Geometriyadan misol va masalalar

Tekislikda berilgan ikki nuqtadan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasi. Dekart koordinatalar sistemasida M1(x1;y1) va M2(x2;y2) nuqtalar berilgan bo‘lsin. Bu nuqtalarning har biridan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasini tuzamiz. Tuzmoqchi bo‘lgan to‘g‘ri chizig‘imizni Ax + By + C = 0 ko‘rinishida izlaymiz. Bu to‘g‘ri chiziq M1(x1;y1) nuqtadan o‘tishi uchun tenglamalar sistemasidagi (2*) tenglamani, M2(x2; y2) nuqtadan o‘tishi uchun esa (3*) tenglamani qanoatlantirishi kerak.
í Ax + By + C = 0 (1*) j Ax1 + By1 + C = 0 (2*) (Лх2 ^+ By2 + ^C = ^0 (3*) (Г) - (2*) ^ A(x - x1) + B(y - y1) = 0, (3-) - (2*) ^ Л(х2 - «i) + B(y2 - y1) = 0 X^(x-x1) = -B^(y-y1^), Д^(Х2 -X1) = -B^(y2 -yi).
hosil bo‘ladi.	' Д^(Х-Х1) = -B(y-yi) Л^(Х2 - X1) = -B^(y2 - yi)

bundan


63



X — X1


У ^— У1


x₂ — Xi


^y2 ^{— У}1


(5.9)


kelib chiqadi. Bu tenglama esa tekislikda M1 va M₂ nuqtalardan

o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasi kelib chiqadi.

4. 
   Misol. X(—3;5) va B(2; 1) nuqtalar berilgan bo‘lsin. Bu nuqtalarning har biridan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasini tuzing.
   

Yechish. Yuqoridagi (5.9) formuladan foydalanib,

X + 3 у — 5

= T^-^ —4(^X + 3) = 5(y — 5) ^ —4% — 12 = 5y — 25

—4% — 5y + 13 = 0 ^ 4x + 5y — 13 = 0

A va B nuqtalardan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasini keltirib chiqardik.


To‘g‘ri chiziqning koordinata o‘qlaridan ajratgan kesmalar bo‘yicha tenglamasi.

Bizda dekart koordinatalar sistemasida to‘g‘ri chiziq berilgan


bo‘lsin. To‘g‘ri chizig‘imiz absissa o‘qidan a uzunlikdagi kesmani, ordinata o‘qidan esa b uzunlikdagi kesmani ajratgan bo‘lsin. Demak, to‘g‘ri chizig‘imiz koordinatalari X(a; 0) va B(0;b) bo‘lgan nuqtalardan o‘tar ekan. Bu uchun bizga berilgan A (a; 0) va B(0; b) nuqtalardan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasini topish yetarli bo‘ladi.

Berilganlardan foydalansak,

X — a y — 0

= - ^ b(x — a) = —a(y — 0) ^ bx — ab = —ay 0—a b—0

bx + ay = ab

hosil bo‘ladi. Oxirgi tengligimizni ikkala tomonini ab bo‘lib yuborsak
y

- + £=1 (5.10)

ab

tenglama kelib chiqadi.


64

2. 
   chizma
   

Ushbu tenglama absissa o‘qini (a; 0) va ordinata o‘qini (0; b) nuqtada kesib o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasi bo‘ladi va to‘g‘ri chiziqning koordinata o‘qlaridan ajratgan kesmalar bo‘yicha tenglamasi deyiladi.

4. 
   Misol. Berilgan — ^ = 1 to‘g‘ri chizig‘imiz dekart
   

koordinatalar sistemasini qaysi nuqtalarini kesib o‘tadi.

Yechish. (5.10) formuladan foydalangan holda, berilgan tenglama absissa o‘qini (2; 0) va ordinata o‘qini (0; —3) nuqtada kesib o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasi hosil bo‘ladi.


Berilgan nuqtadan o‘tib, berilgan vektor bo‘yicha yo‘nalgan to‘g‘ri chiziq tenglamasi.

Bizga dekart koordinatalar sistemasida a(x₀;y₀) vektor va

M₁(x₁,y₁) nuqta berilgan bo‘lsin.

M₁ nuqtadan o‘tib a vektor bo‘yicha yo‘nalgan to‘g‘ri chiziq tenglamasini tuzamiz. Bu to‘g‘ri chiziq tenglamasini tuzish uchun berilgan to‘g‘ri chiziqda yotgan ixtiyoriy M nuqtasini olamiz. Bundan X va y bog‘liqligini ko‘rsatib, to‘g‘ri chiziq tenglamasini tuzamiz.

Bu yerda M_±M = {x — x₁; y — y₁}, a = {x₀; y₀}. M_±M va a vektorlar kollinearligidan

x ^— y ^— y1

X0 y0


65








5.2.3-chizma


yoki

y_ox - x_oy + Х0У1 - xyo = 0
ko‘rinishida bo‘ladi.


(5.11)

9. 
   Misol. a(1; 2) vektor va ^(3; -4) nuqta berilgan. W nuqtadan o‘tib, a vektor bilan bir xil yo‘nalgan to‘g‘ri chiziq tenglamasini toping.
   

Yechish. Berilgan (5.11) formuladan

X - 3 y + 4

—:— = —-— ^ 2x - 6 = y + 4

12

ekanligi kelib chiqadi.


Agar tenglama y = 2x - 10 ko‘rinishda bo‘lsa, bu tenglama to‘g‘ri chiziqning burchak koeffitsiyentli tenglamasi. To‘g‘ri chiziqning umumiy tenglamasi esa, ushbu 2x - y - 10 = 0 ko‘rinishida bo‘ladi.


Berilgan nuqtadan o‘tib, berilgan vektorga perpendikulyar to‘g‘ri chiziq tenglamasi.

Dekart koordinatalar sistemasida n(a; b) vektor va to‘g‘ri chiziqda yotgan M₁(x₁;y₁) nuqta berilgan bo‘lsin. Buning uchun to‘g‘ri chiziq ustidan ixtiyoriy M(x,y) nuqta olib, M_±M =

= {x - x₁; y - y₁} vektorni yasaymiz. n va M_±M vektorlar perpendikulyar bo‘lishi uchun skalyar ko‘paytmasi 0 ga teng bo‘lishi kerak.


66



Ya’ni, M1M = {x — x-1; у — yj va n(a; b), M_±M -n = 0.
a(x — x1) + Ь(у — у1) = 0
ax + Ьу — ax_± — Ьу1 = 0





5.2.4-chizma

ax + Ьу — (ax_± + Ьу1) = 0 (5.12)

to‘g‘ri chiziq tenglamasi n(a; b) vektorga perpendikulyar bo‘ladi va bu n(a; b) vektor to‘g‘ri chiziqning normal vektori deyiladi.

3. 
   To‘g‘ri chiziqning normal tenglamasi. To‘g‘ri chiziq tenglamasini normal holda keltirish. Berilgan nuqtadan to‘g‘ri chiziqqacha bo‘lgan masofa.