette question dans le cadre des espaces de Sobolev à exposant variable, c'est à dire dans le cas particulier où .

Cette thèse donne une réponse complète à cette question et ouvre la porte devant plusieurs résultats et applications.

L'étude de ces problèmes dans les espaces de Musielak-Orlicz-Sobolev est motivée par de nombreux phénomènes de la physique, à savoir les problèmes liés aux fluides non newtoniens associés au comportement fortement non homogène avec des capacités élevées d'augmenter leur viscosité sous différente stimulation, comme le taux de cisaillement, le champ magnétique ou électrique, ce qui explique la recherche intense dans cette direction au cours des dernières années.

La sturcture de la thèse est comme suit :

1. 
   Le premier chapitre contient des résultats d'approximations dans .
   
2. 
   Dans le deuxième chapitre on généralise les résultats d'approximation obtenus dans le premier chapitre au cas d'un ouvert de frontière régulière.
   
3. 
   Chapitre 3 contient des theorèmes d'injection dans les espaces de Musielak-Orlicz-Sobolev pour une générale fonction de Musielak-Orlicz ainsi que des résultats d'existence pour des équations de type (3) dans obtenus en supposant la condition sur la fonction complémentaire de .
   
4. 
   Le dernier Chapitre contient des résultats d'existence pour des équations et inéquations de type (1) et (3) dans dans le cas d'une fonction de Musielak-Orlicz générale c.à.d sans supposer de condition sur la conjuguée de .
   

Mots clés : EDP non linéaire; les espaces Modulaire; fonction de Musielak-Orlicz; système complémentaire ; théorème d'approximation, théorème d’injection.

NONLINEARES ELLIPTIC PROBLEMS IN MUSIELAK-ORLICZ-SOBOLEV SPACES
Abstract :
The goal of this thesis is to start the study of nonlinear partial differential equations in the setting of Musielak-Orlicz-Sobolev spaces . The study of these problems in this type of spaces is strongly motivated by numerous phenomena of physics, namely the problems related to non-Newtonian fluids of strongly inhomogeneous behavior with a high ability of increasing their viscosity under a different stimulus such as, the shear rate and magnetic or electric field.

We consider the class equations of the form

1. 
   A(u) + g = f,
   

on an open subset  of , where the operator A is in the form:


and g:  R R is a perturbing function.

The Problem (1) is called quasi-linear if g 0 and strongly nonlinear if g0.

In the beginning of 1970s Donaldson had proved an existence result for (1) with g 0 in the Orlicz-Sobolev spaces where is a classical N-function which its conjugate satisfies the condition. Some embedding results have also been provided by Donaldson and Trudinger. These findings have been extended in 1974 by Gossez for a general classical N-function. As a result of the aforementioned works, the following question has been asked: can we extend these results to the case of Musielak-Orlicz-Sobolev spaces ? which means that the N-function depends on two variables x  and t .

In the last decade several works have partially replied to this question in the context of variable exponent Sobolev spaces, i.e. in the particular case .

This thesis gives a complete answer to this question and opens wide doors before several works and applications.
The progress of this dissertation project took different directions. We first established some useful approximation properties and embedding results in the Musielak-Orlicz-Sobolev spaces, then we studied the Problem (1) in different cases. The contribution of this dissertation is seen in the following items:

1. 
   in the first chapter we proved some approximation theorems in the Musielak-Orlicz-Sobolev spaces .
   
2. 
   in the second chapter we extended the results of the previous chapter to the case of .
   
3. 
   chapter 3 deals with the existence for equation (1) with g=0 in where is a Musiela-Orlicz function which its conjugate satisfies condition, as well as a compact imbedding result for a general $\ffi$, i.e. without assuming the condition in the conjugate.
   
4. 
   in the last chapter we drop the condition and we prove an existence result for (1) with g = 0 in . The obstacle problem associated to (1) has been also studied as well as the strongly problem (g0) with m=1.
   

Key Words :

Nonlinear PDE; Modular spaces; Musielak-Orlicz function ; complementary system; approximation theorem, imbedding theorem.

SUR CERTAINS PROBLEMES PARABOLIQUES NON LINEAIRES DANS LES ESPACES DE SOBOLEV AVEC POIDS ET DANS LES ESPACES DE SOBOLEV D'ORLICZ




Par

MEKKOUR Mounir

Champs Disciplinaire : Mathématiques/Equations aux Dérivées Partielles

FD : Mathématiques et Applications

Soutenu le : 14/07/2012
Membres de jury : 

Abdelfattah TOUZANI, Président	Faculté des Sciences Dhar El Mahraz, Fès
Jaouad BENNOUNA, Encadrant	Faculté des Sciences Dhar El Mahraz, Fès
Abdelmoujib BENKIRANE, Membre	Faculté des Sciences Dhar El Mahraz, Fès
Hichame REDWANE, Rapporteur	Faculté des Sciences Juridique économiques et Sociales, Settat
Najib GUESSOUS, Rapporteur	Ecole Normale Supérieure, Fès
Youssef  AKDIM, Membre	Faculté Polydisciplinaire, Taza
El Houssine AZROUL, Membre	Faculté Des Sciences Dhar El Mahraz, Fès
Souad EL WARDI, Membre	Faculté Des Sciences Dhar El Mahraz, Fès